第十一章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例VIP

第十一章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

第1節(jié)隨機抽樣與統(tǒng)計圖表

對應(yīng)學生用書P295

考試要求)---------------------------------------------------------------------------j

1.掌握三種抽樣方法的特點與應(yīng)序.

2.能根據(jù)實際問題的特點,選擇恰當?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化描述,體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性.

........知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)全通關(guān)

一、隨機抽樣

1.簡單隨機抽樣

(1)定義:一股地，設(shè)一個總體含有/V個個體，從中—〃個個體作為樣本(儂M，且每次抽取時各個個體被抽到的

，就稱這樣的抽樣方法為簡單隨機抽樣.

(2)常用方法：和及常次美.

2.系統(tǒng)抽樣

(1)步賽:①先將總體的〃個個體編號；

②根據(jù)樣本容量"，當巴是整數(shù)時，取分段間隔曰,

nn

@在第1段用…幾；病定第一個個體編號人左A)；

◎按照一定的規(guī)則抽取樣本.

(2)適用范圍:適用于總體中的個體數(shù)較多時.

3.分層抽樣

(1)定義:在抽樣時，將總體分成的層，然后按照一定的比例,從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一

起作為樣本,這種抽樣方法是分層抽樣.

(2)適用范圍:話用于總體由的幾個部分蛆成的情況.

注意三種抽樣的關(guān)鍵點

(1)隨機數(shù)法編號要求:應(yīng)保證各號數(shù)的位數(shù)相同,而抽簽法則無限制.

(2)系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，入樣個體的編號相差3的整數(shù)倍.

(3)分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數(shù)為該層的個體數(shù)秉以抽樣比.

二、常用統(tǒng)計圖表

1.頻率分布直方圖

(1)縱軸表示經(jīng)，即小長方形的高里;

俎距也距

(2)小長方形的面積組距筌=頻率;

(3)各小長方形的面枳的總和等于1.

2.頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖:連接頻率分布直方量中各小長方形上端的，就得到頻率分布折線圖.

(2)總體宓度曲線:隨著樣本容量的增加作圖時增加,減小,相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑的曲

線，統(tǒng)計中稱這條光滑的曲線為總體密度曲線.

3.莖葉圖的優(yōu)點

莖葉圖的優(yōu)點是不但可以保留所有信息，而且可以隨時記錄，這對數(shù)據(jù)的和都能帶來方便.

莖葉圖的畫法步賽：

第一步，將每個數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；

第二步，將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列：

第三步，將各個數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的兩側(cè).

V打展

頻率分布直方圖中的常見結(jié)論

(1)眾數(shù)的估計值為最高矩形的中點對應(yīng)的橫坐標；

(2)平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小炬形的面積乘以小矩形底邊中點的拱坐標之和;

(3)中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.

自我診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(對的打Y",錯的打+')

(1)簡單隨機抽樣中，每個個體被抽到的機會不一樣,與先后有關(guān).()

(2)抽簽法和隨機數(shù)法都是簡單隨機抽樣.()

(3)在分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).()

(4)在頻率分布直方圖中，小長方形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大.()

字案(1)x(2)V(3)*(4)V

2.(教材改埔)我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、好養(yǎng)老人

等八項專項附加扣除.某單位老年、中年、青年員工分別有80人、100人、120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽

取30人調(diào)查專項附加扣除的享受情況則應(yīng)該從青年員工中抽取的人數(shù)為(：.

A.8B.10C.12D.18

答案C

由題意可得抽取的30人中，青年員工有30n2(人).

OU+1UU+1zu

3.(教材改編)某班共有學生40人,將一次數(shù)學考試成績(單位:分)繪制成須率分布直方圖，如圖所示,則成績不低于80分的人數(shù)

為

答案15

由頻率分布直方圖的頻率利為1.

可得0.005/100.0225EOFE02.035E00.007510=1,解得5=0.030.

故成績不低于80分的學生的頻率為0.030*10旬.0075*10力,375,

所以成績不低于80分的人數(shù)為0375M0W5.

4.

（2023?濟南模擬）某學校于3月12日組蛆師生舉行植樹活動，購買垂柳、銀杏、他柏、海桐四種樹苗共計1200棵，各種樹苗的數(shù)量

所占比例如圖所示.高一、高二、高三年級報名參加植樹活動的人數(shù)分別為600,400,200.若每種樹苗均按各年級報名人數(shù)的比例進

行分配，則高三年級應(yīng)分得側(cè)柏的數(shù)■為（）.

