2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第十章　必刷大題20　概率與統(tǒng)計VIP

必刷大題20概率與統(tǒng)計[分值：60分]1.(13分)(2024·安康模擬)某農(nóng)場收獲的蘋果按A，B，C三個蘋果等級進行裝箱，已知蘋果的箱數(shù)非常多，且A，B，C三個等級蘋果的箱數(shù)之比為6∶3∶1.(1)現(xiàn)從這批蘋果中隨機選出3箱，若選到任何一箱蘋果是等可能的，求至少選到2箱A級蘋果的概率；(6分)(2)若用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從該農(nóng)場收獲的A，B，C三個等級蘋果中選取10箱蘋果，假設(shè)某游客要從這10箱蘋果中隨機購買3箱，記購買的A級蘋果有X箱，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.(7分)解(1)設(shè)事件M＝“至少選到2箱A級蘋果”，由題意知選到1箱A級蘋果的概率為610＝35，選到1箱非所以P(M)＝C3235＝54＋故至少選到2箱A級蘋果的概率為81125(2)因為用按比例分配的分層隨機抽樣的方法從該農(nóng)場收獲的A，B，C三個等級蘋果中選取10箱蘋果，所以A級蘋果有6箱，B，C級蘋果共有4箱，隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，則P(X＝0)＝C6P(X＝1)＝C6P(X＝2)＝C6P(X＝3)＝C6所以X的分布列為X0123P1311E(X)＝0×130＋1×310＋2×12＋32.(15分)隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用越來越廣泛，某科技公司發(fā)明了一套人機交互軟件，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進行應(yīng)答.該人機交互軟件測試階段，共測試了1000個問題，測試結(jié)果如下表：回答正確回答錯誤問題中存在語法錯誤100300問題中沒有語法錯誤500100結(jié)果顯示問題中是否存在語法錯誤會影響該軟件回答問題的正確率，依據(jù)測試結(jié)果，用頻率近似概率，解決下列問題.(1)測試2個問題，在該軟件都回答正確的情況下，求測試的2個問題中恰有1個問題存在語法錯誤的概率；(7分)(2)現(xiàn)輸入3個問題，每個問題能否被軟件正確回答相互獨立，記軟件正確回答的問題個數(shù)為X，求X的分布列.(8分)解(1)記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，“回答正確”為事件B，由測試結(jié)果知P(A)＝35，P(B|A)＝5P(A)＝25，P(B|A)＝1所以P(B)＝P(B|A)P(A)＋P(B|A)P(A)＝14×25＋記“測試的2個問題都回答正確”為事件M，“測試的2個問題中恰有1個問題存在語法錯誤”為事件N，則P(M)＝35P(MN)＝P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)×2＝35×56×25×14×所以P(N|M)＝P((2)由(1)可得X~B3，35，則X的可能取值為0，1，2所以P(X＝0)＝25P(X＝1)＝C31×35P(X＝2)＝C32×35P(X＝3)＝35所以X的分布列為X0123P83654273.(15分)某學(xué)校計劃舉辦趣味投籃比賽，比賽分若干局進行.每一局比賽規(guī)則如下：兩人組成一個小組，每人各投籃3次.若某選手投中次數(shù)多于未投中次數(shù)，則稱該選手為“好投手”.若兩人均為“好投手”，則稱該小組為本局比賽的“神投手組合”.假定每位參賽選手都參加每一局的比賽，每人每次投籃結(jié)果互不影響.若甲、乙兩位同學(xué)組成一個小組參賽，且甲、乙同學(xué)的投籃命中率分別為23，1(1)求在一局比賽中甲被稱為“好投手”的概率；(5分)(2)若以“甲、乙同學(xué)組成的小組獲得‘神投手組合’的局?jǐn)?shù)為3的概率最大”作為決策依據(jù)，試推斷本次投籃比賽設(shè)置的總局?jǐn)?shù)n(n≥4)為多少時，對該小組更有利.(10分)解(1)設(shè)“一局比賽中甲被稱為‘好投手’”為事件A，則P(A)＝C32×232×(2)設(shè)“一局比賽中乙被稱為‘好投手’”為事件B，則P(B)＝C32×122×甲、乙同學(xué)都被稱為“好投手”的概率為P＝2027×1比賽設(shè)置n(n≥4)局，設(shè)甲、乙同學(xué)組成的小組獲得“神投手組合”的局?jǐn)?shù)為X，則X~Bn，且P(X＝3)＝Cn設(shè)f(n)＝Cn310273則f則C即n-2≥又n∈N*，則n＝8，所以本次投籃比賽設(shè)置的總局?jǐn)?shù)為8時，對該小組更有利.4.(17分)信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機變量X和Y的分布列分別為：P(X＝xi)＝pi，P(Y＝xi)＝qi，其中i＝1，2，…，n.定義X的信息熵：H(X)＝－n∑i=1pilog2pi，X和Y的“距離”：KL(X||Y)＝n∑i=1pi(1)若X~B4，12，求H(X)；((2)已知發(fā)報臺只發(fā)出信號0和1，接收臺只收到信號0和1.現(xiàn)發(fā)報臺發(fā)出信號0的概率為m，由于通信信號受到干擾，發(fā)出信號0接收臺收到信號0的概率為n，發(fā)出信號1接收臺收到信號1的概率也為n.①若接收臺收到信號為0，求發(fā)報臺發(fā)出信號為0的概率；(5分)②記X和Y分別為發(fā)出信號和收到信號，證明：KL(X||Y)≥0.(7分)(1)解因為X~B4，所以P(X＝k)＝C4所以X的分布列為X01234P11311所以H(X)＝－1＝32－38(log23－3)＝(2)①解記發(fā)出信號0和1分別為事件Ai(i＝0，1)，收到信號0和1分別為事件Bi(i＝0，1)，則P(A0)＝m，P(A1)＝1－m，P(B0|A0)＝P(B1|A1)＝n，P(B1|A0)＝P(B0|A1)＝1－n，所以P(B0)＝P(A0)P(B0|A0)＋P(A1)P(B0|A1)＝mn＋(1－m)(1－n)＝1－m－n＋2mn，所以P(A0|B0)＝P(A0②證明由①知P(B0)＝1－m－n＋2mn，則P(B1)＝1－P(B0)＝m＋n－2mn，則KL(X||Y)＝mlog2m1-m-n＋2mn＋(1設(shè)f(x)＝1－1x－lnx，x>0則f'(x)＝1x所以當(dāng)0<x<1時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所