五年級奧數(shù)圖形變換求面積問題VIP

圖形變換求面積問題

一、平移：將圖形沿著一個方向移動一段距離。

平移變換把圖形中的某一個線段或者一個角移動到一個新的位置，使圖形中分散的條件

緊密地結(jié)合到一起。一般有2種方法：

1.平移已知條件

2.平移所求問題，把所求問題轉(zhuǎn)化，其實就是逆向證明。幾何題多數(shù)都是逆向思考的。

二、旋轉(zhuǎn)：將某圖形繞著一個固定點轉(zhuǎn)動到另一個位置，以此重新組合圖形。

旋轉(zhuǎn)變換把平面圖形繞旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)一個定角，使分散的條件集中在一起。

在遇到關于等腰三角形、正三角形、正方形等問題時，是經(jīng)常用到的思維途徑

三、對稱（也可理解為翻折）：某圖形對于某條線對稱的圖形

通過作關于某一直線或一點的對稱圖，把圖形中的圖形對稱到另一個位置上，使分散的

條件集中在一起。當出現(xiàn)以下兩種情況時，經(jīng)?？紤]用此變換：

1.出現(xiàn)了明顯的軸對稱、中心對稱條件時。

2.出現(xiàn)了明顯的垂線條件時。

【例1】右圖是一塊長方形草地，長方形的長是16,寬是10.中間有兩條道路，一條是長方形，一條是

平行四邊形，它們的寬都是2,求草地部分的面積（陰影部分）有多大？

如圖所示，將道路平移后的（16-2）x（1。-2）=112.

【鞏固】如圖所示，一個正十二邊形的邊長是1厘米，空白部分是等邊三角形，一共有12個.請算出陰影

部分的面積.

1cm

【例2】如圖所示，梯形A3CD中，平行于8,又3Q=4,AC=3,AB+CD=5.試求梯形ABC。

的面積.

B

【鞏固】如下圖，六邊形43C。防中，AB=ED,AF=CD,BC=EF,且有45平行于瓦九A/平行

于CD,8C平行于EF,對角線田垂直于班>,已知㈤=24厘米，8￡>=18厘米，請問六邊形

人皮7）￡廠的面積是多少平方厘米？

【例3】如圖2,六邊形ABCDEP為正六邊形，P為對角線CV上一點，若PBC、的面積為3與4,

則正六邊形ABCDEF的面積是_____o

'這是一道幾何問題，考察同學們對常見圖形性質(zhì)的認識.正六邊形的六條邊都相等，每個角都是,

每一組對邊都互相平行，正六邊形可以看作是由六個正三角形拼成的（如圖（1））.其中正六邊

形的面積是正三角形面積的6倍,每相鄰兩個正三角形拼成的是一個平行四邊形.如圖（2）,連

篇"F,三角形4"的面積是平行四邊形人”。面積的一半.六邊形48co"的面積是平行四

邊形八區(qū)尸O的3倍，故六邊形A8COEF的面積是三角形A0F的面積的6倍.如圖（3）,連結(jié)“尸,

CE,三角形3C尸的面積與三角形2fP的面積和是平行四邊形3FEC面積的一半.而六邊形

ABCDEF的面積是平行四邊形8FEC的1.5倍，故六邊形ABCDEF的面積是三角形3C尸的面積

與三角形KFp的面積和的3倍.

所以，由△PBC、ZiPEF的面積分別為3與4,

可知正六邊形ABCDEF的面積是（3+4）x3=21.

【鞏固】正六邊形A&AAAA的面積是2009平方厘米，與、反、紜、用、&、線分別是正六邊形各邊的中

點；那么圖中陰影六邊形的面積是____平方厘米。

【例4】如下左圖，有兩個大小相同的完全重疊在一起的正方形，現(xiàn)在以點。為中心轉(zhuǎn)動一個正方形.當

AB=5厘米，8c=13厘米，C4=12厘米時（如下右圖），求右圖中的兩個正方形相重疊部分的面

積（注意，圖的尺寸不一定準確）。

右圖由左國旋轉(zhuǎn)而得，則右圖中的8個空白小三角形都是完全相同的，右圖中重疊部分的面積等

于正方形面積減去4個小三角形的面積，從右圖中可以看出正方形的邊長為5+13+12?30厘米,

所以重疊部分的面積為：3（產(chǎn)-4x（5x[2+2）=780（平方厘米）.