A.34B.46C.50D.70

答案C

由扇形統(tǒng)計圖知,購買的1200棵樹苗中，惻柏的數(shù)量為1200*25%=300,

依題意，高一、高二、高三分到的側(cè)柏的棵數(shù)比為600.400.-200=3.2;1,

所以高三年級應(yīng)分得側(cè)柏的數(shù)量為W71Mo0=50,

5.（2023?江西模擬）劉女士的網(wǎng)店經(jīng)營堅果類食品,2022年各月份的收入、支出（單位:百元）情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法錯誤的是

（）.

A百元

80

70

60

50

40

30

20

10

o123456789101112月份

注:收入----支出...........

A.4至5月份的收入的變化率與11至12月份的收入的變化率相同

B.支出最高值與支出最低值的比是5.1

C.第三季度平均收入為5000元

D.利潤最高的月份是3月份和10月份

B

對于A選項.4至5月份的收入的變化率為置=-20,11至12月份的變化率為等*=-20,兩個變化率相同，故A正弱.對于

B選項,支出最高值是2月份的60百元,支出最低值是5月份的10百元,故支出最高值與支出最低值的比是61故B錯誤.對于C

選項，第三季度的7,8,9月,每個月的收入分別為40百元,50百元,60百元,故第三季度的平均收入為竺竽竺=50百元，故C正確.對

于D選項，利潤最高的月份是3月份和10月份，都是30百元，故D正謫.練上，故選B.

怎二考點題型命題全研透

考點一隨機抽樣

命題角度1簡單隨機抽樣

下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣的個數(shù)為（）.

。從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本.

②從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)■檢驗.

③某班有56名同學，指定個子展高的5名同學參加學校組織的籃球賽.

A.OB.1C.2D.3

答案A

⑦不是簡單隨機抽樣，因為根抽取樣本的總體的個數(shù)是無限的，而不是有限的;②不是簡單隨機抽樣,因為這是“一次性”抽

取,而不是“逐個”抽取;③不是簡單隨機抽樣,因為不是等可能抽樣,故選A.

1.簡單隨機抽樣的特點

（1）抽取的個體數(shù)較少;（2）逐個抽取:（3）等可能抽取.只有這三個特點都滿足的抽樣才是簡單隨機抽樣.

2.抽簽法與隨機數(shù)法的適用情況

抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的情況.

感悟?qū)嵺`

利用簡單的機抽樣，從"個個體中抽取一個容量為10的樣本若第二次他取時,余下的每個個體被抽到的概率處則在電個抽樣過程

中,每個個體被抽到的概率為（）.

AB

457。瑞

答案C

由題意知三毛，解得〃=28.所以整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率為界故選C.

n-1JZO14

命題角度2系統(tǒng)抽樣

（2023?河南許昌模擬）某中學教務(wù)處采用系統(tǒng)抽樣方法,從學校高一年級全體1000名學生中抽50名學生做學習狀況問卷

調(diào)查.現(xiàn)將1000名學生從1到1000進行編號.在第一組中隨機抽取一個號，若抽到的是17號，則第八組中應(yīng)抽取的號碼是（）.

A.177B.417C.157D.367

答室C

由系統(tǒng)抽樣方法可知，該1000名學生城號后均力■為50組，每組20人每蛆中抽1人，號碼間隔為20,第一組中隨機抽取

到17號廁第8組中應(yīng)取的號碼為20*7+17=157.

1.若總體容■N能被樣本容■〃整除，則抽樣間隔為女』,否貝上可隨機地從總體中剔除余數(shù)，然后按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣.特別注

n

意，每個個體被抽到的機會均是孑

2.系統(tǒng)抽樣中依次抽取的樣本對肉的號碼就是一個等差數(shù)列，首項就是第1組所抽取樣本的號碼，公差為間隔數(shù),根據(jù)等差數(shù)列

的通項公式就可以確定每一組所要抽取的樣本的號碼.

感悟?qū)嵺`

從編號為001,002，…,500的500個立品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中墉號最小的兩個編號分別為007,032,則

樣本中最大的給號應(yīng)該為（）.

