電路原理（邱關(guān)源）第一章 電路模型和電路定理 習(xí)題答案

第一章電路模型和電路定律

電路理論主要研究電路中發(fā)生的電磁現(xiàn)象，用電流，、電壓”和功率P等物

理量來描述其中的過程。因?yàn)殡娐肥怯呻娐吩?gòu)成的，因而整個(gè)電路的表現(xiàn)如

何既要看元件的聯(lián)接方式，又要看每個(gè)元件的特性，這就決定了電路中各支路電

流、電壓要受到兩種基本規(guī)律的約束，即：

（1）電路元件性質(zhì)的約束。也稱電路元件的伏安關(guān)系（VCR）,它僅與元件

性質(zhì)有關(guān)，與元件在電路中的聯(lián)接方式無關(guān)。

（2）電路聯(lián)接方式的約束（亦稱拓?fù)浼s束）。這種約束關(guān)系則與構(gòu)成電路的

元件性質(zhì)無關(guān)?；鶢柣舴螂娏鞫桑↘CL）和基爾霍夫電壓定律（KVL）是概括

這種約束關(guān)系的基本定律。

掌握電路的基本規(guī)律是分析電路的基礎(chǔ)。

1-1說明圖（a）,（b）中，（1）“，'的參考方向是否關(guān)聯(lián)？（2）如乘積表示什么

功率？（3）如果在圖（a）中">°，，<°；圖（b）中“<°，，>°,元件實(shí)際發(fā)出

還是吸收功率？

5----------*-------元件--------??-----*----元件--------?

UU

G）題1-1圖⑻

解：（1）當(dāng)流過元件的電流的參考方向是從標(biāo)示電壓正極性的一端指向負(fù)極

性的一端，即電流的參考方向與元件兩端電壓降落的方向一致，稱電壓和電流的

參考方向關(guān)聯(lián)。所以（a）圖中"，''的參考方向是關(guān)聯(lián)的；（b）圖中“，'的參考方

向?yàn)榉顷P(guān)聯(lián)。

（2）當(dāng)取元件的〃，,參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，定義。=就為元件吸收的

功率；當(dāng)取元件的"，'?參考方向?yàn)榉顷P(guān)聯(lián)時(shí)，定義。=如為元件發(fā)出的功率。所

以（a）圖中的立乘積表示元件吸收的功率；（b）圖中的位乘積表示元件發(fā)出的

功率。

(3)在電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)的條件下，帶入或數(shù)值，經(jīng)計(jì)算，若

P=m>°,表示元件確實(shí)吸收了功率；若。表示元件吸收負(fù)功率，實(shí)際是

發(fā)出功率。(a)圖中，若">。，，<。，則"=如<0,表示元件實(shí)際發(fā)出功率。

在〃，'?參考方向非關(guān)聯(lián)的條件下，帶入"，'?數(shù)值，經(jīng)計(jì)算，若。=5>0,為

正值，表示元件確實(shí)發(fā)出功率；若。為負(fù)值，表示元件發(fā)出負(fù)功率，實(shí)際

是吸收功率。所以(b)圖中當(dāng)">。，，>0,有，=5>0,表示元件實(shí)際發(fā)出功

率。

1-2若某元件端子上的電壓和電流取關(guān)聯(lián)參考方向，而"=170cos(100加)V,

i=7sin(100R)A,求：(1)該元件吸收功率的最大值；(2)該元件發(fā)出功率的

最大值。

解.p(t)==170COS(100TT0X7sin(lOO^)=595sin(200^)W

(1)當(dāng)sin(20(k/)>°時(shí)，p?)>。，元件吸收功率；當(dāng)sin(20(k/)=l時(shí)，元

件吸收最大功率：'max=595W

(2)當(dāng)sin(20(k/)<0時(shí),P⑴<°,元件實(shí)際發(fā)出功率;當(dāng)sin(200rt)=-1時(shí),

元件發(fā)出最大功率：'max=595W

1-3試校核圖中電路所得解答是否滿足功率平衡。(提示：求解電路以后，校核

所得結(jié)果的方法之一是核對電路中所有元件的功率平衡，即元件發(fā)出的總功率應(yīng)

