2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：路徑與最值（含答案）

板塊二十一路徑與最值

難點(diǎn)突破1"一動(dòng)一定"型

模型："垂線段最短"/4（定）

條件：A是定點(diǎn)，直線I是動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑./、

P（動(dòng)）尸

結(jié)論:當(dāng)AP±I時(shí),AP的長(zhǎng)度最小（即AP'的長(zhǎng)）.

典例精講

類型一顯性"一動(dòng)一定"（顯動(dòng)點(diǎn)）

【例】（2024江西改）如圖，在AABC和.ADEC中，N4CB=NDCE=9（r,4C==EC,且D是AB上

的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于DE對(duì)稱，連接DF,EF.若2C=6,則四邊形CDFE面積的最小值為.

典題精練

類型二隱性"一動(dòng)一定"（隱定點(diǎn)）

1.（2024新洲區(qū)）如圖，在SBC中，AB=AC=3,^BAC=^?D為邊AB上一點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)45。得至I」線段CE,連接AE,則AE的最小值為.

類型三隱性"一動(dòng)一定"（隱定直線）

2.（2024長(zhǎng)春改）【方法點(diǎn)撥】幾何中的雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解決，平移是轉(zhuǎn)化的工具之一，通過(guò)

構(gòu)造平行四邊形再發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，進(jìn)而解決問(wèn)題.

【方法運(yùn)用】如圖，△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，AB=AC=CD=2,zACB=30°.M,N

分別是邊AC,DE上的一動(dòng)點(diǎn)，且.AM=DN,,則MN的最小值為.

難點(diǎn)突破2"兩定一動(dòng)"型

模型1"兩點(diǎn)之間，線段最短"模型2"將軍飲馬"

條件：A,B是定直線條件：A,B是定直線1同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，P是1上的一動(dòng)點(diǎn).

1異側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，P結(jié)論：P1A+P1B=A1B4PA+PB.

是1上的一動(dòng)點(diǎn).

產(chǎn)"

P：\1

B

結(jié)論:P1A+P1B=AB4PA+PB.

典例精講

類型一顯定點(diǎn)顯定線

【例】（2024廣安）如圖，在口ABCD中，AB=4,AD=S,zABC=30。,,點(diǎn)M為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則M

A+MD的最小值為.

AD

BMC

典題精練

類型二隱定點(diǎn)顯定線

1.（2024瀘州）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中,E,F分別是邊AB,BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF,AF與DE交

于點(diǎn)。M是DF的中點(diǎn),G是AB上的一點(diǎn)，且4G=28G,則+的最小值是.

類型三顯定點(diǎn)隱定線

2.（2024江岸區(qū)）如圖，在口4BCD中，AB=10,AD=8,/4=60°?E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=5,P是邊AB

上的一動(dòng)點(diǎn)，將線段EP繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（60。得到線段EF,連接BF,CF,則BF+CF的最小值為.

難點(diǎn)突破3"兩動(dòng)一定"型

不

問(wèn)題提出：作點(diǎn)P關(guān)于0B對(duì)稱的點(diǎn)P2,過(guò)

A

P是NAOB

0NB

模型建立：

0^------------------B作點(diǎn)P關(guān)于0A對(duì)稱的點(diǎn)P一過(guò)

點(diǎn)P2作P2M±OA于點(diǎn)M,交

的內(nèi)部（或邊上）的一定點(diǎn)，點(diǎn)Pi作PiN^OB于點(diǎn)N,交

0B于點(diǎn)N,則PN+NM的最小

在OAQB上分別找一點(diǎn)M,N,0A于點(diǎn)M,則PM+MN的最小

值為P2M的長(zhǎng).

使PM+MN或PN+NM最小.值為PiN的長(zhǎng).

典例精講

【例】（2023東湖高新區(qū)）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊CD上，將AADE沿AE折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰

好落在BC邊上，M,N分別是線段AE,AF上的動(dòng)點(diǎn).若BC=10,tan44F=|，則MF+MN的最小值為____.

S

典題精練

1.（2023濱州）如圖，4。8=30。點(diǎn)乂在OB上，且OM=3,P,Q分別是OAQB上的一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)MP+PQ最小

時(shí)QP的長(zhǎng)為.

2.（2024青山區(qū)）如圖,在矩形ABCD中,E是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn),F是對(duì)角線BD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接BE,EF.若A

B=5,tan/ABD=2廁當(dāng)BE+EF取得最小值時(shí),DF的長(zhǎng)為.

