2026版大一輪高考數(shù)學-第十章　§10.5　離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征VIP

§10.5離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征課標要求1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念.2.理解并會求離散型隨機變量的數(shù)字特征.1.離散型隨機變量一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應，我們稱X為隨機變量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量稱為離散型隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列一般地，設離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.3.離散型隨機變量分布列的性質(zhì)(1)pi≥0，i＝1，2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.4.離散型隨機變量的均值(數(shù)學期望)與方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值(數(shù)學期望)稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝n∑i=1xipi為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，數(shù)學期望簡稱期望.它反映了隨機變量取值的(2)方差稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝n∑i=1(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，并稱D(X)為隨機變量X的標準差，記為σ(5.均值(數(shù)學期望)與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù)).1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)在離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.(×)(2)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.(√)(3)隨機試驗的結果與隨機變量是對應關系，即每一個試驗結果都有唯一的隨機變量的值與之對應.(√)(4)方差或標準差越小，則隨機變量的偏離程度越小.(√)2.甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，則{ξ＝3}表示()A.甲贏三局B.甲贏一局輸兩局C.甲、乙平局二次D.甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次答案D解析因為甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故{ξ＝3}表示兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次.3.已知隨機變量X的分布列如表，則E(5X＋4)等于()X124P0.4a0.3A.1 B.2.2C.11 D.15答案D解析依題意，0.4＋a＋0.3＝1，解得a＝0.3，則E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，所以E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.2＋4＝15.4.甲、乙兩人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機變量X，Y，分布列分別為X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術較好的是.

答案乙解析E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E(Y)<E(X)，∴乙技術較好.1.(1)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機變量，它不確定.(2)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小.(3)求出分布列后，注意運用分布列的兩條性質(zhì)檢驗所求分布列是否正確.2.(1)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).(2)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(3)若X1，X2相互獨立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).題型一分布列的性質(zhì)例1(1)若隨機變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當P(X<a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是()A.[1，2) B.[1，2]C.(1，2] D.(1，2)答案C解析由隨機變量X的分布列知，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，故當P(X<a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(1，2].(2)設隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝m4k2-1(k＝1，2，3，4，5)，則P(X≥4)A.235 B.C.2225 D.答案A解析P(X＝k)＝m＝m2∵5∑k=1P(X＝k)＝∴m2×＝m2×1-1則m＝115∴P(X≥4)＝1110×1思維升華離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的應用(1)利用“概率之和為1”可以求相關參數(shù)的值.(2)利用“在某個范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列的結果是否正確.跟蹤訓練1已知隨機變量ξ的分布列如表：ξ－202Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|ξ|＝2)的值是()A.23 B.C.14 D.