A.480B.481

C.482D.483

答案C

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義可知樣本中的編號成等差數(shù)列，令ai=7,32=32,<tt/25,所以7+25（標1）4500,店N.，所以正20,故最

大埔號為7,25M9W82.

命題角度3分層抽樣

（2023?莆田模擬）已知某校有教職工560人，其中女職工240人,現(xiàn)按性別用分層抽樣的方法從該校教職工中抽取28人，則

抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差是（）.

A.2B.4C.6D.8

答案B

抽取的女職工人數(shù)為段或8K2,抽取的男職工人數(shù)為28-12=16,

則抽取的男職工人數(shù)與抽取的女職工人數(shù)之差為16-12=4.

分層抽樣問題類型及解題思路:（1）求某層應(yīng)抽個體數(shù)量，按該層所占總體的比例計算.（2）分層抽樣時,每層抽取的個體可以不一樣

多，但必須滿足抽取所碎（閆,2，…,A）個個體（其中/是層數(shù)。是抽取的樣本容是第/層中個體的個數(shù),N是前體容■）.

感悟?qū)嵺`

某實驗中學發(fā)起一場主題為“勞動最光榮、勞動最崇高、勞動最偉大、勞動最美麗?"的大型勞育實踐活動，高中三個年級全

體學生都參加了這場活動，隨后學生會組蛆按年級進行分層抽樣抽取了120名學生暢談這次勞育實踐活動感想，已知高一學生抽取

了45人參加，高二學生抽取的人數(shù)比高三學生抽取的人數(shù)少5人,高三年級學生油取的比例為1.40,則（）.

A.該校全體學生的總?cè)藬?shù)為3600

B.高一學生比高三學生多220人

C.高二學生抽取的人數(shù)為35

D.高一、高二、高三三個年級的學生人數(shù)比值為7.8/9

答案C

依據(jù)高三年級學生抽取的比例為1.40,可知本次全體學生抽樣的比例為玄，所以該校全體學生的總?cè)藬?shù)為

120*40=4800,A錯誤;高一學生人數(shù)為45,406800,高二學生抽取的人數(shù)比高三學生抽取的人數(shù)少5人，且高二學生抽取的人數(shù)與

高三學生抽取的人數(shù)之和為12045=75,故高二學生抽取的人數(shù)為35,高三學生抽取的人數(shù)為40,所以高二學生人數(shù)為35*40=1400,

高三學生人數(shù)為40*40=1600,1600-1400=200,B錯誤,C正確,D錯誤.故選C.

考點二統(tǒng)計圖表

命題角度1扇形圖、條形圖

（2023?三明檢測）某地區(qū)中小學生人數(shù)比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示，

近視率

50%.................................

30%................I-

15%…”一

0__―—―]—?------->

小學初中高中年段

圖甲圖乙

為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法隨機抽取1%的學空進行調(diào)查，其中被抽取的小學生有80人，則樣本容

■和該地區(qū)的高中生近視人數(shù)分別為（）.

A.200和25B.200和2500

C.8000和25D.6000和2500

答比B

由扇形統(tǒng)計圖結(jié)合分層抽樣知識易知樣本容?為緇=200,

則樣本中高中生的人數(shù)為200*25%=50,易知高中生總體的容量為黑=5000,

結(jié)合近視率條形圖得該地區(qū)高中生近視人數(shù)為5000x50%=2500.

禍總結(jié)?

1.扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示出各部分數(shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.

2.由條形圖可知總■體中樣本的種類及對應(yīng)各類樣木的數(shù)量.

感悟?qū)嵺`

為了解某貧困地區(qū)實施精準扶貧后的成果，現(xiàn)隨機抽取了該地區(qū)三個縣市在2021年建檔立卡人員年人均收入提升狀況.經(jīng)統(tǒng)計，力縣

建檔立卡人員年人均收入提升狀況用錚狀圖表示,8縣建檔立卡人員年人均收入提升狀況用條形圖表示,?？h建檔立卡人員年人均收

入提升的均值為122百元,方差為4,45C三縣建檔立卡人數(shù)比例為3.4.5,則下列說法錯誤的是（）.

