2025中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：利用圓的性質(zhì)進(jìn)行求解的問題（解析版）

專題02利用圓的性質(zhì)進(jìn)行求解的問題

圓在壓軸題中考查綜合性比較強(qiáng)，常與二次函數(shù)、全等三角形以及相似三角形結(jié)合進(jìn)行考查，本專題中

重點(diǎn)側(cè)重壓軸題中對(duì)圓的性質(zhì)的考查部分，需要考生熟練掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)。

圓有關(guān)的性質(zhì)：

i.圓的對(duì)稱性：圓既是軸對(duì)稱圖形有時(shí)中心對(duì)稱圖形。

2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

3.垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

4.圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等。

5.圓心角、弧、弦的關(guān)系定理推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，

那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。

6.圓周角定理定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

7.圓周角定理的推論：

推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。

推論2：直徑所對(duì)的圓周角是直角.

8.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d.（l）d<r=;點(diǎn)在。。內(nèi)；（2）d=rg點(diǎn)在。。上；（3）入廠點(diǎn)在。。

外.

9.直線和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系相離相切相交

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)

數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r

10.切線的性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于圓的半徑；切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半

徑。

11.切線的判定

（1）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義）；

(2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；

(3)經(jīng)過半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

12.三角形的外接圓：經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這

個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

13.三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，

這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形；內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三條邊的距離相等。

14.正多邊形的有關(guān)概念

(1)正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心；

(2)正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑；

(3)正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形中心角；

(4)正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

15.弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算：扇形的弧長(zhǎng)/=吧；扇形的面積5=2=工”.

1803602

16.圓錐與側(cè)面展開圖

(1)圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)。

(2)若圓錐的底面半徑為廣，母線長(zhǎng)為/,則這個(gè)扇形的半徑為/,扇形的弧長(zhǎng)為2”，

圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)=工/?2?！?兀/7,圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側(cè)+S圓錐底=兀力+兀戶=兀尸(/+r).

真題精析

例孽1

布''如?泰大

(2022?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考中考真題)已知CH是。O的直徑，點(diǎn)A,點(diǎn)B是。O上的兩個(gè)點(diǎn)，連接04,02,

點(diǎn)。，點(diǎn)E分別是半徑的中點(diǎn)，連接CD,CE,BH,S.ZAOC=2ZCHB.

H圖1H圖2H圖3

(1)如圖1,求證：NODC=NOEC；

(2)如圖2,延長(zhǎng)CE交3”于點(diǎn)兒若CDLQ4,求證：FC=FH；

⑶如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)G是8H上一點(diǎn)，連接AG,3G,〃G,OF,若AG:3G=5:3,HG=2,求。F

的長(zhǎng).

(1)根據(jù)SAS證明ACOD^ACOE即可得到結(jié)論；

(2)證明4=NECO即可得出結(jié)論；

(3)先證明Ob_LC”,連接證明=設(shè)AG=5x,BG=3x,在AG上取點(diǎn)M,使得4W=BG,

連接MH,證明△MHG為等邊三角形，得MG=HG=2,根據(jù)AG=AM+MG可求出x=l,得AG=5,

BG=3,過點(diǎn)H作HNLMG于點(diǎn)N,求出=再證HF=2OP,根據(jù)=3。尸=M可得結(jié)論.

［答案與解析】

0F=—

【答案】⑴見解析；(2)見解析；(3)3

【詳解】(1)如圖L???點(diǎn)D,點(diǎn)￡分別是半徑QAO3的中點(diǎn)