難點(diǎn)突破4"定點(diǎn)定長(zhǎng)"型（隱圓）

模型1"一中同長(zhǎng)"模型2"一箭穿心"

條件：。是定點(diǎn)，M是動(dòng)點(diǎn)，目條件:M是半徑為r的。。上的一動(dòng)點(diǎn)（OM=r定值）,P是定點(diǎn)（OP

OM=r（定值）.=d定值）.

結(jié)論：點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是以r結(jié)論：

為半徑的。O.

PM的最/」v?=PMi=|d-r|,

PM的最大值=「1\/12=€1+工

典例精講

類型一顯定點(diǎn)顯定長(zhǎng)

【例】（2024濟(jì)南模擬）如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)F在邊CD上.將正方形紙

片ABCD沿EF翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G連接DG.若2E=1,則DG的最小值為.

典題精練

類型二顯定點(diǎn)隱定長(zhǎng)

1.（2023淮安）如圖,AB=BC=2/ABC=120°,BH為Z1BC內(nèi)部的一條射線（（NCBH460°）,點(diǎn)C關(guān)于BH的對(duì)

稱點(diǎn)為C',直線AC與射線BH交于點(diǎn)F,連接CC',CF廁ACTF面積的最大值為.

類型三隱定點(diǎn)隱定長(zhǎng)

2.如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中,E,F分別是邊AD,CD上的動(dòng)點(diǎn)，且2E=C尺連接BE,過(guò)點(diǎn)F作FG\hBE

于點(diǎn)G,連接AG,則AG的最小值為.

難點(diǎn)突破5"定弦定角"型（隱圓）

問(wèn)題提出：模型建立：

C

a

...…￡'

在AABC中,AB=這P

二°7

、、.?C

a（定長(zhǎng)）/ACB=o［（定A\a,.-B

②當(dāng)a=90。時(shí)，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)③當(dāng)a>90。時(shí)，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)

角》探究點(diǎn)c的運(yùn)動(dòng)①當(dāng)a<90°時(shí)，點(diǎn)C

路徑是以AB為直徑的。。（點(diǎn)路徑是劣弧AB/AOB=360°-2

路徑的運(yùn)動(dòng)路徑是優(yōu)弧

C不與A,B重合）.a.

ACB/AOB=2a.

典例精講

類型一顯定弦顯定角

【例】（2023通遼）如圖,0。是AABC的外接圓,AC為直徑，AB=2gBe=3.點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，在^ABC

內(nèi)運(yùn)動(dòng)且始終保持NCBP=NBAP.當(dāng)C,P兩點(diǎn)間的距離最小時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.

典題精練

類型二隱定弦顯定角

1.（2024蘇州改）如圖,在矩形ABCD中，AB=百,8。=1,,動(dòng)點(diǎn)E,F分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā)，以相同的速

度沿AB,CD向終點(diǎn)B,D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E,F作直線l,AGL于點(diǎn)G,連接BG廁AG的最大值為,BG的最小值

為:

2.（2024漢陽(yáng)區(qū)）【問(wèn)題背景】如圖L在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD上一動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF廁AE^BF-,

【問(wèn)題解決】如圖2,NABM=90°?D,C分別是AB,BM上的一動(dòng)點(diǎn)，且AD=BC,DE回AC于點(diǎn)E,連接BE.

AD

\A

若力B=2,,則線段BE的最小值為.

難點(diǎn)突破6"隱圓隱切線”型

模型1模型2

條件:OP=a,Q是一動(dòng)點(diǎn)，且OQ=b（a,b是定長(zhǎng)，且a>條件：。是直線1上的一定點(diǎn)，P是1上的一動(dòng)點(diǎn),OQ

b）.=m（定長(zhǎng)），且zOPQ=a（定角）.

結(jié)論：點(diǎn)Q在以b為半徑的。。上，且當(dāng)PQ與

O'

OO相切時(shí)/OPQ最大.

結(jié)論：點(diǎn)Q在以m為半徑的

\0p

。。上，且當(dāng)PQ與。。相切時(shí),OP最大.