【鞏固】如圖，在直角三角形中有一個正方形，已知4。=10厘米，QC=7厘米，求陰影部分的面積.

[例5]四邊形ABCD中，AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知NABD+NBDC=900,求四邊形ABCD的面積.

【鞏固】如圖，在三角形ABD中，當AB和CD的長度相等時，請求出“?”所示的角是多少度，給出過程.

R

【例6】如圖所示的四邊形的面積等于多少？

【例8】如圖，正方形A8C0和OEFG有一個公共點。，試比較三角形4X7和三角形CDE的面積.

］因為/ADC和/GOE是直角，所以/AOG和/CDE是互補角，將三南形ADG順時針旋轉(zhuǎn)90。到

達A4Q幺的位則4—D、。在同一條直線上，且43=40=CO,即。是AP的中點，所

以三角形。和三角形43E面積相等，則三角形COE和三角形ADG面積相等.

【鞏固】如圖，以正方形的邊/W為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形/腔，ZA￡5=90°,AC.BD交于O.已

知A￡、班的長分別為3cm、5cm,求三角形OOE的面積.

【例9】如圖，已知AB=AE=4cm,BC=DC,Z^AE=NBCO=90°,AC=10cm,則

SAABC+SKE+S&CDE~-----------crrr。

I將三角形A4C繞A點和C點分別順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)90',構成三角形A&C,和ADC,再連接

AC,顯然AC_LnC，，AC1AC,AC=AC=AC',所以ACVU是正方形.三角形AEU和

三角形A刀C關于正方形的中心O中心對稱，在中心對稱圖形ACVU中有如下等量關系：

Q=V?<=<?c=q

AA^C-“AA'DL，“M2L—，ACED-“ATS?

+=

所以SAABC+SMCE+SACOS=Sg"'+ACDE~ACA'C'=二X】0X10=50cm.

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【鞏固】如圖，在AABD中，AB=CD1求“？”的度數(shù).

y<40°/爪

『CHD

【例10］如圖，正方形PQRS有三個頂點分別在的三條邊上，BQ=QC.求正方形PQRS的面積.

【鞏固】下圖三角形A3c是等腰三角形，AB=AC,ZBAC=nO0.三角形AD石是正三角形，點。在3C

邊上，BD:DC=2:3.當三角形A8C的面積是50cm叩寸，三角形4）石的面積是多少？

課堂檢測

【隨練1】如下圖，AABC是邊長為1的等邊三角形，Z^BCD是等腰三角形BD二CD,頂角NBDC=1200.ZMDN=600,

求aAMN的周長.

【隨練2】若干個大小相同的正五邊形如右圖排成環(huán)狀，下圖中所示的只是3個五邊形.那么要完成這一

圈共需個正五邊形.

I

家庭作業(yè)

【作業(yè)1】如圖所示的四邊形A5CZ）中，ZA=ZC=45°,ZABC=105°,A8=CZ）=15厘米，連接對角線

BD,ZABD=30°.求四邊形A8CD的面積.

【作業(yè)2】如圖，力尻步是矩形，BUbcm,/!%0的”和8〃是對角線，圖中的陰影部分以。為軸旋轉(zhuǎn)一周,

則陰影部分掃過的立體的體積是多少立方厘米？（n取3.14）

【作業(yè)3】一個半徑為1厘米的圓盤沿著一個半徑為4厘米的圓盤外側(cè)做無滑動的滾動，當小圓盤的中心

圍繞大圓盤中心轉(zhuǎn)動90度后（如圖2）,小圓盤運動過程中掃出的面積是_]8'四_

平方厘米。（用=3.14）

【作業(yè)4】按照圖中的樣子，在一平行四邊形紙片上割去了甲、乙兩個直角三角形.已知甲三角形兩條直

角邊分別為2cm和4cm,乙三角形兩條直角邊分別為3cm和6cm,求圖中陰影部分的面積.

如右圖，我們將三角形甲與乙進行平移，就會發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積等于平移后兩個長方形面積之

和.所以陰影部分面積為：3x4+6x2-（3x6+2+4x2+2）=ll（cm2）

【作業(yè)5】在一個等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三