答案A解析因為a，b，c成等差數(shù)列，所以b＝a＋根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)得a＋b＋c＝1，所以3(a＋c)2＝1，即a所以P(|ξ|＝2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝－2)＝23題型二離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征命題點1求離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征例2(多選)已知離散型隨機變量X的分布列如表所示，則下列說法正確的是()X－213P2a0.25aA.a＝0.25B.E(X)＝1C.D(X)＝4.5D.P(0.5<X<3.5)＝0.5答案ACD解析由題意2a＋0.25＋a＝1，得a＝0.25，所以E(X)＝－2×0.5＋1×0.25＋3×0.25＝0，D(X)＝(－2－0)2×0.5＋(1－0)2×0.25＋(3－0)2×0.25＝4.5，P(0.5<X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝0.25＋0.25＝0.5.均值、方差的大小比較、最值(范圍)問題關于隨機變量的均值與方差，近幾年均以選擇題的形式考查，除考查均值、方差的直接計算，還經(jīng)常從下列幾個角度進行考查：(1)均值、方差及概率的大小比較；(2)均值、方差的增減性分析；(3)均值、方差的最值；(4)解均值、方差的不等式求字母的范圍.典例(1)設隨機變量X的分布列如下(其中0<p<1)，D(X)表示X的方差，則當p從0增大到1時()X012P1-1pA.D(X)增大 B.D(X)減小C.D(X)先減后增 D.D(X)先增后減答案D解析由分布列可得E(X)＝0×1-p2＋1×12＋2×p則D(X)＝1-p212＋p2＋12因為0<p<1，所以D(X)先增后減.(2)(多選)已知某商場銷售一種商品的單件銷售利潤為X＝0，a，2，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗可得0<a<2，隨機變量X的分布列為X0a2P1b1下列結論正確的是()A.b＝1B.若該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為5C.D(X)min＝1D.當D(X)最小時，E(X)＝1答案ABC解析由題意12＋b＋16＝1，∴b＝13，故選項A正確；該商場銷售該商品5件，其中3件銷售利潤為0的概率為C53×123×122＝516，故選項B正確；隨機變量X的均值E(X)＝0×12＋a×13＋2×16＝13(a＋1)，可知方差D(X)＝0-13(a＋1)2×12＋a-13(a＋1)2×13＋2-13(a＋1)2×16＝19×命題點2均值與方差的性質(zhì)應用例3(多選)已知隨機變量X的分布列為X－1012Pabc0.25且a，b，c成等差數(shù)列，下列結論正確的是()A.D(bX＋1)＝116D(XB.P(|X|＝1)＝0.5C.若E(aX)＝0.08，則a＝0.1D.a－c可能等于0.1答案ABD解析依題意，a＋b＋c＝3b＝0.75，解得b＝0.25，a＋c＝0.5.D14X＋1＝116P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝0.5，B正確；E(X)＝－a＋c＋0.5＝1－2a，則E(aX)＝aE(X)＝a(1－2a)＝0.08，解得a＝0.1或a＝0.4，C錯誤；當a＝0.3，c＝0.2時，a－c＝0.1，D正確.思維升華求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ的所有可能取值.(2)求ξ取每個值的概率.(3)寫出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ).跟蹤訓練2(多選)已知隨機變量X的分布列如下，則下列說法正確的是()X－2－112P1mn2A.m＋n＝2B.P(X<2)＝7C.若m＝19，Y＝3X＋2，則E(Y)＝D.D(X2)＝2答案ABD解析因為19＋m＋n＋29＝1，所以m＋n＝23P(X<2)＝1－P(X≥2)＝1－29＝7因為m＝19，所以n＝59，所以E(X)＝－2×19＋(－1)×19＋1×59＋2×29＝23，所以E(Y)＝E(3X＋2)＝3E(P(X2＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝m＋n＝23，P(X2＝4)＝P(X＝－2)＋P(X＝2)＝1則X2的分布列為X214P21所以E(X2)＝1×23＋4×13＝2，則D(X2)＝23×(1－2)2＋13×(4－2)2＝2題型三均值與方差中的決策問題例4數(shù)學多選題的得分規(guī)則是：每小題的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的按比例得分，有選錯的得0分，小明根據(jù)大量的多選題統(tǒng)計得到：多選題正確的選項共有四個的概率為0，正確選項共有兩個的概率為p(0<p<1).(1)現(xiàn)有某個多選題，小明完全不會，他有兩種策略，策略一：在A，B，C，D四個選項中任選一個選項，策略二：在A，B，C，D四個選項中任選兩個選項，求小明分別采取這兩個策略時小明得分的數(shù)學期望；(2)若有一個多選題，小明發(fā)現(xiàn)A正確，B，C，D選項他不會判斷，現(xiàn)在他也有兩個策略，策略一：除選A外再從B，C，D中任選一個，策略二：除選A外再從B，C，D中任選兩個，在p＝14的條件下，判斷小明選擇哪個策略更好解(1)設小明分別采用策略一和策略二的得分分別為X1，X2，X1的可能取值為0，2，3，P(X1＝0)＝p×24＋(1－p)×1P(X1＝2)＝(1－p)×34P(X1＝3)＝p×24∴E(X1)＝0×1＋p4＋2×3-3p4X2的可能取值為0，4，6，P(X2＝0)＝p×56＋(1－p)×3P(X2＝4)＝(1－p)×36P(X2＝6)＝p×16∴E(X2)＝0×3＋2p6＋4×1-p2＋6×∴小明分別采取策略一和策略二的得分的數(shù)學期望分別為32和2－p(2)設小明選擇策略一和策略二的得分分別為Y1，Y2，Y1的可能取值為0，4，6，P(Y1＝0)＝14×23＋P(Y1＝4)＝34×2P(Y1＝6)＝14×1∴E(Y1)＝0×512＋4×12＋6×Y2的可能取值為0，6，P(Y2＝0)＝14＋3P(Y2＝6)＝34×1∴E(Y2)＝0×34＋6×1∵E(Y1)>E(Y2)，∴小明選擇策略一更好.思維升華隨機變量的均值和方差從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.跟蹤訓練3(2021·新高考全國Ⅰ)某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.