典型例題：勾股定理及其驗(yàn)證（原卷版）VIP

典型例題：勾股定理及其驗(yàn)證知識(shí)點(diǎn)1.1認(rèn)識(shí)勾股定理1)為什么叫勾股定理？勾股定理是“人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一。是初等幾何中的一個(gè)基本定理。那么大家知道多少勾股定理的別稱呢?我可以告訴大家，有畢達(dá)哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驢橋定理和埃及三角形等。這個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國(guó)(希臘、中國(guó)、埃及、巴比倫、印度等)對(duì)此定理都有所研究。eq\o\ac(○,1)勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢達(dá)哥拉斯對(duì)勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。eq\o\ac(○,2)中國(guó)古代對(duì)這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》（公元前1000年左右的西周時(shí)期）就有關(guān)于勾股定理的記載，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說(shuō)的勾3股4弦5，正是勾股定理的一一個(gè)應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為“勾股定理”是非常恰當(dāng)?shù)摹?）勾股定理:如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2注：a.僅在直角三角形中存在勾股定理；b.由于直角三角形的斜邊最長(zhǎng)，故運(yùn)用勾股定理時(shí)，一定要抓住直角三角形最長(zhǎng)邊（斜邊）的平方等于兩短邊（兩直角邊）的平方和，避免出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤1．（2021·山西石樓中學(xué)八年級(jí)月考）在中，，，的對(duì)應(yīng)邊分別是，，，若，則下列等式中成立的是（）A． B． C． D．2．（2021·成都市八年級(jí)期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，其面積標(biāo)記為S1，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形，再以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S7的值為（）A．? B．? C．? D．?3．（2021·江蘇八年級(jí)期末）如圖，等腰中，，，于，且．則__________．4．（2021·云南八年級(jí)期末）如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形草坪，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步路（假設(shè)步為米），卻踩傷了花草．5．（2021·云南昭通市·八年級(jí)期中）在中，若，，則（）A． B． C．或 D．或6．（2021·廣東廣州市第二中學(xué)八年級(jí)期中）已知直角三角形的面積為6cm2，兩直角邊的和為7cm，則它的斜邊長(zhǎng)為（）cm．A．5 B．6 C． D．7．（2021·成都市棕北中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，梯子頂端到地面的距離為2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子頂端到地面的距離為1.5米．（1）梯子的長(zhǎng)是多少？（2）求小巷的寬．1.2勾股定理的驗(yàn)證據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，勾股定理的證明方法已經(jīng)多達(dá)400多種了。由于篇幅有限，我們就重點(diǎn)介紹最具代表性的“勾股圓方圖”的證法。在《九章算術(shù)》一書中(約在公元50至100年間)，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”（后人也把它稱為“趙爽弦圖”），用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明(下圖)。（證明過(guò)程見(jiàn)例1）趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國(guó)古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展,只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已。1．（2021·山西中考真題）在勾股定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了運(yùn)用以下圖形，驗(yàn)證著名的勾股定理：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱為“無(wú)字證明”．實(shí)際上它也可用于驗(yàn)證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．統(tǒng)計(jì)思想 B．分類思想 C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 D．函數(shù)思想2．（2020·河南平輿初二期中）如圖(1)是用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形,兩直角邊的長(zhǎng)分別為和斜邊長(zhǎng)為圖(2)是以為直角邊的等腰直角三角形.請(qǐng)你開(kāi)動(dòng)腦筋,將它們拼成一個(gè)直角梯形.(1)在圖(3)處畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖；(2)利用(1)畫出的圖形證明勾股定理.3．（2020·河南伊川初二期末）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖擺放時(shí)，可以用“面積法”來(lái)證明．將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．4．（2021·河北八年級(jí)期末）勾股定理是畢達(dá)哥拉斯定理的中國(guó)稱謂，它揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，中國(guó)是發(fā)現(xiàn)、研究和運(yùn)用勾股定理最古老的國(guó)家之一，我國(guó)古稱直角三角形的直角邊為“勾”或“股”，斜邊為“弦”，因而將這條定理稱為勾股定理．請(qǐng)你從以下圖形中，任意選擇一個(gè)來(lái)證明這個(gè)定理．5．（2020·江蘇南京初二期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖所示．該圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國(guó)最早對(duì)勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)．（1）請(qǐng)利用這個(gè)圖形證明勾股定理；（2）請(qǐng)利用這個(gè)圖形說(shuō)明a2＋b2≥2ab，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件；（3）請(qǐng)根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問(wèn)題：長(zhǎng)為x，寬為y的長(zhǎng)方形，其周長(zhǎng)為8，求當(dāng)x，y取何值時(shí)，該長(zhǎng)方形的面積最大？最大面積是多少？6．（2021·行唐縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考）勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一．中國(guó)古代最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽，趙爽創(chuàng)制了如圖1所示的“勾股圓方圖”，在該圖中，以弦為邊長(zhǎng)所得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中