圖1

AOD=-OA9OE=-OB

22

OA=OB9

：.OD=OE

VZBOC=2ZCHB,ZAOC=2ZCHB

：.ZAOC=ZBOC

oc=oc

ACOD三△COEf

：.ZCDO=ZCEO；

(2)如圖2.VCDLOA,

:.NCDO=90°

C

圖2

由(1)得NCEO=NCDO=90。，

OE1

:.sinZOC￡=—=-

OC2

JNOCE=30。，

:.Z.COE=90°-Z.OCE=60°

11

V/H=—ZBOC=—X60。=30°

22

：.ZH=ZECOf

：.FC=FH

(3)如圖3.丁8=0",FC=FH

:.OFVCH

：.ZFOH=90°

c

H

圖3

連接A2/?VZAOC=ZBOC=60°

:.ZAOH=ZBOH=120°,

AAH=BHfZAGH=60°

VAG:5G=5:3

設(shè)AG=5x,

:.BG=3x

在AG上取點(diǎn)使得4V/=NG,連接MH

?；/HAM=ZHBG,

：.△HAM9^HBG

：.MH=GH9

???△MHG為等邊三角形

:.MG=HG=2

?:AG=AM+MG9

/.5x=3%+2

??%—1f

：.AG=5

**?BG=AM=39

過點(diǎn)”作HVLMG于點(diǎn)N

MN=-GM=-x2=l,7?V=WG-sin60°=V3

22

：.AN=MN+AM=4,

，HB=HA=y/NAr+HN2=>/19

VZFOH=90°,NOHF=30。，

AZOFH=60°

,:OB=OH,

：.NBHO=ZOBH=30°,

:.ZFOB=ZOBF=30°

：.OF=BF,

在RMOFH中,NOHF=30。,

：.HF=2OF

:.HB=BF+HF=3OF=屈,

..OF=-----.

3

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì),

勾股定理以及解直角三角形等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.

例年2

（2022?浙江溫州?統(tǒng)考中考真題）如圖1,為半圓。的直徑，C為54延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CO切半圓于點(diǎn)

BELCD,交CO延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交半圓于點(diǎn)R已知3。=5,3石=3.點(diǎn)尸，0分別在線段AB,形上（不

Ap5

與端點(diǎn)重合），且滿足仄方=了.設(shè)BQ=x,CP=y.

APOCAPOF

圖1圖2

⑴求半圓。的半徑.

（2）求y關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式.

（3）如圖2,過點(diǎn)尸作PRLCE于點(diǎn)R,連結(jié)P2,RQ.

①當(dāng)△尸QE為直角三角形時(shí)，求x的值.

②作點(diǎn)F關(guān)于QR的對(duì)稱點(diǎn)F',當(dāng)點(diǎn)尸'落在BC上時(shí),求三7的值?

ODCO

（1）連接如，設(shè)半徑為r,利用△CODs^CBE,得三=2，代入計(jì)算即可；

BECB

（2）根據(jù)CP=AP十4G用含了的代數(shù)式表示AP的長(zhǎng)，再由（1）計(jì)算求AC的長(zhǎng)即可；

（3）①顯然/依。＜90。，所以分兩種情形，當(dāng)NRPQ=90。時(shí)，則四邊形RP0E是矩形，當(dāng)NPQR=

90。時(shí)，過點(diǎn)尸作PH_L5E于點(diǎn)則四邊形PHER是矩形，分別根據(jù)圖形可得答案；

②連接AEQF',由對(duì)稱可知QP=QP',/F'QR=/EQR=45。，利用三角函數(shù)表示出39和5尸的長(zhǎng)度，從

而解決問題.

［答案與解析］

155S0O11Q

【答案】⑴］；（2）y=z尤+"（3）①,或??；②§

【詳解】（1）解：如圖1,連結(jié)°。.設(shè)半圓。的半徑為r.

E

：.ODYCD.

?：BE1CD,

：.OD//BE,

：.△CODsMBE,

?OPCO

??一，

BECB

r5—r

即M三，

即半圓o的半徑是雪.

oo

G4=CB-AB=5-2x”

(2)由(1)得：84.

AP5?

5。4V

:.AP=—x.

4

VCP=AP+AC,

.55

??y=—xH—.

44

(3)①顯然/PRQ<90°,所以分兩種情況.

i)當(dāng)/RPQ=90。時(shí)，如圖2.

:.NERP=90。.

VNE=90°,

二四邊形RPQE為矩形,

:.PR=QE.

333

VP7?=PCsinC=-y=-x+-,

544

33

—XH——3—X,

44

._9

??x-

7

ii）當(dāng)NPQR=90。時(shí)，過點(diǎn)尸作PH，跳;于點(diǎn)如圖3,

圖3

則四邊形PHEK是矩形,

二PH=RE,EH=PR.

■:CB=5,BE=3,

?**CE=Vs2-32=4?

4

VC/?=CPcosC=-y=x+l,

.?.PH=RE=3-X=EQ9

：.ZEQR=ZERQ=45°9

：.ZPQH=450=ZQPH9

：.HQ=HP=3-X9

33

由&/=PR得:(3—冗)+(3—x)=-x-\—,

44

?一21

11

綜上所述，X的值是:或II.