A./1縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為122百元

B.8縣建檔立卡人員年人均收入提升的方差為5.6

C.估計該地區(qū)建檔立卡人員的年人均收入提升120.75百元

D.C縣精準扶貧的效果最好

答案A

對于Ad縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為123*+114*+121毛=121(百元)，故A錯誤;

對于B,8縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為115M0%+117或0%#119>50%+123或0%=119,8縣建檔立卡人員年人均

收入提升的方差為(115-119)2?」?117-119)2迅2?119-119)2m5*123-119)2屹2與6故B正詢：

對于C,該地區(qū)建檔立卡人員的年人均收入提升*M121*3+119*4+122*5)=120.75(百元)，故C正確；

對于D,4縣建檔立卡人員年人均收入提升的方差為(123-121)2**114-121)2**121-121)2弓=10.5,

設(shè)48。三縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值分別為",&兀,方差分別為廢用周，則底>M>M，SFS*琛故C縣精

準扶貧的效果最好，故D正確.

命題角度2折線圖、頻率分布直方圖

(1)(改編)某網(wǎng)站為了了解某“應(yīng)團”每月跑步的平均里程,收集并整理了2021年1月至2021年11月期間該“跑團”每月跑步

的平均里程(單位:公里)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是().

30

25

20

15

10

A.月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對應(yīng)的里程數(shù)

B.月跑步平均里程逐月增加

C.月跑步平均里程高峰期大致在8,9月份

D.1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月波動性更小，變化比較平穩(wěn)

答案D

由折線圖可知，月跑步平均里程比6月份高的只有9,10,11,共3個月，比6月份低的有1,234,5,7,8,共7個月，故6月份

對應(yīng)里程數(shù)不是中位數(shù),因此A不正確;月跑步平均里程在1月到2月,6月到7月,7月到8月,10月到11月都是減少的，故不是逐月

增加，因此B不正確;月跑步平均里程高峰期大致在9,10,11三個月,8月份是相系較低的，因此C不正確;從折線圖來看,1萬至5月的

跑步平均里程相對于6月至11月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，因此D正確.

(2)小李上班可以選擇公交車、自行車兩種交通工具，他分別記錄了100次坐公交車和騎車所用時間(單位:分鐘，得到下列兩個頻率

分布直方圖：

基于以上統(tǒng)計信息，下列描述錯誤的是().

A.驪車時間的中位數(shù)的估計值是22分鐘

B.騎車時間的眾數(shù)的估計值是21分鐘

C.坐公交車時間的中位數(shù)的估計值是20分鐘

D.坐公交車時間的平均數(shù)的估計值小于騎車時間的平均數(shù)的估計值

答案A

設(shè)騎車時間的中位數(shù)為

則有0.1或4.2乂3-20)=05解得分=21.5,因此選項A不正確；

弱車時間的眾數(shù)的估計值為21分鐘，因此選項B正確；

設(shè)坐公交車時間的中位數(shù)為我,

因為(0.025905907591)x2=05所以及=20,因此選項C正確;

設(shè)㈱車時間的平均數(shù)為

則ZM=(19*0.1+21*0.2*23*0.15*25*0.05)*2=21.6,

設(shè)坐公交車時間的平均數(shù)為奧，

則比＜13*0.025+15*0.05+17Q075+19*0.1*21*0.1+23.*0.075*25*0.05+27*0.025)*2=20,

因為21,6＞20,所以％＞生因此選項D正確.

感悟總紇》

頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點

(1)頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果.不要誤以為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率，不要和條形圖混淆.

(2)頻率分布直方圖中各小K方形的面積之和為1,這是解題的關(guān)鍵，常利用發(fā)率分布直方圖估計總體分布.

感悟?qū)嵺`

某市抽取了1000名市民進行防火安全知識問卷調(diào)查，根據(jù)問卷得分制成的頻率分布直方圖如圖所示，問卷得分分蛆區(qū)間是

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是().

成績/分

A.圖中a的值為0.01

B.得分在80分及以上的人數(shù)為200

C.這組數(shù)據(jù)的極差為50

D.這組數(shù)據(jù)中位數(shù)的估計值(精確到0.1)為71.7

答案D

對于A,因為（2a*0.02*0.03*0.04）x10=1,解得a=0.005,所以A情誤；

對于B,得分在80分及以上的人效為1000吊0.02句.005）切0=250,所以B錯誤；

對于C,因為這組數(shù)據(jù)的最大值與最小值無法確定，所以C錯誤：

對于D,由（0.005心04）M0R.45<05（0.0054.044.03）切0=0.75乂）.5，所以中位數(shù)杭［70,80）,所以0.45心03Mx-7。）4）.5,解

得*=70號=71.7,所以D正確.