典例精講

類型一與定直線的最大夾角

【例】（2024江岸區(qū)）如圖，在RbABC中/ABC=90°,AB=8點(diǎn)D在邊BC上，且BD=2.P為&ABC內(nèi)一

點(diǎn)，且NAPB=90°直線DP交AC于點(diǎn)E.當(dāng)AE最大時(shí),AP的長(zhǎng)為（）

X.1V5C.yV5D.6

典題精練

類型二定線段的最大張角（米勒原理）

1.（2024江漢區(qū)）如圖是足球場(chǎng)的局部平面示意圖，運(yùn)動(dòng)員甲從本方后場(chǎng)D處沿著垂直于對(duì)方球門線PQ的方

向帶球推進(jìn)，DC，PQ于點(diǎn)C,PQ=8米，PC=2米.若僅從射門角度的大小考慮（射門角度越大，越容易進(jìn)球），則

運(yùn)動(dòng)員甲位于最佳射門位置時(shí)離點(diǎn)C的距離為米.

類型三與定直線夾定角

2.（2023廣元）如圖,NACB=45。,半徑為2的。。與CA,CB分別相切于點(diǎn)D,G,P是。。上的一點(diǎn),PE^CA于點(diǎn)

E,PF±CB于點(diǎn)F.設(shè)t=+t的取值范圍是

難點(diǎn)突破7拼接線段求最值

方法技巧：利用三角形的全等（相似）將兩條線段在動(dòng)點(diǎn)處拼接為"首尾”是定點(diǎn)的折線段，再運(yùn)用"兩點(diǎn)之間，

線段最短"求線段和的最小值.

典例精講

技巧一構(gòu)全等騰挪線段

【例】（2024研口區(qū)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,E是正方形內(nèi)部的一點(diǎn)，且BE=AB,F為BE上一

點(diǎn)且BF=3,連接DE,CF,則DE+CF的最小值為.

典題精練

技巧二構(gòu)相似騰挪線段

1.（2024漢陽(yáng)區(qū)）如圖，在AABC中,.ZACB=45。,4c=3<2,AB=6,D,.E分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=2A

D,則+CD的最小值為.

技巧三平移變換騰挪線段

2.（2024武昌區(qū)）如圖,在矩形ABCD中，AB=1,AD=2”連接BD.M,N分別為邊AD,BC上的一動(dòng)點(diǎn),且

MN18。于點(diǎn)P,連接DN,BM,則DN+BM的最小值為.

難點(diǎn)突破8函數(shù)建模求最值

方法技巧：根據(jù)主、從動(dòng)點(diǎn)間的變化關(guān)系，合理引入變量，建立關(guān)于“研究對(duì)象”的函數(shù)模型，再運(yùn)用函數(shù)的

性質(zhì)求”幾何動(dòng)點(diǎn)類"最值.該思想方法的最大優(yōu)點(diǎn)是可規(guī)避探究"復(fù)雜”的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑，而達(dá)到“定量"解決問(wèn)

題的效果.

典例精講

【例】（2024武昌區(qū)）如圖在&ABC中，NBAC=120\AB+AC=4..將BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線

段CD,則線段AD的最小值為.

典題精練

1.（2024東湖高新區(qū)）如圖，線段AB=12,C是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線

段AD,連接CD,在AB上方作RtADCE,使NDCE=90。,4=30°,F為DE的中點(diǎn)，連接BF.當(dāng)BF最小時(shí),AC

的長(zhǎng)為.

2.（2024漢陽(yáng)區(qū)）如圖在△4BC中,D,E分別是邊BC,AB上的一點(diǎn)，且zADE=ZCAD.iS：△ADE的面積為Sg

力BC的面積為52,則曲勺最大值是

32

板塊二十一路徑與最值

難點(diǎn)突破1“一動(dòng)一定”型

模型：“垂線段最短”

條件：A是定點(diǎn)，直線1是動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑.

（定）

-------乙—0---------1

尸（動(dòng)）p'

結(jié)論:當(dāng)APX1時(shí),AP的長(zhǎng)度最小（即AP的長(zhǎng)）.

典例精講

類型一顯性“一動(dòng)一定”（顯動(dòng)點(diǎn)）

【例】（2024江西改）如圖，在△ABC和4DEC中,/ACB=NDCE=9（F,AC=BC,DC=EC,且D是AB上的一動(dòng)點(diǎn),

E

點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于DE對(duì)稱，連接DF,EF.若AC=6,則四邊形CDFE面積的最小值為18.C^^\B

M：VZDCE=90°,DC=EC,ADEC是等腰直角三角形.：點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于DE對(duì)稱，娑?'

四邊形CDFE是正方形，；.S皿力說(shuō)…=O..?.當(dāng)CD最小時(shí),s四邊形CDFE最小.