解(1)由題意得，X的所有可能取值為0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)當小明先回答A類問題時，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.當小明先回答B(yǎng)類問題時，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因為57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答B(yǎng)類問題.課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.在籃球比賽中，規(guī)定一次中距離投籃投中得2分，投不中得0分，則選手甲在三次中距離投籃中的總得分ξ的所有可能取值的和是()A.8 B.10C.12 D.14答案C解析選手甲在三次中距離投籃中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中兩次，得4分，中三次，得6分，故總得分ξ的所有可能取值為0，2，4，6，所以總得分ξ的所有可能取值的和為12.2.設隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝i2a，i＝1，2，3，則a等于(A.3 B.7C.2 D.5答案A解析根據(jù)題意，隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝i2a，i＝1，2，3，則有12a＋23.已知隨機變量X的分布列為X－101P1mn若P(X≤0)＝12，且2X＋Y＝1，則D(Y)等于(A.2918 B.C.299 D.答案C解析由P(X≤0)＝12得m＝12－13＝16，n＝1－P(則E(X)＝－1×13＋0×16＋1×D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝1×56＋0×1由2X＋Y＝1，得Y＝1－2X，所以D(Y)＝4D(X)＝2994.已知隨機變量X的概率分布列為P(X＝n)＝asinπ4n-2(n＝1，2)，其中a是常數(shù)，則E1aA.23 B.C.2 D.8答案C解析由P(X＝n)＝asinπ4n-2(n＝1，得P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝12a由P(X＝1)＋P(X＝2)＝1，得a＝23于是E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＝2a＝43所以E1aX＝32E5.一袋中裝有5個白球和3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個，取出后記下顏色，若為紅色則停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時從袋中抽取的白球的個數(shù)為隨機變量ξ，則P(ξ≤2)等于()A.914 B.C.3756 D.答案D解析依題意知，ξ＝k表示前k個球為白球，第k＋1個球恰為紅球，則ξ的可能取值為0，1，2，3，4，5，則P(ξ＝k)＝A5kA31A8k＋1，k＝0，所以P(ξ＝0)＝A5P(ξ＝1)＝A5P(ξ＝2)＝A5所以P(ξ≤2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝46566.某聽眾打電話參加某廣播電視臺猜商品名稱節(jié)目，能否猜對每件商品的名稱相互獨立，該聽眾猜對三件商品D，E，F(xiàn)的名稱的概率及猜對時獲得的獎金如表所示：商品DEF猜對的概率0.80.50.3獲得的獎金/元100200300規(guī)則如下：只有猜對當前商品名稱才有資格猜下一件商品，你認為下列哪個答題順序獲得的獎金的均值最大()A.FDE B.FEDC.DEF D.EDF答案C解析按照FDE的順序獲得的獎金的均值為300×0.3×0.2＋400×0.3×0.8×0.5＋600×0.3×0.8×0.5＝138；按照FED的順序獲得的獎金的均值為300×0.3×0.5＋500×0.3×0.5×0.2＋600×0.3×0.5×0.8＝132；按照DEF的順序獲得的獎金的均值為100×0.8×0.5＋300×0.8×0.5×0.7＋600×0.8×0.5×0.3＝196；按照EDF的順序獲得的獎金的均值為200×0.5×0.2＋300×0.5×0.8×0.7＋600×0.5×0.8×0.3＝176.綜上所述，按照DEF的順序獲得的獎金的均值最大.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.已知離散型隨機變量X的分布列為X0125Pa2a＋0.2a＋0.22a則下列說法正確的是()A.a＝0.1 B.D(X)＝1.84C.E(X)＝2 D.E(2X＋6)＝9答案AC解析由分布列的性質(zhì)知6a＋0.4＝1，解得a＝0.1，故A正確；故E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.3＋5×0.2＝2，D(X)＝0.1×22＋0.4×12＋0.3×02＋0.2×32＝2.6，故B錯誤，C正確；由離散型隨機變量期望的性質(zhì)可得，E(2X＋6)＝2E(X)＋6＝10，故D錯誤.8.已知隨機變量X的分布列為X－101Pp1p2p2下列結論正確的是()A.若p1＝2p2，則p1＝1B.若p1＝p2，則P(|X|＝1)＝2C.若E(X)＝13，則p2＝D.p12－p2(p1p2≠0)的最小值為答案BC解析對于A，由題意得p1＋2p2＝1，若p1＝2p2，則p1＝12，A對于B，若p1＝p2，則p1＝p2＝13，P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝13＋對于C，若E(X)＝13，則－p1＋p2＝13，又p1＋2p2＝1，所以p2＝49對于D，由p1＋2p2＝1，得0<p2<12p12－p2＝(1－2p2)2－p2＝4p22－5p2＋1因為0<p2<12，所以p12－p2不存在最小值，三、填空題(每小題5分，共10分)9.隨機變量ξ的分布列如表所示：ξ234Paba根據(jù)隨機變量ξ的分布列，計算出E(ξ)＝，若D(ξ)＝12，則b的數(shù)值應是.答案31解析依題意，a＋b＋a＝2a＋b＝1，E(ξ)＝2a＋3b＋4a＝6a＋3b＝3(2a＋b)＝3，D(ξ)＝(2－3)2a＋(3－3)2b＋(4－3)2a＝2a＝12解得a＝14，代入2a＋b＝1得b＝110.根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如表所示：降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，則工期延誤天數(shù)Y的均值為.