9基礎(chǔ)過關(guān)

1.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》有“關(guān)谷粒分''題:糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)

夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）.

A.134石B.169石

C.338石D.1365石

答案B

由隨機抽樣的含義，得考M534=169（石）,故該批米內(nèi)夾谷約為169石.

2.利用隨機數(shù)表法從某班的50名同學中選出5人參加戶外活動，抽取樣本時，先將50名同學按01,02，…,50進行編號,然后從隨機數(shù)

表的第1行第5列和第6列數(shù)字開始從左往右依次選取兩個數(shù)字，則選出的第5個個體的編號為（）.

注:表為隨機數(shù)表的第1行與第2行

03474373863696473661469863716297

74246792428114572042533237321676

A.24B.36C.46D.47

答案A

由題可知，從隨機數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開始.依次選出的編號是43,36,47,46,24.

3.某中學400名教師的年齡分布情況如圖，現(xiàn)要從中抽取40名教師作為樣本，若采用分層抽樣的方法，則40歲以下的年齡改應(yīng)抽取

A.40AB.200A

C.20AD.10人

C

由圖可知,40歲以下的年齡段的人數(shù)為400*50%=200,若采用分層抽樣，該年齡段應(yīng)抽取200喘=20（人）.

4.在某中學舉行的環(huán)保知識競賽中，參賽學生的成績被分為5蛆，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示,圖中從左到右依次為第一、第二、

第三、第四、第五組，已知第二組的頻數(shù)是40.則成績在80T00分的學生人數(shù)是（）.

A.15B.18C.20D.25

答案A

由頻率分布直方圖知，第二蛆的頻率為10P.040R.4,

總?cè)藬?shù)為蕓K00.又：成績在80700分的頻率為10M0.010心005）=0.15,.:成績在80700分的學生人數(shù)為100Q15K5.

5.為了比較甲、乙兩名學生的數(shù)學學科素養(yǎng)的各項能力指標值（滿分為5分，分值高者為優(yōu)）,繪制了如圖所示的六維能力雷達圖，例如

圖中甲的數(shù)學抽象指標值為4,乙的數(shù)學抽象指標值為5,則下列說法正確的是（）.

A.甲的邏輯推理建力指標值優(yōu)于乙的避輯推理能力指標值

B.甲的數(shù)學建模能力指標值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標值

C.甲的六維能力指標值整體水平優(yōu)于乙的六維能力指標值整體水平

D.甲的數(shù)學運算能力指標值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標值

軍A

對于選項A,甲的邏輯推理能力指標值為4,乙的邏輯推理能力指標值為3,甲優(yōu)于乙，故A正確;對于選項B,甲的數(shù)學建模

能力指標值為3,乙的直觀想象能力指標值為5,所以乙的直觀想象能力指標值優(yōu)于甲的數(shù)學建模鏈力指標值，故B錯誤;對干選項C,

甲的六維能力指標值的平均值為：Y4+3Y*5+3M）車,乙的六維能力指標值的平均值為:故C錯誤;對于

Oobb

選項D,甲的數(shù)學運算能力指標值為4,甲的直觀想象能力指標值為5,所以甲的數(shù)學運算能力指標值不優(yōu)于甲的直觀想象能力指標值,

故D錯誤.

6.已知空氣質(zhì)■指數(shù)大小分為五級，指數(shù)越大，說明污染的情況越嚴重，對人體危吉越大，指數(shù)范圍在

[0,50],[51,100）001,200],[201,300],[301,500]分別對應(yīng)“優(yōu)”良”"輕度污染中度污染,“重度污染”五個等級.若某市連續(xù)14天的空氣

質(zhì)量指數(shù)變化趨勢圖如圖所示，則下列說法正確的是（）.