四12膝DFE

是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)CD_LAB時(shí),CD取得最小值.；AC=BC=6./ACB=90".CD的最小值為yXC=

2

3/，.一四次^^的最小值為（3a）=1&

典題精練

類型二隱性“一動(dòng)一定”（隱定點(diǎn)）

1.（2024新洲區(qū)）如圖在△ABC中,AB=AC=3,/BAC=9（T,D為邊AB上一點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°

得到線段CE,連接AE,則AE的最小值為3-誓.

解:在BC上截取CF=CA,連接DF.

,/將CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到CE,CD=CE,NDCE=45。,

AB=AC=3,ZBAC=90°,ZBCA=45°,BC=3V2,.\ZDCE=ZBCA,

ZDCF=ZACE,.\△ACE^AFCD(SAS),Z.AE=FD,

^.^D為邊AB上一點(diǎn),.^.FD_LBA時(shí),FD最小,,.^CF=CA=3,.,.BF=3V2-3,

此時(shí)，F(xiàn)D*BF=3-季AE的最小值為3-乎.

類型三隱性“一動(dòng)一定”（隱定直線）

2.（2024長(zhǎng)春改）【方法點(diǎn)撥】幾何中的雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題解決，平移是轉(zhuǎn)化的工具之一，通過(guò)

構(gòu)造平行四邊形再發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，進(jìn)而解決問(wèn)題.

【方法運(yùn)用】如圖,△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形,AB=AC=CD=2,NACB=30。.M,N分別是邊A

C,DE上的一動(dòng)點(diǎn)，且AM=DN,則MN的最小值為^_遙.

解:過(guò)點(diǎn)D向上作DF〃MN,且使DF=MN,連接MF,AF,則四邊形MNDF是平行四邊彩，MF=DN=AM,MF〃

DN.：四邊形BCDE是矩形..../BCD=90。,BC〃DE,.^.MF〃BC,.^./CMF=NACB=30。,.^.NCAP=15。,.^.點(diǎn)F在定

直線AP上運(yùn)動(dòng)，，當(dāng)DFXAP時(shí),DF取得最小值.連接AD.：NACD=NACB+/BCD=120o,AC=CD,，NCAD=/C

DA=30°,.*.AD=V3AC=2A/3,ZDAP=ZCAD+ZCAP=45°,?.DF的最小值為當(dāng)AD=...MN的最小值為瓜

難點(diǎn)突破2“兩定一動(dòng)”型

模型1“兩點(diǎn)之間，線段最短”模型2“將軍飲馬”

條件：A,B是定直線條件：A,B是定直線1同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，P是1上的一動(dòng)點(diǎn).

1異側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，P結(jié)論：PiA+PiB=A[B<PA+PB.

/B

是1上的一動(dòng)點(diǎn).

一iX..-'

產(chǎn)”

產(chǎn),\1

B

結(jié)論:PiA+PiB=AB<PA+PB.

典例精講

類型一顯定點(diǎn)顯定線

【例】（2024廣安）如圖，在口ABCD中,AB=4,AD=5,/ABC=30。點(diǎn)M為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則MA+MD的

最小值為一V41.

解作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A：連接MA,DA；則MA=MA,,-,MA+MD^MA'+MD>4。,.,.當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)

動(dòng)至AD與直線BC的交點(diǎn)處時(shí)MA+MD取得最小值為AD的長(zhǎng).設(shè)AA交BC于點(diǎn)H,則AA」BC,AA'=2AH

.'：四邊形ABCD是平行四邊形,AD〃BC,；.AA」AD.???zABC=30°,AH=-AB=2,：.AA'=2AH=4,.-.A'D

2/J)

=yjAA'2+AD2=V42+52=V41,--MA+MD的最小值為V41..

1

典題精練

類型二隱定點(diǎn)顯定線

1.（2024瀘州）如圖.在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中,E,F分別是邊AB,BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且.力E=BF,AF與DE交

于點(diǎn)O.M是DF的中點(diǎn),G是AB上的一點(diǎn)且AG=2BG,則OM+/G的最小值是上

解作點(diǎn)G關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)H,連接DH,FH廁FH=FG.

:四邊形ABCDBTFT^ff^.?.AB=AD,ZDAE=ZABF=90°.

VAE=BF,.*.AADE^ABAF,?.ZADE=ZBAF,

ZDOF=ZADE+ZDAO=ZBAF+ZDAO=90°.

,/M是DF的中點(diǎn),.OM=|DF,：.OM+^FG=|(DF+FG')=|(DF+FH)>|DH,：.當(dāng)點(diǎn)F在DH與

BC的交點(diǎn)處時(shí),OM+^FG取得最小值為:的長(zhǎng).：AG=2BG,AD=AB=6,，AG=4,BG=BH=2,；.AH=8,

DH=y/AD2+AH2=10,.-.OM+^FG的最小值為5.