答案3解析由題意可知P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以隨機變量Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1所以E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，所以工期延誤天數(shù)Y的均值為3.四、解答題(共28分)11.(13分)(2025·重慶模擬)甲、乙兩名圍棋手對弈，比賽實行五局三勝制，第一局通過猜子確定甲執(zhí)黑先行，其后每局交換先行者，直至比賽結束，已知甲先行時他贏下該局的概率為0.6，乙先行時他贏下該局的概率為0.5.(1)求比賽只進行了三局就結束的概率；(5分)(2)已知甲勝了第一局，求比賽進行局數(shù)的期望.(8分)解(1)比賽只進行三局，則都是甲贏或都是乙贏，所以概率為0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.18＋0.08＝0.26.(2)設比賽進行的局數(shù)為X，則X所有可能的取值為3，4，5.當X＝3時，則前三局都是甲贏，P(X＝3)＝0.5×0.6＝0.3，當X＝4時，則可能的情況是甲乙甲乙乙勝甲乙乙乙甲勝甲甲乙甲甲勝甲乙甲甲P(X＝4)＝0.5×0.4×0.5＋0.5×0.4×0.5＋0.5×0.6×0.5＝0.35，P(X＝5)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.3－0.35＝0.35，故E(X)＝3×0.3＋4×0.35＋5×0.35＝4.05.12.(15分)某公司為活躍氣氛、提升士氣，年終擬通過抓鬮兌獎的方式對所有員工進行獎勵.規(guī)定：每位員工從一個裝有4個標有面值的鬮的袋中一次性隨機摸出2個鬮，鬮上所標的面值之和為該員工獲得的獎勵金額.(1)若袋中所裝的4個鬮中有1個所標的面值為800元，其余3個均為200元，求：①員工所獲得的獎勵金額為1000元的概率；(3分)②員工所獲得的獎勵金額的分布列及均值；(5分)(2)公司對獎勵金額的預算是人均1000元，并規(guī)定袋中的4個鬮只能由標有面值200元和800元的兩種鬮或標有面值400元和600元的兩種鬮組成.為了使員工得到的獎勵金額盡可能符合公司的預算且每位員工所獲得的獎勵金額相對均衡，請對袋中的4個鬮的面值給出一個合適的設計，并說明理由.(7分)解(1)設員工所獲得的獎勵金額為X，①P(X＝1000)＝C3∴員工所獲得的獎勵金額為1000元的概率為12②X所有可能的取值為400，1000，P(X＝400)＝C3∴X的分布列為X4001000P11∴員工所獲得的獎勵金額的均值為E(X)＝400×12＋1000×12(2)根據(jù)公司預算，每個員工的平均獎勵金額為1000元，∴先尋找均值為1000元的可能方案，對于面值由800元和200元組成的情況，如果選擇(200，200，200，800)的方案，∵1000元是面值之和的最大值，∴均值不可能為1000元，如果選擇(800，800，800，200)的方案，∵1000元是面值之和的最小值，∴均值不可能為1000元，因此可能的方案是(800，800，200，200)，記為方案1；同理，對于面值由600元和400元組成的情況，排除(600，600，600，400)和(400，400，400，600)的方案，∴可能的方案是(400，400，600，600)，記為方案2.