②如圖4,連結(jié)AEQF，,

,:BEJ-CE,PRLCE,

:.PR〃BE,

:.NEQR=NPRQ,

VBQ=Xcp=-x+-

一944f

:.EQ=3-x,

?:PR〃BE,

：.ACPR^ACBE,

.CPCB

??一—~，

CRCE

55

即：尸4二5,

CR~4

解得：CR=x+l,

：.ER=EC-CR=3-X9

即：EQ=ER

：.ZEQR=ZERQ=45°9

：.ZFfQR=ZEQR=45°

：.ZB2F=90o,

4

:.QF=QFr=BQtmB=—x.

???AB是半圓。的直徑，

：.ZAFB=90°9

9

/.BF=AB-cosB=—

49

-4_9

??一xx——f

27

x=——

28

.CF'BC-BF'BC[_3]19

??即―BFf~BFf一9

總結(jié)與翻

本題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)等知識(shí),

利用三角函數(shù)表示各線段的長(zhǎng)并運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

（2022?浙江舟山?中考真題）如圖1.在正方形ABCD中，點(diǎn)、F,H分別在邊AD,A3上，連結(jié)AC,FH交

于點(diǎn)E,已知CF=CH.

H

圖2圖3

⑴線段AC與可垂直嗎？請(qǐng)說明理由.

KHAK

（2）如圖2,過點(diǎn)A,H,尸的圓交CF于點(diǎn)尸，連結(jié)交AC于點(diǎn)K.求證:

CHAC

⑶如圖3,在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)K是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，求思的值.

PF

(1)證明RtZkCZ)尸經(jīng)RtZXCBH(HL),得到=進(jìn)一步得到/FC4=/HC4,由△

是等腰三角形，結(jié)論得證;

(2)過點(diǎn)K作KG_LAB于點(diǎn)G.先證△4KGsA4CB,得一=—,證AKHGsC凡B可得一=—,

ACCBCHCB

結(jié)論得證;

(3)過點(diǎn)K作長(zhǎng)6，鉆點(diǎn)6.求得空=1,設(shè)GH=a,BH=2a,則KG=AG=G8=3a,則

BH2

CH=CF=^BH2+BC2=2y/10a，勾股定理得FH=[A/+AF?=4"Z，EH=2^2a，由AFPHs乙HEC得

PFFH,4A/106M

—，Z得FPF=----aCP=----af即可得到答案.

CH55

［答案與解析］

CP3

【答案】（1）AC，切，見解析；（2）見解析；（3）==：

PF2

【詳解】（1）證明：???四邊形ABCQ是正方形，

:?CD=CB,ZD=ZB=90°,

又,：CF=CH,

：.RtACDF^RtACB/7(HL),

：.ZDCF=ZBCH.

又VZDC4=ZBCA=45°,

:.ZFCA=ZHCA.

■:CF=CH

???△CFH是等腰三角形，

:.AC.LFH.

(2)證明：如圖1,過點(diǎn)K作KGLAB于點(diǎn)G.

圖1

?:CB±AB9

：.KG//CB.

AAAKG^AACB,

.AKKG

"AC-CB*

?:/PHA=/DFC,/DFC=/CHB,

：.ZKHG=ZCHB.

：.AKHGsMHB,

.KHKG

.AK_KH

（3）解：如圖2,過點(diǎn)K作KGLAB點(diǎn)G.

圖2

???點(diǎn)K為AC中點(diǎn):

由（2）得桀=AK

AC-2

.GHKH1

t9^H~~CH~2

設(shè)GH—a9BH=2a,貝!)KG=AG=GB=3a,

/?CB=AB=6a,AH=4a,

：?CH=CF^/BH2+BC2=2y/10a，

*：AF=AH,

；?FH=尸2=4缶，EH=2。,

VZFPH+ZFAH=180°,

：.ZFPH=900=ZCEHf

又,：/CHE=/PFH,

：.AFPHsAHEC,

?PFFH

?D口4^/10

5

?「Dr口D口6M

??CP=CF—PF=----af

5

?CP3

??=.

PF2

總結(jié)與點(diǎn)撥

此題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知識(shí)，熟練

掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

睛說儂題

1.（2022?浙江溫州?溫州市第三中學(xué)?？寄M）如圖，AB是OO的直徑，弦于點(diǎn)E,G是人。上

一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,點(diǎn)。重合）,以AG,CG為邊構(gòu)造平行四邊形AFCG,交。。于點(diǎn)“，交AB于點(diǎn)”,

右CD―4V2>BE=1.