類型三顯定點(diǎn)隱定線

2.（2024江岸區(qū)）如圖，在口ABCD中,AB=10,AD=8,NA=6（r,E是邊AD上一點(diǎn)，且.AE=5,P是邊AB上的一動(dòng)

點(diǎn),將線段EP繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EF,連接BF,CF,則BF+CF的最小值為一V139.

解:取AB的中點(diǎn)M,連接EM,FM,CE.：AB=10,.\AM=BM=5=AE.

"?ZA=60°,.\AAEM是等邊三角形.由旋轉(zhuǎn)知EP=EF,ZPEF=60°,

.?.可證4EAP烏△EMF,；.ZEMF=ZA=60°,

.?./BMF=60o=NEMF,MF〃AD,?.點(diǎn)F在經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且與AD平行的直線I上運(yùn)動(dòng)，可證△EMFgZ\BMF（SA

S),

；.EF=BF,；.BF+CF=EF+CFNCE,.?.當(dāng)點(diǎn)F在CE與直線1的交點(diǎn)處時(shí),BF+CF取得最小值為CE的長(zhǎng).過(guò)點(diǎn)E

作ENLCD于點(diǎn)N.

AD=8,AE=5,.-.DE=3,DN=DE-cos乙EDN=*EN=DE.sin乙EDN=*

；.CN=CD+DN=y,/.CE=^CN2+EN2=VT^,，BF+CF1的最小值為V139.

難點(diǎn)突破3“兩動(dòng)一定”型

問(wèn)題提出：模型建立：作點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱的點(diǎn)P

P是NAOB作點(diǎn)P關(guān)于OA2,過(guò)點(diǎn)P2作P2M±OA于點(diǎn)

對(duì)稱的點(diǎn)Pi,過(guò)M,交

V

0乙-------------BOB于廣''e"A

P的氏

的內(nèi)部（或邊PN+NN/<M

°NBX]~~B

上）的一定點(diǎn)，點(diǎn)Pi作PiN±''P,

在OA,OB上分別找一點(diǎn)M,OB于點(diǎn)N,交

N,OA于點(diǎn)M,則PM+MN的最

使PM+MN或PN+NM最小.

小

值為P】N的長(zhǎng).

典例精講

【例】（2023東湖高新區(qū)）如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊CD上，將△ADE沿AE折疊點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰

好落在BC邊上，M,N分別是線段AE,AF上的動(dòng)點(diǎn).若BC=10,tanN瓦4F=[，則MF+MN的最小值為8.

解:連接MD,過(guò)點(diǎn)D作DNi1AF于點(diǎn)電，交AE于點(diǎn)Mx.由翻折知NEAF=/EAD,AD=AF=BC=10,ED=E

F,MD=MF,/.MF+MN=MD+MN的最小值為DN】的長(zhǎng),EF=ED=AD?tan^EAD=10X|=5.vZ5=ZC=

N/WE=NAFE=90°,，可證AABFAFCE,=tanzEXF=3可設(shè)CE=a，則BF=2a,；.CF=10-2a,...在RtACE

BFFA2

F中，42+（10-2a）2=52,a=3（a=5舍去）一..CD=AB=8.易證△ADN±=AFAB,：.=8,,-pMF+

MN的最小值為8.I

典題精練

1.（2023濱州）如圖,NAOB=30。,點(diǎn)M在OB上，且OM=3,P,Q分別是OA,OB上的一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)MP+PQ最小時(shí),OP

的長(zhǎng)為V3.

解作點(diǎn)M關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)Mi,連接OMi,PMi,過(guò)點(diǎn)Mi作MiQt1OB于點(diǎn)Qi,交OA于點(diǎn)P1.由軸

對(duì)稱性可知,PMi=PM,OMi=OM=3,/AOMi=ZAOB=30°,.\ZMXOM=60°,MP+PQ=M1P+PQNMiQi?.當(dāng)點(diǎn)P,

Q分別在Pl,Q1處時(shí),MP+PQ取得最小值為MlQi的長(zhǎng).???OQ1=0Mt-coszM^M=3cos60。=f,.-.0Pr=

A

缶=B即當(dāng)MP+PQ最小時(shí).OP的長(zhǎng)為V3

/P,

OQQ,MB

2.（2024青山區(qū)）如圖在矩形ABCD中,E是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn),F是對(duì)角線BD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接BE,EF.若AB