等于其他元件吸收的總功率)O

解：由題1-3圖可知，元件A的電壓、電流為非關(guān)聯(lián)參考方向，其余元件的

電壓電流均為關(guān)聯(lián)參考方向。所以各元件的功率分別為：

PA=60x5=300W>0,為發(fā)出功率

%=60x1=60W〉0,為吸收功率

=60X20=120W〉0,為吸收功率

0,=40義2=80W〉0,為吸收功率

PE=20x2=40W>0,為吸收功率

——2A

---------------------------—Di>-i

M5A"1Av2A+40V-,r2A

A60VB60VC60V20Vg

題1-3圖

電路吸收的總功率

p=PB+Po+Pc+PE=60+120+80+40=300W

即，元件A發(fā)出的總功率等于其余元件吸收的總功率，滿足功率平衡。

注：以上三題的解答說明，在電路中設(shè)電壓、電流參考方向是非常必要的。在計(jì)算一

段電路或一個(gè)元件的功率時(shí)，如果不設(shè)電流、電壓的參考方向，就無法判斷該段電路或元件

是發(fā)出還是吸收功率。

此外還需指出：對一個(gè)完整的電路來說，它產(chǎn)生（或發(fā)出）的功率與吸收（或消耗）的

功率總是相等的，這稱為功率平衡。功率平衡可以做為檢驗(yàn)算得的電路中的電壓、電流值是

否正確的一個(gè)判據(jù)。

1-4在指定的電壓"和電流,參考方向下，寫出各元件"和珀勺約束方程（元件的

組成關(guān)系）。

z10kQZ20mH

u

(b)

u+

(d)

題1-4圖

解：（a）圖為線性電阻，其電壓、電流關(guān)系滿足歐姆定律。需要明確的是:

（1）歐姆定律只適用于線性電阻；（2）如果電阻R上的電流、電壓參考方向非

關(guān)聯(lián)，歐姆定律公式中應(yīng)冠以負(fù)號，即〃0）=一用”）。由以上兩點(diǎn)得（a）圖電阻

元件"和珀勺約束方程為

u=—Rz=-10xl03z

歐姆定律表明，在參數(shù)值不等于零、不等于無限大的電阻上，電流與電壓

是同時(shí)存在、同時(shí)消失的。即電阻是無記憶元件，也稱即時(shí)元件。

MQ）=L由（‘）

（b）圖為線性電感元件，其電壓、電流關(guān)系的微分形式為：dt。

如果電壓、電流參考方向?yàn)榉顷P(guān)聯(lián)，上式中應(yīng)冠以負(fù)號，所以（b）圖電感元件”