⑴求證：ZF=ZACD.

⑵當(dāng)CF與。。相切時(shí)，求AG的長(zhǎng).

⑶①當(dāng)AAMG中有一個(gè)角與相等時(shí)，求AG的長(zhǎng).

②若點(diǎn)”關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)印落在AACG的內(nèi)部（不包括AACG的邊界），求CH的取值范圍（直接寫出

答案）.

【答案】⑴見詳解；（2）4五;⑶①3②30<3<3而

【分析】（1）連接AZ）,由垂徑定理可知CE=OE=；CD,進(jìn)而證明NACD=NADC；再由&c=AC，可

證明ZADC=ZAGC,然后由“平行四邊形對(duì)角相等“即可證明/F=ZACD；

（2）連接CO并延長(zhǎng)，交AG于點(diǎn)K,首先證明AOCE空AOA;“A4S）,由全等三角形的性質(zhì)可知CE=AK,

再結(jié)合垂徑定理即可求得AG的長(zhǎng)；

（3）①連接OC,設(shè)。。半徑為x,由勾股定理可解得x=4.5,AC=6直,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知

ZCHF=ZAGC=ZF；當(dāng)CG經(jīng)過。點(diǎn)，即。、M重合時(shí)，止匕時(shí)=,再證明AMGASAADC,

由相似三角形的性質(zhì)可解得4G=3,即當(dāng)AAMG中有一個(gè)角與/HCV相等時(shí)，即當(dāng)NAMG=/HCF時(shí)，AG

的長(zhǎng)為3；②若點(diǎn)H關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)"落在AACG的內(nèi)部（不包括AACG的邊界），可分別計(jì)算出當(dāng)“

落在邊CG上時(shí)和當(dāng)〃落在邊AG上時(shí)CH的長(zhǎng)，即可獲得答案.

【詳解】（1）證明：如下圖，連接AD,

B

???A3是OO的直徑，CD，AB,

CE=DE=-CD

2f

:.AC=AD,

：.ZACD=ZADCf

;AC=ACf

：.ZADC=ZAGC,

V四邊形AbCG為平行四邊形，

/.ZF=ZAGC,

：.ZF=ZADC=ZACD；

(2)如下圖，連接CO并延長(zhǎng)，交AG于點(diǎn)K,

若。尸與。。相切，

,/OC為。。半徑，

AOC1CF,

???四邊形A尸CG為平行四邊形,

：.CF//AG,

：.CK±AG,

又?.?CD_LAB,

???ZOEC=ZOKA=90°,

VOC=OAfZCOE=ZAOKf

：.^OCE^OAK(AAS),

???CE=AK,

?：CE=DE=-CD,

2

CD=2CE,

'：OKLAG,

AG=2AK=2CE=CD=4應(yīng);

(3)①連接OC,如下圖，

VCE=-CD=2A/2,BE=1,

2

設(shè)。。半徑為x,貝IJO3=OC=無，OE=OB-BE=x~l,

22

，在RtAOCE中，由勾股定理可得CE+OE=OC-,

即(2V2)2+(X-1)2=X2,解得x=4.5,

OE=4.5-1=3.5,

：.AE=(M+OE=4.5+3.5=8,

在Rt^OCE中，由勾股定理可得AC=\/CE2+AE2=J(2A/2)2+82=60;

:四邊形AGCH內(nèi)接于。。，

NCHF=ZAGC=NF；

當(dāng)CG經(jīng)過。點(diǎn)，即。、M重合時(shí)，如下圖，

B

此時(shí)，GM=AM,

：.ZAGM=ZGAM,

又：NCHF=ZAGM=NF,

：.ZAMG=180°-ZAGM-Z.GAM=180°-ZF-ZCHF=ZHCF,

,：ZAGM=ZADC,

XVZAGC=ZGAM,ZACD=ZADC,

：.ZAGM^ZADC,ZGAM=ZACD,

^MGA^^ADC,

,AMAG4.5AG

"~CA~~CD，L'6A/2-4V2，

二AG=3,

.?.當(dāng)AAMG中有一個(gè)角與/"C/相等時(shí)，即當(dāng)NAMG=NHCF時(shí)，AG的長(zhǎng)為3；

②若點(diǎn)“關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)"落在AACG的內(nèi)部（不包括AACG的邊界），則CH的取值范圍為