A.從2日到5日空氣質(zhì)?越來越好

B.這14天中空氣質(zhì)僵指數(shù)的極差為195

C.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103

D.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)為-良??的頻率為白

14

答案B

從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來越高,故空氣質(zhì)量越來越差，故A錯誤；

這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的極差為220-25=195,故B正確：

將這14天空氣質(zhì)?指數(shù)由小到大排列.中間為86,121,故中位數(shù)為醬口6335故C錯誤;

因為14天中的1日,3日,12日,13日空氣質(zhì)量指數(shù)為良，共4天，所以空氣質(zhì)■指數(shù)為“良”的頻率為故D錯誤

7.某學校為了調(diào)查學生在一周內(nèi)的生活支出，抽取了一個樣本?為〃的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在［50,60）元的學

生有60人，則下列說法正確的是（）.

A.樣本中支出在［50,60）元的頻率為0.03

B.樣本中支出不少于40元的人數(shù)為130

C.〃的值為200

D.若該校有2000名學生，則一定有600人的支出在（50,60）元

答案C

樣本中支出在［50,60）元的頻率為1<0.010W.024心036）X1003故A錯誤:

上4號=200,故〃的值為200,故C正確；

U.IJ.5X1U

樣本中支出不少于40元的人數(shù)為200吊0.0304.036）*10=132,故B錯誤；

若該校有2000名學生，則可能有600人的支出在［50,60）元，故D錯誤.

8.某校高三年級共有30個班，學校心理咨詢室為了了解同學們的心理狀況，將每個班煽號,依次為1到30,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取

5個班進行調(diào)查，若抽到的編號之和為75,則抽到的最小的編號為.

答案3

系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為費五設(shè)抽到的最小編號為x則X*6"M12，M?18+MH24"）=75,所以*=3.

9.（2023?云南昆明一模）甲、乙兩個樣本莖葉圖如圖所示,將甲中的一個數(shù)據(jù)調(diào)入乙，使調(diào)整后兩組數(shù)據(jù)的平均值都比調(diào)整前增大，則

這個數(shù)據(jù)可以是.（填一個數(shù)據(jù)即可）

甲乙

~~65624

87671368

63208128

59

76（或77或78,填一個即可）

數(shù)據(jù)調(diào)整前.甲組的數(shù)據(jù)之和為6546+76+77+78相0陽2川3*86閣2*95=880,平均數(shù)為等=80.

乙組的數(shù)據(jù)之和為6244+71*73*76*78^61儂用8W75,平均數(shù)為警=75.

答>8。,

設(shè)甲中的一個數(shù)據(jù)調(diào)入乙的數(shù)據(jù)為X由已知條件可得解得75Vx<80.

甯>75,

10.某班有40名男生,20名女生，已知男女身高有明顯不同，現(xiàn)欲調(diào)查班內(nèi)的平均身高，準備抽取總?cè)藬?shù)中的表采用比例分配的方法抽

取1名男生,1名女生，你認為這種做法是否妥當？如果讓你來調(diào)查，你準備怎樣做？

這種做法不妥當.原因:取樣比例數(shù)去過小，很難準哨反映總體情況，況且男、女身高差異較大，抽取相同人數(shù)并不合理.

考慮到本題的情況，可以采用分層抽樣的方法，可取抽樣比為!.

男生抽取40毛=8（名），女生抽取2。w=4（名）,各自用抽簽法或隨機數(shù)法抽取組成樣本.

%能力提升

11.某地區(qū)公共部門為了調(diào)杳本地區(qū)中學生日常穿校服的情況,對隨機抽出的編號為17000的1000名學生進行了調(diào)查.調(diào)查中使用

了兩個問題，問邈1:您的編號是否為奇致？問題2:您日常是否穿校服？被調(diào)查者隨機從設(shè)計好的裝置（內(nèi)有除顏色外完全相同的白球

100個，紅球100個）中摸出一個小球期則如下:若摸出白球則回答問題1,若摸出紅球則回答問題2.已知共有700人回答“是"，則下列

說法正謫的是（）.

A.估計被調(diào)查者中約有250人日常穿校服

B.估計約有450人對問題2的回答為'是.

C.估計該地區(qū)約有80%的中學生日常穿校服

D.估計該地區(qū)約有35%的中學生日常穿校服

亭案B

在隨機抽出的io。。名學生中，回答第一個問題的概率是發(fā)其墉號是套數(shù)的概率也是:,所以回答問題1且回答??是-的人數(shù)

大約為1000弓弓=250,回答問題2且回答為一是一的人數(shù)大約為700-250N50,由此估計此地區(qū)的中學生日常穿校服的人數(shù)的百分比

為擺=90%,被調(diào)查者中約有1000*90%=900（人）日常穿校服.故選B.