=5,tan/ABD=2,則當(dāng)BE+EF取得最小值時(shí),DF的長(zhǎng)為—3遍

解作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作8F回8。于點(diǎn)F1連接BE由對(duì)稱的性質(zhì)知AB，=AB=5BE=BE,；.B

E+EF=B'E+EF>B'F',/.^F在點(diǎn)F處時(shí),BE+EF取得最小值為BF的長(zhǎng).：tan/ABD=2,；.AD=2AB=10,.-.BD=

VXS2+X02=cos^ABD=-=~

?.?在RtABBF中cos^B'BF'=/=cos^ABD=g,BF'=BB'-cos^ABD=10x=20.DF'=BD

-BF'=3強(qiáng).?.當(dāng)BE+EF取得最小值時(shí),DF的長(zhǎng)為3相

難點(diǎn)突破4“定點(diǎn)定長(zhǎng)”型（隱圓）

模型1“一中同長(zhǎng)”模型2“一箭穿心”

條件：0是定點(diǎn)，M是動(dòng)點(diǎn)，且條件:M是半徑為r的。。上的一動(dòng)點(diǎn)（OM=r定值）,P是定點(diǎn)（OP

OM=i*（定值）.=d定值）.

結(jié)論：點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)結(jié)論：

路徑是以r為半徑PM的最/」\值==「1\41=|d-r|,

的0O.PM=d+r.

典例精講

類型一顯定點(diǎn)顯定長(zhǎng)

【例】（2024濟(jì)南模擬）如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)F在邊CD上.將正方形紙

片ABCD沿EF翻折點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G,連接DG.若AE=1,則DG的最小值為—舊-3_.

解：設(shè)點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為M,連接EG.：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，,由翻折的性質(zhì)知/M=/A=9（T,ME=AE=

1,MG=AB=4,EG=^ME2+MG2=g,.,.點(diǎn)G在以內(nèi)為半徑的。E上運(yùn)動(dòng)，，當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)至ED的延長(zhǎng)線與。

E的交點(diǎn)處時(shí)，DG取得最小值為V17-￡0=V17-3.

典題精練

類型二顯定點(diǎn)隱定長(zhǎng)

1.（2023淮安）如圖,AB=BC=2,/ABC=12（F,BH為/ABC內(nèi)部的一條射線（（NCBHH60。）,點(diǎn)C關(guān)于BH的對(duì)稱

點(diǎn)為C.直線AC與射線BH交于點(diǎn)F,連接CC,CF,則ACC字面積的最大值為」_____V3.

解:連接BCT.?點(diǎn)C與點(diǎn)C關(guān)于BH對(duì)稱，:（7F=CF,BC=BC=AB=2,.?.點(diǎn)C,A,C都在以B為圓心，2

為半徑的。B上運(yùn)動(dòng).

：NABC=120。,.?.可求乙CC'F=-4BC=60。,；.△COF是等邊三角形，；.SLCCF=3”勺.?.當(dāng)CC最大時(shí),S

24

ACF取得最大值.當(dāng)CCB0B的直徑時(shí)，CC取得最大值為4,ASACF的最大值為x42=4V3.

4

類型三隱定點(diǎn)隱定長(zhǎng)

2.如圖.在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中,E,F分別是邊AD,CD上的動(dòng)點(diǎn)且AE=CF.連接BE,過(guò)點(diǎn)F作FG_LBE

于點(diǎn)G,連接AG則AG的最小值為一3V2-3_.

解:連接BF,CA,CG.VFG±BE.ZBCF=90°,點(diǎn)B,C,F,G在以BF為直徑的圓上,ZBGC=ZBFC.VAB=CB,AE

=CF,ZBAE=ZBCF=90°,.*.ABAE^ABCF,.*.ZBEA=ZBFC=ZBGC.VAD/7BC,.\ZBEA=ZCBG=ZBGC,.*.CG=

CB=3,.?.點(diǎn)G在以3為半徑的。C上運(yùn)動(dòng)，，當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)至CA與。C的交點(diǎn)處時(shí)，AG取得最小胤3

AC=&AB=3vl.?.AG的最小值為3/-3.