和，的約束方程為

w=-20xl0-3—

dt

電感元件的電壓、電流微分關(guān)系表明：（1）任何時(shí)刻，其電壓與該時(shí)刻的電

流變化率成正比，顯然直流時(shí)，電感電壓為零，電感相當(dāng)于短路。因此，電感是

一個(gè)動態(tài)元件。（2）當(dāng)電感上的電壓為有限值時(shí)，電感中的電流不能躍變，應(yīng)是

時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。

c絆2

（c）圖為線性電容元件，其電壓、電流關(guān)系的微分形式為：dt。

如果電壓、電流的參考方向?yàn)榉顷P(guān)聯(lián)，上式中應(yīng)冠以負(fù)號，即dt。

所以（b）圖電容元件”和，的約束方程為

=10xl0-6—=10-5—

zdtdt

電容元件的電壓。電流微分關(guān)系表明：（1）任何時(shí)刻，通過電容的電流與該

時(shí)刻其上的電壓變化率成正比，即電容是一個(gè)動態(tài)元件。顯然直流時(shí)，電容電流

為零，電容相當(dāng)于開路。（2）當(dāng)電容上的電流為有限值時(shí)，電容上的電壓不能躍

變，必須是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。

3）圖是理想電壓源。理想電壓源的特點(diǎn)為：（1）其端電壓與流經(jīng)它的電

流方向、大小無關(guān)。（2）其電壓由它自身決定，與所接外電路無關(guān)，而流經(jīng)它的

電流由它及外電路所共同決定。由以上特點(diǎn)得（d）圖的約束方程為

〃=—5V

（e）圖是理想電流源。理想電流源的特點(diǎn)為：（1）其發(fā)出的電流位）與其兩

端電壓大小、方向無關(guān)。（2）其輸出電流由它自身決定，與所接外電路無關(guān)，而

它兩端電壓由它輸出的電流和外部電路共同決定。由以上特點(diǎn)得（e）圖的約束

方程為

i=2A

注：以上五個(gè)理想元件是電路分析中常遇到的元件。元件電壓、電流的約束方程，反

映了每一元件的特性和確定的電磁性質(zhì)。不論元件接入怎樣的電路，其特性是不變的，即它

的“"約束方程是不變的。因而深刻地理解和掌握這些方程，就是掌握元件的特性，對電路

分析是非常重要的。

1-5圖（a）電容中電流，的波形如圖（b）所示現(xiàn)已知％（°）=°,試求”1s時(shí),

'=2s和'=4s時(shí)的電容電壓。

解：已知電容的電流,⑺求電壓比⑺時(shí)，有

“⑺=；匚J席=u(t0)+"席

式中MH。）為電容電壓的初始值。

本題中電容電流，⑺的函數(shù)表示式為

0t<0

i（t）=<5t0<?<2

-10t>2

根據(jù)“"積分關(guān)系，有

/=1s時(shí)Uc（l）=uc（0）+-1￡

=0+；卜力=；x（y）“1.25V

”2s時(shí)氣⑵="c（0）+1口⑺力

=0+都5回=恭（|咻=5V

/=4s時(shí)%（4）="c（2）+1j；⑺力

=5+g'10E=5+gx（-104=-5V

注：電路元件”"關(guān)系的積分形式表明，’時(shí)刻的電壓與‘時(shí)刻以前的電流的“全部

歷史”有關(guān)，即電容有“記憶”電流的作用，故電容是有記憶的元件。因此在計(jì)算電容電壓

時(shí)，要關(guān)注它的初始值0°）,反映了電容在初始時(shí)刻的儲能狀況，也稱為初始狀

態(tài)。電感元件也具有類似的性質(zhì)，參見1-6題。

1-6圖（a）中L=4”,且，，電壓的波形如圖（b）所示。試求當(dāng)t=ls,t=2s,

/=3s和t=4s時(shí)的電感電流

解：電感元件"，'關(guān)系的積分形式為

上式表明，電感元件有“記憶”電壓的作用，也屬于記憶元件。式中9。）為電感

電流的初始值，反映電感在初始時(shí)刻的儲能狀況。

本題中電感電壓的函數(shù)表示式為

0t<0

100<t<2

〃⑺=<02<t<3

10-403<?<4

04<t

應(yīng)用"，'?積分關(guān)系式，有

'=1S時(shí),

=O+1j^lO^=1x（lOO|o=2.5A

2s時(shí)，氏2）=,⑴+*"⑺力

=2.5+[10力=2.5+；x（10葉=5A

1=3s時(shí)'⑶='⑵+*—=5+；，0力=5A

t=4s時(shí)，'（4）=，'（3）+：["?）d/=5+（J3（18—40）d/=3.75A

1-7若已知顯像管行偏轉(zhuǎn)線圈中的周期性行掃描電流如圖所示，現(xiàn)已知線圈電感

為0.01H,電阻略而不計(jì)，試求電感線圈所加電壓的波形。

解：電流'⑺的函數(shù)表達(dá)式為

\4^x106[0<^<60U5

l(t)=j6。L

3xl05(64xl0-6-t)60<t<6411s

根據(jù)電感元件”?的微分關(guān)系，得電壓的函數(shù)表達(dá)式為

小力⑺/2x1020〈/<60口

u(t)=0.01—.

dt1-3xl()360〈/<64”

M⑺的波形如題解1-7圖，說明電感的電壓可以是時(shí)間的間斷函數(shù)。

1-82日/電容上所加電壓的波形如圖所示。求：(1)電容電流，；(2)電容電荷也

(3)電容吸收的功率P。

解：(1)電壓M。)的函數(shù)表達(dá)式為

0t<0

103f0<t<2ms

ll(t)=<

4-103/2<t<4-ms

04<tms

根據(jù)電容元件"，i的微分關(guān)系，得電流i⑴的函數(shù)表達(dá)式為:

0?<0

2x10-30<t<2ms

5

-2x10-32<t<4ms

@DM展

04<tms

c=￡

(2)因?yàn)椤?，所以?/p>

0t<Q

2x10-70<t<2ms

2x106(4-103?)2<t<ms

q(t)=Cu(t)=04<tms

(3)在電壓電流參考方向關(guān)聯(lián)時(shí)，電容元件吸收的功率為

0t<0

ItQ<t<2ms

'-2x10-3(4—IO?/)2<%<4ms

p(t)=〃")，(/)=.04<tms

，⑺應(yīng)⑺,p⑺波形如題解上8圖所示。

注：在圖(c)所示的功率波形中，表示電容吸收功率，處于充電狀態(tài)，其電壓和電荷

隨時(shí)間增加；表示電容供出功率，處于放電狀態(tài)，其電壓和電荷隨時(shí)間減小。和的兩部分面

積相等，說明電容元件不消耗功率，是一種儲能元件。同時(shí)它也不會釋放出多于它吸收的或

儲存的能量。所以，電容是一種無源元件，它只與外部電路進(jìn)行能量交換。需要指出的是，

電感元件也具有這一性質(zhì)。

1-9電路如圖所示，其中R=2Q,L=1",C=0.01”〃c(0)=0,若電路的輸入電

，=2sin(2t+三)A,八

流為：(1)3；(2)，="2。試求兩種情況下，當(dāng)方＞°時(shí)的。必

和此值。

題1-9圖

解：根據(jù)民工和0的"」關(guān)系有

i=2sin(2/+')A

⑴若3,則有

UR(t)=Ri(t)=2x2sin(2r+^)=4sin⑵+y)V

4⑺

=L^￡1=1X2cos(2z+y)x2=4cos(2/+y)V

'dt

〃c?)="A。)+["=0+高12sin(2J+守段=50-100cos(2?+1)V

⑵若，=e-'A,則有

。(0=&⑺=2x/V

uL(t)=L也^=1x)=—/V

dt

〃c?)=?c(O)+1￡^W==100(1-e-?)V

1-10電路如圖所示，設(shè)4。)=。-05@口4”)=必”，試求乙⑺和z⑺

題1-10圖

解：可以看出，流過電感的電流等于電流源的電流",電容a上的電壓為k,

故由〃C元件的i約束方程可得

f

uL(?)=L=Lle^x(-a)=-Liae"V

QQ)=。號^=QC/,?[-sin(o0]①=-?C2[7,?sin(ot)V

1-11電路如圖所示，其中z；=2A，Z=10V。

(1)求24電流源和1°V電壓源的功率；

(2)如果要求2A電流源的功率為零，在AB線段內(nèi)應(yīng)插入何種元件？分

析此時(shí)各元件的功率；

(3)如果要求1°V電壓源的功率為零，則應(yīng)在BC間并聯(lián)何種元件？分析

此時(shí)各元件的功率。

題1-11圖

解：⑴電流源發(fā)出功率0=比/=1°X2=20W

電壓源吸收功率夕==10x2=20W

(2)若要24電流源的功率為零，則需使其端電壓為零。在AB間插入

&=10丫電壓源，極性如題解圖(a)所示。此時(shí)，電流源的功率為°=°x's=°。

插入的電壓源發(fā)出功率2°卬，原來的電壓源吸收功率2。卬。

(3)若要。8電壓源的功率為零，則需使流經(jīng)電壓源的電流為零?？梢圆?/p>

取在BC間并聯(lián)廠=24的電流源，如題解圖(b)所示，或并聯(lián)