3A/3<CH<3^/6,理由如下：

當(dāng)H'落在邊CG上時(shí)，如下圖，連接印T交AC于點(diǎn)N,連接

:點(diǎn)”與點(diǎn)印關(guān)于AC的對(duì)稱,

/.HN=H'N,HH'LAC,

V四邊形AFCG為平行四邊形，

/.CG//AF,

：.ZHAN=ZH'CN,

又：ZANH=NCNH'=90°,

：.AHAN、H'CN(AAS),

AN=CN=-AC=3>/2,

2

HH'LAC,

二小/'經(jīng)過圓心o,OH=OC=4.5,

在Rt2AN中，ON=y/o^-AN2=j4.52-(372)2=1.5，

，NH=OH-ON=4.5-1.5=3,

.?.在RtACAW中，CH=y/CN2+NH2=7(3A/2)2+32=373；

當(dāng)"'落在邊AG上時(shí)，如下圖，連接印T交AC于點(diǎn)N,連接GP交AC于點(diǎn)Q,

:點(diǎn)H與點(diǎn)H'關(guān)于AC的對(duì)稱，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，ZAHC^ZAH'C,CH=CH',

：.180°-ZAHC=180°-ZAH'C,

ZCHF=ZCH'G,

:四邊形AFCG為平行四邊形，

ZAGC=ZAFC,

:.ACHF0ACH'G(AAS),

：.CF=CG,

，四邊形AFCG為菱形，

：.GF1AC,且AQ=CQ=；AC=3應(yīng)，

：3斤經(jīng)過點(diǎn)0,

在RtAOAQ中，OQ=Jol-AQ?=74.52-(3A/2)2=1.5，

/.GQ=OG+OQ=4.5+1.5=6,

.?.在RbCGQ中，CG=JCQ，+GO,=J(30C+6?=31，

..?四邊形AFCG為菱形，

/.CF=CG=3指,

,/NCHF=ZAGC=ZAFC,

，CH=CF=346.

綜上所述，若點(diǎn)“關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)H'落在△ACG的內(nèi)部(不包括AACG的邊界)，

則的取值范圍為：3A/3<C77<3V6.

2.（2022?浙江寧波?校考一模）等腰三角形A/G中,AF=AG,且內(nèi)接于圓。，D、E為邊FG上兩點(diǎn)（D

在F、E之間），分別延長(zhǎng)AD、AE交圓。于8、C兩點(diǎn)（如圖1）,記NBAF=ct,AAFG=f3.

圖1圖2圖3

（1）求—ACB的大小（用a,夕表示）；

(2)連接CP,交于H(如圖2),若￡=45。，5.BCxEF=AExCF,求證：ZAHC=2NBAC；

⑶在（2）的條件下，取CH中點(diǎn)連接ON、GM（如圖3）,若NOGM=2a-45。,

①求證：GM//BC,GM=-BC-

2

②請(qǐng)直接寫出器的值.

【答案】⑴N—+外⑵證明見解析；⑶①證明見解析；②君或字

【分析】（1）如圖1中，連接CP,利用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等即可求出-ACB的大小;

(2)利用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可證△區(qū)VSA砥C,得到AExCF=EbxE4,再根據(jù)

BCxEF=AExCF,得到BC=AF,進(jìn)而得到4c=45。，ZAHC=90°,即可證明結(jié)論；

(3)①如圖3中，連接CG,延長(zhǎng)GM交A8于點(diǎn)/,證明△AffffgAWCG,推出Aff=MG,HI=CG,

再證明BC〃:IG,得到中位線皿，即可證明結(jié)論；

②連接雙，F(xiàn)B,設(shè)HI=BI=m,則F"=2〃z,FI=J5m,^AH=CH=n,利用勾股定理求出加，〃之

間的關(guān)系，即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖1中，連接C尸，

■.■AF=AG,

:.AAFG=ZAGF=/3,

ZACF=ZAGF=p,

?：ZBAF=a,

:.ZFCB=ZBAF=a,

/.ZACB=ZACF+/FCB=a+0；

(2)解：證明：如圖2中，

：AF=AG,ZAFG=/7=45°,

?.NAFG=NG=NACH=45。,

.-ZEAF=ZFAC,

\^EAF^FAC,

.EFAE

CF-FAj

r.AExCF=EFxFA,

.-BCxEF=AExCF,

\BCxEF=EFxAF,

:.BC=AF,

?*-AF=BC，

:.ZBAC=ZAGF=45°,

/.ZAHC=180。—45°-45°=90°,

.\ZAHC=2ZBAC；

（3）解：①證明：如圖3中，連接CG,延長(zhǎng)GM交于點(diǎn)/.