12.某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛,6000輛和2000輛.為檢蛤該公司的產(chǎn)品質(zhì),質(zhì)檢部門要抽取46輛轎車進行

檢驗，則下列說法韜誤的是（）.

A.應(yīng)采用分層抽樣法抽取

B.應(yīng)采用抽簽法抽取

C.三種型號的轎車依次抽取6輛,30輛和10輛

D.這三種型號的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的

咨案B

因為總體按型號分為三個子總體,所以應(yīng)采用分層抽樣法抽取，故A正確;因為總體量較大,所以不宜采用抽簽法，故B錯

（X_y_z_46X=6,

誤;設(shè)三種型號的轎車依次抽取x輛/輛N輛則有同一麗一麗一旃僻得y=30,所以三種型號的轎車依次抽取5輛,30輛

b+y+z=46,2=10.

和10輛，故C正晌;由分層抽樣的意義可知,D正確.

13.某工廠的三個車間在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，為了檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若從第一、二、

三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)（單位:雙）分別為ab,G且aRc成等差數(shù)列,則第二車間12月份生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為.

答案1200

因為a?c成等差數(shù)列.所以20=a+c,則等=6,故第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的g.

根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，可知第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的；，即為：*3600=1200.

14.為了對某課題進行研究,分別從48c三所高校中用分層抽樣法抽取若干名教授組成研究小組，其中高校4有m名教授，高校8

有72名教授，高校C有〃名教授（其中720m.

（1）若從48兩所高校中共抽取3名教授,8。兩所高校中共抽取5名教授，求m,rr,

（2）若從高校8中抽取的教授數(shù)是從高校/和C中抽取的教授總數(shù)的宗求三所高校的教授的總?cè)藬?shù).

（1）:0＜加724〃從A8兩所高校中共抽取3名教授,8,。兩所高校中共抽取5名教授，.:從高校8中抽取2名教授，高校A

中抽取1名教授，高校C中抽取3名教授,.：△《品，解得＜77=36,77=108.

m72.n

（2）:從高校8中抽取的教授數(shù)是從高校力和C中抽取的教授總數(shù)的aWm"=72,解得m+e08,.:三所高校的教授的總?cè)藬?shù)

為/n+n*72=180.

K彳思維拓展

15.分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例,從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，組成一個樣本的抽樣方法.在《九

章算術(shù)》第三章“袁分”中有如下問題:“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十,凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢,欲以錢數(shù)多少

衰出之，問各幾何?”其譯文為:今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關(guān),關(guān)稅共100錢，要按照著人帶錢多

少的比例進行交稅，問三人各應(yīng)付多少稅?則下列說法錯誤的是（）.

A.甲應(yīng)付51器錢

B.乙應(yīng)付32磊錢

C.丙應(yīng)會1嶗錢

D.三者中甲付的錢最多,丙付的錢最少

答案B

解析由分層抽樣可知，抽樣比為就鵬端

則甲應(yīng)付程*560=51曲（錢）、乙應(yīng)付推*350=32喘（錢），丙應(yīng)付益M80K焉錢）.

16.某單位招聘員工，有250名應(yīng)聘者參加筆試，隨機抽查了其中20名應(yīng)聘者的綣試試卷，統(tǒng)計他們的成績（單位:分）如下表:

分數(shù)段[60,65)[65,70)[70,75)(75,80)

人數(shù)1345

分數(shù)段[80,85)[85,90)[90,95]

人數(shù)322

若按筆試成績擇優(yōu)錄取50名參加面試，則可預(yù)測參加面試的分數(shù)線為.

答案85分

因為有250名應(yīng)聘者參加筆試,按筆試成績擇優(yōu)錄取50名參加面試，所以錄取的比例為1.5隨機抽查的20名應(yīng)聘者中

被錄取的人數(shù)為20*H.由20名應(yīng)聘者的成績表可知，極錄取的4人成績不低于85分，故可預(yù)測參加面試的分數(shù)線為85分.

第2節(jié)用樣本估計總體

對應(yīng)學生用書P300

考試要求

1.會求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.

2.能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標準差、方差、極差)，理解寓散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.