=10/2=5。

R=u/L的電阻，如題解圖(c)所示。

題解1-11圖

題解圖（b）中，因由KCL可知，流經(jīng)人的電路為零。所以人的功率

為零。

原電流源發(fā)出功率P=*=10義2=20W

并入的電流源吸收功率P=M/=10X2=20W

題解圖（c）中，流經(jīng)電阻的電流為

UsS=2A

R

由KCL可知，流經(jīng)人的電流為零，因此，“、的功率為零。此時(shí)，電流源發(fā)出功

率

p^usis=10x2=20W

.=城=萼=20W

電阻消耗功率R5

注：本題說明，計(jì)算理想電源的功率，需計(jì)算理想電流源的端電壓值和流經(jīng)理想電

壓源的電流值O而電流源的端電壓可以有不同的極性,流經(jīng)電壓源的電流可以有不同的方向，

它們的數(shù)值可以在°8之間變化，這些變化取決于外接電路的情況。因此，理想電源可以

對電路提供能量（起電源作用），也可以從外電路接收能量（充當(dāng)其它電源的負(fù)載）。

1-12試求圖示電路中每個(gè)元件的功率。

(b)

題1-12圖

解：(a)圖中，由于流經(jīng)電阻和電壓源的電流為°5A,所以電阻消耗功率

PR=RI2=2x0.52=0.5W

P=U'=1x0.5=0.5W

電壓源吸收功率v

由于電阻電壓UR=RI=2xO.5=lV

得電流源端電壓U=UR+US=1+1=2V

P,=4。=0.5義2=1卬

電流源發(fā)出功率

(b)圖中2Q電阻的電壓UR=2-1=1V

人="=4=05A

所以有122

h=1=1A

由KCL得/3H=0.5-1=-0.5A

故2V電壓源發(fā)出功率P=2xl1=2xO.5=lW

IV電壓源發(fā)出功率P=2x(—A)=lx0.5=0.5W

2。電阻消耗功率P=2x/：=2x0.52=0.5W

2

1。電阻消耗功率P=lxl；=lxl=1W

1-13試求圖中各電路的電壓并討論其功率平衡。

解：應(yīng)用KCL先計(jì)算電阻電流4,再根據(jù)歐姆定律計(jì)算電阻電壓，從而得

出端電壓最后計(jì)算功率。

(a)圖中4=2+6=8A

U=UR=2XIR=2x8=16V

所以輸入電路的功率為P=Ux2=16x2=32W

電流源發(fā)出功率P[=6XU=6X16=96W

2

電阻消耗功率PR=2xll=2x8=128W

顯然尸+弓=弓，即輸入電路的功率和電源發(fā)出的功率都被電阻消耗了。

(b)圖中1R=6-2=4A

U=UR=2X/R=2x4=8V

所以輸入電路的功率為P=-Ux2=-8x2=-16W

電流源發(fā)出功率P1=6x0=6x48=48W

電阻消耗功率PR=2x"=2x4?=32W

顯然仍滿足P+PI=PR

實(shí)際上電源發(fā)出的功率被電阻消耗了32卬，還有16W輸送給了外電路。

(c)圖中IR=2-4=-2A

U=UR=3X/R=3x(—2)=—6V

所以輸入電路的功率為p=Ux2=—6x2=—12W

電流源發(fā)出功率6=4x6=24W

2

電阻消耗功率PR=3X〃=3x(-2)=12W

即滿足P+P.=PR

(d)圖中IR=5-3=2A

U=UR=4X/R=4X2=8V

各部分功率分別為P=UX5=8X5=40W

P,=—3xU=—3x8=—24W

PR=4x,=4x2?=16W

仍滿足P+B=PR

1-14電路如圖所示，試求：(1)電流4和“叼圖(a)］；(2)電壓”［圖(b)］0

09,=i=—=2A

解(a)：受控電流源的電流為.?5

2.222A

所以

uab=4xi0b=4x(z；-0.9^)=4x0.1?0.899V

解(b)：因?yàn)?=2x5=10V,故受控電流源的電流為

i=0.05%=0.05xl0=0.5A

u=20x7=20x0.5=10V

而

%=-3V

所以Ucb=~Uac+Uab=—10-3=-13V

注：本題中出現(xiàn)了受控源，對受控源需要明確以下幾點(diǎn)：

(1)受控源是用來表征在電子器件中所發(fā)生的物理現(xiàn)象的一種模型，是大小和方向受電

路中其它地方的電壓或電流控制的電源。在電路中，受控源與獨(dú)立源本質(zhì)的區(qū)別在于受控源

不是激勵(lì)，它只是反映電路中某處的電壓或電流控制另一處的電壓或電流的關(guān)系。

(2)受控源分受控電壓源和受控電流源兩類，每一類又分電壓控制和電流控制兩類。計(jì)