難點(diǎn)突破5“定弦定角”型（隱圓）

問(wèn)題提出：模型建立：

在4ABC中,AB=

a（定長(zhǎng)）,ZACB=a（定

②當(dāng)a=90。時(shí)，點(diǎn)C的運(yùn)③當(dāng)a>90。時(shí)，點(diǎn)C的運(yùn)

角）,探究點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)①當(dāng)心90。時(shí)，點(diǎn)C

動(dòng)路徑是以AB為直徑的。O動(dòng)路徑是劣弧AB,ZAOB=36

路徑.的運(yùn)動(dòng)路徑是優(yōu)

（點(diǎn)C不與A,B重合）.0°-2a.

弧ACB,/AOB=2a.

典例精講

類型一顯定弦顯定角

【例】（2023通遼）如圖,。O是仆ABC的外接圓,AC為直徑，AB=2<3,BC=3.點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，在小AB

C內(nèi)運(yùn)動(dòng)且始終保持/CBP=/BAP.當(dāng)C,P兩點(diǎn)間的距離最小時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為

解:：AC為直徑,；./ABC=90°,.*.ZABP+ZCBP=90°.VZBAP=ZCBP,ZABP+ZBAP=90°,AZAPB=9

0。,.^.點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且在△ABC的內(nèi)部取AB的中點(diǎn)Oi,連接OiP,CPQiC,則01P=豺8=

遍，，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至COi與。Oi的交點(diǎn)處時(shí),CP最小.???tanzFOiC="=指=小,：?乙BO、C=60。,...此時(shí)BP

U-yDV3

607rxV3V3

的長(zhǎng)為=-71.

1803

典題精練

類型二隱定弦顯定角

1.（2024蘇州改）如圖,在矩形ABCD中，AB=W,BC=1,動(dòng)點(diǎn)E,F分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度

沿AB,CD向終點(diǎn)B,D運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E,F作直線LAGJJ于點(diǎn)G,連接BG,則AG的最大值為_L,BG的最小值為一哼1.

解:連接AC交EF于點(diǎn)O.依題意，可證△AOE四△COF,.?.可求得=^AC=1.^-------7f

VAGXEF,Z.點(diǎn)G在以O(shè)A為直徑的。M上運(yùn)動(dòng).二?直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，

/~H認(rèn)V

JAG為直徑時(shí)最大，最大值為1；過(guò)點(diǎn)M作MHLAB于點(diǎn)H，連接BM.

tanzBXC=4BAC=30。,MH=-AM^-,AH=—AM=—BH=AB-AH=運(yùn)，:.BM=

324244

7MH2+BH2=*：當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)至BM與。M的交點(diǎn)處時(shí)，BG取得最小值為的最小值為g二.

2.（2024漢陽(yáng)區(qū)）【問(wèn)題背景】如圖1,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD上一動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF,則AELBF;

【問(wèn)題解決】如圖2,NABM=9（r,D,C分別是AB,BM上的一動(dòng)點(diǎn)，且AD=BC,DE回4C于點(diǎn)E,連接BE.若AB=

2,則線段BE的最小值為一V5-l_.

解:過(guò)點(diǎn)A作AFLAB,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,取AF的中點(diǎn)O,連接OB,OE.可證△ADF絲△BCA,；.AF=AB=2,

.?.點(diǎn)E在以AF為直徑的。O上運(yùn)動(dòng),.,.當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至OB與。O的交點(diǎn)處時(shí),BE取得最小值為OBOB=

VOA2+AB2=Vl2+22=V5..BE的最小值為V5—1.

難點(diǎn)突破6“隱圓隱切線”型

模型1模型2

條件:OP=a,Q是一動(dòng)點(diǎn)，且條件：O是直線1上的一定點(diǎn)，P是1上的一動(dòng)點(diǎn),

OQ=b（a,b是定長(zhǎng)，且a>b）.OQ=m（定長(zhǎng)）.且/OPQ=a（定角）.

結(jié)論：點(diǎn)Q在以b為半徑的0O上，且當(dāng)PQ

與。。相切時(shí),/OPQ最大.

結(jié)論：點(diǎn)Q在以m為半徑的

?O上，且當(dāng)PQ與OO相切時(shí).OP最大.

典例精講

類型一與定直線的最大夾角

【例】（2024江岸區(qū)）如圖，在RtAABC中,/ABC=9（T,AB=8,點(diǎn)D在邊BC上，且BD=2.P為△ABC內(nèi)一

點(diǎn)，且/APB=90。,直線DP交AC于點(diǎn)E.當(dāng)AE最大時(shí),AP的長(zhǎng)為（C）

人2B.yV5C.yVaD.6

解:取AB的中點(diǎn)O,連接OD,OD交BP于點(diǎn)F.：NAPB=90。,.?.點(diǎn)P在以AB為直徑的。。上運(yùn)動(dòng)，.?.當(dāng)DP

與。O相切時(shí)，AE取得最大值（如圖），，此時(shí)DB=DP=2,NODB=/ODP,；.OD_LBP,BF=PF.：NABC=90o,AB=8,

2222

BD=2,.-.OD=V4+2=2V5,BF=OF=VOB-BF=延,...此時(shí)APA=2OF=".故選C.