清,知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)全通關(guān)

樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

數(shù)字特征概念優(yōu)點與缺點

一組數(shù)據(jù)中重復(fù)

人*U眾數(shù)遹常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)但顯然它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使它無法客觀地

眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多

反映息體特征

的數(shù)

把一組數(shù)據(jù)按

從」的順

小八皿序排列，處在中中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某蛀情況下是優(yōu)點，但它對極端

中位數(shù)----

間位置的一個值的不敏感有時也會成為缺點

數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)據(jù)

的平均數(shù))

如果有0個數(shù)據(jù)

…左，那么這

平均數(shù)"個數(shù)的平均數(shù)平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的

--極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低

X-

X1+x2+…+Xn

n

(2)標準差、方差

①標準差:樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距宙,一般用5表示.

S=J；Q1-X)2+(X2-G)2+…+(%-X)2].

②方差:標準差的平方

*中(必-加犬及-")2+...*/晟河，

其中雙/=1,2,3，…,〃)是樣本數(shù)據(jù)，。是樣本容量二是樣本平均數(shù).

1.會用三個關(guān)系

頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系

(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù).

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的唾心等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.

2.巧用三個有關(guān)的結(jié)論

⑴若木,X2，…,物的平均數(shù)為x廁mxi+&m2+a,…,mxn+a的平均數(shù)為rm+a,

(2)數(shù)據(jù)必,及，…,拓與數(shù)據(jù)xi'=x、+a、2'=2+a…M/=M1+a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變;

(3)若必,越，…,先的方差為d則ax、+b,ax2+b,…,axn+b的方差為Hs＜

自我診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(對的打錯的打

(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.()

(2)在頻率分布直方圖中.最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù)的值計值.()

(3)方差與標準差具有相同的單位.()

(4)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，那么這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.

答案(1)*(2)V(3)*(4)J

2.已知某班級部分同學一次測驗的成績統(tǒng)計如圖所示，則其中位數(shù)和眾數(shù)分別為().

769

83676

92941586

103

114

A.95和94

B.92和86

C.99和86

D.95和91

答案B

由莖葉圖可知，此蛆數(shù)據(jù)由小到大排列依次為76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114,ft17個,92為

中位數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的為眾數(shù),眾數(shù)為86.故選B.

3.(教材改編)已知某7個數(shù)的平均數(shù)為4,方差為2,現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4,此時這3個數(shù)的平均數(shù)為工方差為式則().

A.x=4,^＜2B.x=4,^=2

C.x^.s2^D.x-＞4,s:?＞2

答A

設(shè)這1個數(shù)分別為小―內(nèi),必,心所,也則；*(加收為以《儀+粕為)=4,；乂(必＜)2*筮＜)2*用＜)2*網(wǎng)＜)2*思_4)2“胭-

4)2*甘4)2]之,

所以必+設(shè)+M9+x&+X7=28,(*4)24)2*用4)2-4)2彳后4)2*法4)2-4)2=d4.

則這8個數(shù)的平均數(shù)筮+啟膽+H*4)W*(28*4)=4,方差*=^*[(小4)2彳及-4)2彳用4)2犬放＜)2犬拈＜)2式府-

OOo

4.某班班主任為了了解該班學生寒假期間做家務(wù)勞動的情況,隨機抽取該班15名學生，調(diào)查得到這15名學生塞假期間做家務(wù)勞動

的天數(shù)分別是8,18.15,20,16,20,19,1819,10,6,20,20,23,25,則下列結(jié)論正確的是().

A.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是18

B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是20

C.若在記錄數(shù)據(jù)時，漏掉了一個數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的眾數(shù)是19

D.若在記錄數(shù)據(jù)時，漏掉了一個數(shù)據(jù),則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是19

答案B

由題意知,這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為6,8,10,15,16,18,18,19,19,20,20.20,20,23.25,

根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義，可得數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是19和20,故A楮誤.B正確；

漏掉了一個數(shù)據(jù)后，新數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的數(shù)仍然是20,故C錯誤；

若漏掉的一個數(shù)據(jù)大于或等于19,則新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是18.5,故D錯誤.

5.（2022年全國甲卷）某社區(qū)通過公益部座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民,讓他們在講座

前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正胞率如圖，則（）.

*講座前?講座后

居民編號

A.講座前問卷答題的正耨率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正真率的極差大于講座前正確率的極差

答案B

講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)為螫產(chǎn)=72.5%>70%,所以A借誤;