算分析有受控源的電路時(shí)，正確地識別受控源的類型是很重要的。

(3)求解含有受控源的電路問題時(shí)，從概念上應(yīng)清楚，受控源亦是電源，因此在應(yīng)用

KCL,KVL列寫電路方程時(shí)，先把受控源當(dāng)作獨(dú)立源一樣看待來寫基本方程，然后注意受控

源受控制的特點(diǎn)，再寫出控制量與待求量之間的關(guān)系式。

1-15對圖示電路:

題1-15圖

(1)已知圖(a)中，R=2O,i]=lA,求電流i；

(2)已知圖(b)中,4=4.5。,夫2=1。,求，2。

解(a)：對圖中右邊的回路列KVL方程(順時(shí)針方向繞行)有

Ri-lQ-5i,=0

.=10±5￡=10±5xl=75A

則R2

解(b):電阻與兩端的電壓為

UR[=&，]=4.5x2=9V

對左邊回路列KVL方程有

uR—Us+〃]—0

則%=10-9=1V

從圖中右邊回路的KVL方程的

7?2,2+3〃]_HR1-0

注：本題求解中主要應(yīng)用了KVL0KVL是描述回路中各支路（或各元件）電壓之間

關(guān)系的，它反映了保守場中做功與路徑無關(guān)的物理性質(zhì)。應(yīng)用KVL列回路電壓方程時(shí)，應(yīng)

注意：（1）首先要指出回路中各支路或元件上的電壓參考方向，然后指定有關(guān)回路的繞行方

向（順時(shí)針或逆時(shí)針均可）；（2）從回路中任一點(diǎn)開始，按所選繞行方向依次迭加各支路或

元件上的電壓，若電壓參考方向與回路繞行方向一致，則該電壓取正值，否則取負(fù)值。

RRR

1-16對圖示電路，若：⑴&小2,&值不定;（2）1=2=3O

在以上兩種情況下，盡可能多的確定其他各電阻中的未知電流。

題1-16圖

解：設(shè)定各電阻中未知電流的參考方向如圖所示。

（1）若與小2,&值不定，%也，&不能確定。對圖中所示閉合面列KCL方程,

根據(jù)