?/ZOGM=ZAGM-ZAGF=2a-45°,ZAGb=45。，

:.ZAGM=2a,

???AF=AG,ZAG尸=45。，

.?.NE4G=90。，

.:bG是直徑，

.\ZFCG=90°,

\-ZAHC=90°,

:.ZAHC^ZGCH=1SO°,

:.ABIICG,

.\ZMHI=ZMCGf

在△MH/和/XMCG中，

ZMHI=/MCG

<MH=MC,

ZHMI=ZCMG

:.M1=MG,HI=CG,

???/ABC+NBCH=96。,ZGMC-^-ZMGC=90°,ZABC=ZMGC,

...NMGC+/BCH=9。。,

4CH+N/CG+NMGC=180。,

ZBCG+ZMGC=180°,

:.BCHIG,

「.A〃為△抽。的中位線，

2

:.MG=-BC,MGIIBC；

2

②解：連接FB,

又?.?OF=OG,MG=MI,

.?.ON為△F/G的中位線，

：.OM=-FI,

2

?MHMI會(huì)CMG,

：.HI=CG,

\-ZAHC=90°,

.\ZFHB=90°,

???ZACF=ZABF=45°f

:.FH=BH,

設(shè)==則FH=2m,FI=45m,設(shè)AH=CH=幾,

1J5,---------------,-----------

：.OM=~FI=—m,BC=AF=AG=\ICH2+BH2=>/n2+W

FG2=AF2+AG2=2AG2=2n2+8m2,

FG2=CF2+CG2,BF=FH+CH=2m+n,CG=MI=m,

Sm2+2nz=(2m+n)2+m2,

整理得“2-4nm+3m2=0,

.1〃=機(jī)或"=3m,

OM_OM_20M_FI_鬲

''MC-1-CH~CH~n

—C/7

2

.OM

,~MC

圖3

3.(2022?河北邯鄲?校考三模)如圖1,菱形ABC。的邊長(zhǎng)為12cm,ZB=60°,M,N分別在邊AB,CD.上,

AM=3cm,DN=4cm,點(diǎn)尸從點(diǎn)M出發(fā)，沿折線MB-BC以Icm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)C重

合)；△APC的外接圓。。與C￡)相交于點(diǎn)E,連接PE交AC于點(diǎn)凡設(shè)點(diǎn)產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為窗.

(1)/APE=°；

⑵若。。與相切，

①判斷。。與CD的位置關(guān)系；

②求APC的長(zhǎng)；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸在8C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求CP的最大值，并判斷此時(shí)PE與AC的位置關(guān)系；

⑷若點(diǎn)N在。。的內(nèi)部，直接寫出f的取值范圍.

【答案】(1)60°

(2)①。。與C￡>相切；②APC="@"

3

(3)CF的最大值為3cm,此時(shí)AC±PE

(4)當(dāng)0</<1時(shí)或17<?<21時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部；

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)易證AAC。為等邊三角形，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可得到NAPE的度

數(shù)；

(2)①先找出。。與相切時(shí)的情況，根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可證明。。與C。相切；②根據(jù)切線長(zhǎng)定理和

菱形的性質(zhì)，可求得圓的半徑，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解；

(3)要使W取得最大值，則應(yīng)該取最小值，當(dāng)ACLPE時(shí)，AF最小，此時(shí)CT取得最大值，求出即

可;

(4)分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)尸在AB上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí).

【詳解】(1)解：：四邊形ABC。為菱形，ZB=60°,

：.ZD=ZB=60°,AD=CD,

...△AC。為等邊三角形,

ZAC￡=60°,

/.ZAPE=ZACE=60°,

故答案為：60°.