…5：5

J

典題精練

類型二定線段的最大張角（米勒原理）

1.（2024江漢區(qū)）如圖是足球場(chǎng)的局部平面示意圖，運(yùn)動(dòng)員甲從本方后場(chǎng)D處沿著垂直于對(duì)方球門線PQ的方向

帶球推進(jìn)，DCXPQ于點(diǎn)C,PQ=8米，PC=2米.若僅從射門角度的大小考慮（射門角度越大，越容易進(jìn)球），則運(yùn)

動(dòng)員甲位于最佳射門位置時(shí)離點(diǎn)C的距離為上V5米.

解：以PQ為弦作。。與CD相切于點(diǎn)M,此時(shí)/PMQ（射門角度）最大，點(diǎn)M為最佳射門位置.過(guò)點(diǎn)O作O

N±PQ于點(diǎn)N,連接OM,OP,則PN=QN=^PQ=4,四邊形OMCN是矩開么CM=ON,OM=CN=PC+PN=6,OP

=OM=6.在RtAPON中，。N=y/OP2-PN2=V62-42=2V5,CM=ON=2而（米）,即甲位于最佳射門位置時(shí)

離點(diǎn)C的距離為2逐米.

類型三與定直線夾定角

2.（2023廣元）如圖,/ACB=45。,半徑為2的0O與CA,CB分別相切于點(diǎn)D,G,P是。O上的一點(diǎn),PELCA于點(diǎn)E,

PF±CB于點(diǎn)F.設(shè)t=PE+&PF廁t的取值范圍是—2V2<t<2&+4_.

解:連接OD,OG,延長(zhǎng)GO交CA于點(diǎn)M.：。。分別與CA,CB相切于點(diǎn)于D,G,NACB=45。,；.△CGM.AMOD

都是等腰直角三角形，，0M=近0D=2V2,/.CD=CG=MG=OM+OG=2/+2延長(zhǎng)EP交CB于點(diǎn)Q,則同理可證

△CEQ,APFQ均為等腰直角三角形,.乙CQE=45。,PQ=y/2PF,t=PE+PQ=EQ.；點(diǎn)P在。O上,.?.當(dāng)EQ

與優(yōu)弧DG相切于點(diǎn)P時(shí),EQ最大，當(dāng)EQ與DG相切于點(diǎn)P時(shí),EQ最小,此時(shí)，連接OP,則四邊形OPED是正方

形,...此時(shí)ED=OD=2,CE=EQ=CD+DE=2a+4或CE=EQ=CD—DE=2vx.?.t的取值

氾圍是<t<2V2+4.

難點(diǎn)突破7拼接線段求最值

方法技巧：利用三角形的全等（相似）將兩條線段在動(dòng)點(diǎn)處拼接為“首尾”是定點(diǎn)的折線段，再運(yùn)用“兩點(diǎn)之間，線

段最短”求線段和的最小值.

典例精講

技巧一構(gòu)全等騰挪線段

【例】（2024研口區(qū)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,E是正方形內(nèi)部的一點(diǎn)，且BE=AB,F為BE上一

點(diǎn)，且BF=3,連接DE,CF,則DE+CF的最小值為V89

解:在BC上取點(diǎn)M,使BM=BF=3,則CM=5,連接EM,DM.力|一方官。

,.?BE=AB=BC,.\ABCF^ABEM,/：/

：.EM=CF,DE+CF=DE+EM>DM,Bc

當(dāng)點(diǎn)E在線段DM上時(shí),DE+CF取得最小值為DM的長(zhǎng).

在RtAMCD中，DM=VMC2+CD2=V52+82=V89,

/.DE+CF的最小值為V89.

典題精練

技巧二構(gòu)相似騰挪線段

1.（2024漢陽(yáng)區(qū)）如圖,在4ABC中，ZXCB=45。,"=3&,AB=6,D,E分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=2AD,

貝U2AE+CD的最小值為丑_V5.

解：3提示:過(guò)點(diǎn)A作AF〃BC,使AF=^AB=3,連