流進(jìn)的電流等于流出的電流有

%=3+4—6=1A

對A點(diǎn)列KCL方程，可以解得

=，4+2—(—10)=1+2+10=13A

（2）若居=旦=&,對右邊回路和B,C結(jié)點(diǎn)列KVL和KCL方程，有

R11+尺2,2+尺3,3=0

<%=3+，2

把方程組整理，代入與=旦=&的條件，得

—Zq—4

應(yīng)用行列式法解上面方程組

0

030

-14-1

00

303

4-14

所以

'4"5的值同（l）o

注：從本題的求解過程中可以看出KCL是描述支路電流之間關(guān)系的，而與支路上元件

的性質(zhì)無關(guān)。KCL實(shí)質(zhì)是反映電荷守恒定律，因此，它不僅適用于電路中的結(jié)點(diǎn)，對包圍

部分電路的閉合面也是適用的。應(yīng)用KCL列寫結(jié)點(diǎn)或閉曲面電流方程時(shí)應(yīng)注意：（1）方程

是依據(jù)電流的參考方向建立的，因此，列方程前首先要指定電路中各支路上電流的參考方向，

然后選定結(jié)點(diǎn)或閉曲面；（2）依據(jù)電流參考方向是流入或流出寫出代數(shù)方程（流出者取正號,

流入者取負(fù)號，或者反之。也可以用流入等于流出表示）。

1-17圖示電路中，已知"12=2V,〃23=3匕的5=5V,〃37=3匕與7=1V,盡可能

多地確定其他各元件的電壓。

解：已知即="12=2V,M"="23=3V,"c="25="67=1丫，選取回路

列KVL方程。

對回路（①②⑤①）有=%5=M12+&25

u=2+5=7V

所以a

對回路（①②③①）有

uk—ul3=w12+1/23=2+3=5V

對回路（②③④⑦⑥⑤②）有

W23+W37-W67-U56-“25=0

Uf~U56~+仇37—“67—“25

所以=3+3-1-5=07

對回路(③④⑦⑥③)有

Ue="36=”37—”67—3—1=2V

對回路(⑤⑥⑦⑤)有

Ui=%7="56+”67=0+1=1V

1-18對上題所示電路,指定個(gè)支路電流的參考方向，然后列出所有結(jié)點(diǎn)處的KCL

方程，并說明這些方程中有幾個(gè)是獨(dú)立的。

解：支路電流的參考方向如圖所示，各結(jié)點(diǎn)的KCL方程分別為（以流出結(jié)

點(diǎn)的電流為正）

①4+Z'b+&=0②_'b+Zc+Zd=0

③一，d+?g+?e_?k=0⑤一，a+4+4=0

⑥_，e_%+4=0⑦_(dá)'j_'i_ig=0

把以上6個(gè)方程相加，得到。=。的結(jié)果。說明6個(gè)方程不是相互獨(dú)立的，

但是其中任意5個(gè)方程是相互獨(dú)立的。

注：一個(gè)有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的電路，依KCL列結(jié)點(diǎn)電流方程，則n-1個(gè)方程將是相互獨(dú)立

的。這是因?yàn)槿我粭l支路一定與電路中兩個(gè)結(jié)點(diǎn)相連，它上面的電流必定從其中一個(gè)結(jié)點(diǎn)流

出，又流入另一個(gè)結(jié)點(diǎn)，因此，在n個(gè)KCL方程中，每個(gè)支路電流一定出現(xiàn)2次，一次為

正，另一次為負(fù)，若把n個(gè)方程相加，必定得到等于零的恒等式。即n個(gè)KCL方程不是相

互獨(dú)立的，但從n個(gè)方程中任意去掉一個(gè)結(jié)點(diǎn)電流方程，余下的n-1個(gè)方程是相互獨(dú)立的。

1-19電路如圖所示,按指定的電流參考方向列出所有可能的回路的KVL方程。

這些方程都獨(dú)立嗎?

題解1-19圖

解：圖示電路共有題解1-19圖所示的7個(gè)回路，其KVL方程分別為（取順

時(shí)針繞行方向）:

①R/1+燈2+氏5&-45+。=0

②R>4+凡，6+%-氏5,5=。

③R2i2+R4i4+R6i6+usl+咐=0

U。

④7?3Z3-S3+R6i6+usl+R=0

⑤R3i3-7?4Z4-RJ2-MS3=0

⑥R3i3-R￡+R5i5-us5-us3++M”=0

⑦+曲6+45-氏5,5-燈2-43=。

從以上方程不難發(fā)現(xiàn)有下列關(guān)系存在，即:

①+②:③

①十⑤二⑥

⑤十②二⑦

①+②十⑤:④

由此說明，從方程①，②，⑤可以導(dǎo)得方程③，④，⑥，⑦，同樣從方程④,

⑤，⑥可以導(dǎo)得方程①，②，③，⑦等等，這說明7個(gè)KVL方程不是相互獨(dú)立

的，獨(dú)立的方程只有三個(gè)。

注:對于一個(gè)有n個(gè)結(jié)點(diǎn),b條支路的電路，可以證明，其獨(dú)立的KVL方程數(shù)為（b-（n-l））

個(gè)。把能列寫?yīng)毩⒎匠痰幕芈贩Q為獨(dú)立回路，本題有結(jié)點(diǎn)n=4,支路b=6,所以其獨(dú)立的回

路數(shù)為b-（n-l）=3。一般在列KVL方程時(shí)，獨(dú)立回路可以這樣選?。海?）使所選各回路都包

含一條其它回路所沒有的新支路；（2）對平面電路，其網(wǎng)孔即為獨(dú)立回路，如本題中方程①,

②，⑤即為按網(wǎng)孔列