(2)

如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，。。與AD相切,

①?.?四邊形ABC。為菱形，

：.AD=CD,

；。。與AQ相切，

,。。與C。相切；

②連接OD,

由(1)可知，ZADC=60°,

'.'AD.C￡>分別與0O相切，

ZADO=|ZA￡)C=30°,

/.AO=ADxtan30°=12x^-=4>^,

3

APC=：xQ/tx4乖>>=兀；

(3)

由圖可知：C斤AC-AR

'：AB^BC,ZB=60°,

.?.△ABC為等邊三角形，則4C=12cm,ZACB=60°,

要使CF取得最大值，則A尸應(yīng)該取最小值，

當(dāng)ACJ_PE時(shí)，Ab最小，此時(shí)CF取得最大值，

?點(diǎn)。為△APC外接圓圓心，

OA=OC=OP=—AC=6cm,

2

ZACB=60°,

CF=CP.cos60°=3cm,

綜上：CP的最大值為3cHi,此時(shí)AC_LPE.

(4)

①當(dāng)點(diǎn)P在A3上時(shí)，

???四邊形APCE為圓的內(nèi)接四邊形，

ZAPC+ZAEC=180°,

ZAED++ZAEC=1SO°,

：./APC=/AED,

在△APC和△DE4中，

AC=ADfNB4ON。，ZAPC=ZAEDf

：.AAPC^ADEA,

：.AP=DE,

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)N重合時(shí)，DE=DN=AP=4,

MP=4-3=lcm,

當(dāng)0＜《l時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部；

②當(dāng)點(diǎn)尸在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

ZA￡P(guān)=ZACP=60°,

.,.△APE為等邊三角形，

：.AP=AE,ZPAE=6Q°,

'：Na4c=60。，

NBAP=NCAE,

在454「和4CAE中，

AB=AC,ZBAP=ZCAE,AP=AE,

.?.△54尸四△CAE,

：.BP=CE,

當(dāng)點(diǎn)E與帶你N重合時(shí)，CE=CN=BP=12.-4=Scm,

止匕時(shí)仁”產(chǎn)=9+8=17S,

當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，u21s,

當(dāng)17V<21時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部;

綜上：當(dāng)0<<1時(shí)或17V<21時(shí)，點(diǎn)N在圓內(nèi)部.

4.(2022?上海楊浦?統(tǒng)考二模)已知在扇形A03中，點(diǎn)C、。是AB上的兩點(diǎn)，且

CD=2AC,ZAOB=130°,OA=10.

(D如圖1,當(dāng)ODLQ4時(shí)，求弦CO的長(zhǎng)；

(2汝口圖2,聯(lián)結(jié)AD,交半徑OC于點(diǎn)E,當(dāng)0。//AC時(shí)，求一的值;

(3)當(dāng)四邊形BOCD是梯形時(shí)，試判斷線段AC能否成為OO內(nèi)接正多邊形的邊？如果能，請(qǐng)求出這個(gè)正多邊

形的邊數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴8=10

AE一下-1

---=-----

DE2

⑶線段AC能成為。。的內(nèi)接正多邊形的邊，邊數(shù)為18

【分析】(1)取C。的中點(diǎn)E,連接OE,根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)可得NCOE=NEOZ)=NAOC=(z,然后由余

角的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)可得答案；

(2)由平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得448=108。.然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案；

(3)根據(jù)圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理分兩種情況進(jìn)行解答：①3D//OC；②CDIIOB.

【詳解】(1)解：設(shè)NAOC=c,取C。的中點(diǎn)E,連接OE,

CD=2CE=2DE，

又：CD=2,AC>

CE=DE=AC，

：.ZCOE=ZEOD=ZAOC=a,

,：OD1OA,

ZAOD=90°,

???ZAOC+ZCOE+ZEOD=90°,

a+a+a=90°,

a=30°,

JZCOD=60°,

OC=OD,

???△COD是等邊三角形,

:.CD=OC=OA,

又04=10,

???CD=10；

(2)解：

?:OD//AC,

：.ZOCA=ZCOD=2a9

u：OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC=2a,

在AAOC中，

ZOAC+ZOCA+ZAOC=180。，

,2a+2a+a=l80°,

???a=36。，

.??ZAOC=36°,ZCOD=72°,

???ZAOD=108°f

在△AOD中，

?.*OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

9：ZOAD+ZODA+ZAOD=180°,

ZOAD=ZODA=36°,

：.ZOED=ZOAD+ZAOC=360+36°=72°,

JZOED=ZCOD,

：.ED=OD=10f

?.,ZOAE=ZOAD,ZAOE=ZADO,

:.AAQESA24r,

.OAAE

??茄—

設(shè)AE=x,貝UAD=10+x,

10='.解之得％=56-5,

10+x

?A￡_5A/5-5_V5-1

"DE-10-2

(3)解：當(dāng)四邊形5OCD是梯形時(shí)，?BD//OC,

：.ZODB=ZCOD=2a,

,:OB=OD,

：.ZOBD=ZODB=2a,

*/ZAOB=ZAOC+ZCOD+NDOB=130°,

???ZBOZ)=130°-3cr,

在△BOD中,

?.*ZOBD+ZODB+Z.BOD=180。，

A2a+2a+130。-3a=180°,

a—50°.

當(dāng)a=50。時(shí)，ZBOD=130°-3cr<0,不合題意，舍去.

②CD"OB,

：.ZODC=NBOD=130。-32,

■:OC=OD,

：.ZOCD=ZODC=130°-3a,

在△[">中，

?.?ZOCD+ZODC+ZCOD=180。，

???130—3a+130。—3。+2a=180°,

：.a=2Q°,

???線段AC能成為。。的內(nèi)接正多邊形的邊，邊數(shù)為18.

5.(2022.黑龍江哈爾濱?哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？既?如圖，A3是。。的直徑，弦CDLAfi,垂足為H,P

為弧A。上一點(diǎn).

（1）如圖1,連接AC、PC、PA,求證：ZAPC=ZACD；

（2）如圖2,連接PB,PB交CD于E,過點(diǎn)P作。。的切線交CZ）的延長(zhǎng)線與點(diǎn)F,求證：FE=PF；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接AE,且過點(diǎn)A作AG_LW,垂足為G,若尸G=6,PE=4百,

求8H的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析；（2）見解析；（3）明=4

【分析】（1）連接AD,根據(jù)同弧或等弧所對(duì)圓周角相等即可證明；

（2）連接OP,根據(jù)切線性質(zhì)以及余角的性質(zhì)即可證明NPEF=NEPE,從而證得小=小；

（3）過E作EM_LPF,證明AG/KSJWEP,根據(jù)tan=tan/F求出MR再利用勾股定理求出PM、

EM,再利用三角函數(shù)求出刑，進(jìn)而求出BH.

【詳解】（1）證明：連接AD

??,AB是。。的直徑，弦COLAB,

AC=，

:.ZACD=ZDC,

VAC=AC>

.-.ZAPC=ZADC,

ZAPC=ZACD,

(2)連接OP,

???尸尸是。。的切線,

?.OP1PF,^ZEPF+ZOPE=9Q0,

?：OP=OB,

:.ZOPB=ZOBP,

CD^AB,

丁./HEB+/HBE=90。,

ZPEF=ZHEB,

ZPEF=AFPE,

FE=PF；

(3)過E作四，小，垂足為M,

AGLPF,

ZGAP+ZGPA=90°,

???NAPE=90。，

NGPA+NEPM=90°,

ZAGP=Z.EMP=90°,

J.^GPA^LMEP,

.EPEM

,,樂一記’

???ZPAE=ZF,

PEEM

tan/PAE=tanZF,貝！J——=----,

APMF

EPEM

?PA-PGJ

EMEM

,PG~MF'

.\MF=PG=6,

設(shè)尸M=x,

由PE2-PM2=EF--FM2可得：(4J?)?-/=(x+6)2-62,

解得：玉二-10,9=4,即PA/=4,

1222

:.EM=^PE-PM=A/(4A/5)-4=8,

EPEM4A/58

?「——=---，即二一二一，

PAMFPA6

:.PA=35

\-CDLAB,AB是直徑，

:.NBHE=ZAPB=90。,

：.ZHEB=ZBAP,

?：ZMPE=ZHEB,

PBME幡PB8

tan/PAB==tan/MPE=,即—尸——,

PAMP3V54

PB=65

:.BE=PB-PE=2y/5,

BHEMBH8

vsinZHEB=——=sinZEPM=——,BR—=

BEPE2V54V5

6.（2022?浙江溫州?溫州市第十四中學(xué)校聯(lián)考三模）如圖1,直徑他，CD于點(diǎn)E,AB=W,CD=8,點(diǎn)

尸是8延長(zhǎng)線上異于點(diǎn)。