湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)第一中學(xué)2025屆高三收官考試數(shù)學(xué)試卷（解析）VIP

望城一中2025屆高三年級(jí)收官考試數(shù)學(xué)試卷望城一中高三數(shù)學(xué)組2025.5.22本試題卷共4頁(yè)，19題，全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.★祝考試順利★注意事項(xiàng):親愛(ài)的同學(xué)們：當(dāng)你們翻開(kāi)這份試卷，會(huì)發(fā)現(xiàn)題目里藏著的不是艱澀的挑戰(zhàn)，而是三年時(shí)光凝成的熟悉與從容.它像一場(chǎng)溫暖的復(fù)盤(pán)，讓你們?cè)谔峁P時(shí)能微笑回望：原來(lái)那些曾讓你皺眉的公式定理，早已悄悄長(zhǎng)成了前行的階梯.高三是一場(chǎng)與自己的對(duì)話，數(shù)學(xué)符號(hào)是這段對(duì)話里最理性的注腳.你們?cè)诓莞寮埳蠈?xiě)下的每一筆，不僅是計(jì)算，更是對(duì)堅(jiān)持的注解；在錯(cuò)題旁訂正的每一個(gè)紅字，不僅是修正，更是向未來(lái)的宣言.不必為“最后一套試卷”賦予沉重的意義，它更像一盞溫柔的燈，照亮你們已走過(guò)的路——那里有深夜臺(tái)燈下的倔強(qiáng)，有豁然開(kāi)朗時(shí)的雀躍，也有偶爾迷茫時(shí)依然向前的腳印.高考從來(lái)不是終點(diǎn)，而是你們用知識(shí)、毅力和熱愛(ài)為自己鋪就的起點(diǎn).愿你們帶著數(shù)學(xué)教會(huì)你們的邏輯與冷靜、勇氣與耐心，走向更廣闊的天地.最后，請(qǐng)記?。喝松鷽](méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案，但你們?yōu)榍啻簩?xiě)下的每一步，都算數(shù).輕松作答吧，少年們！——永遠(yuǎn)相信你們的老師一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）．A.R B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的交集計(jì)算和二次不等式以及指數(shù)函數(shù)的不等式解法即可求解.【詳解】,,,故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B.1 C. D.i【答案】B【解析】【分析】先求出，結(jié)合虛部的概念可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部?.故選：B3.已知夾角為，且，則等于（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【詳解】故選：A4.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-4,-3)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-4,-3)，利用三角函數(shù)的定義得到，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式，商數(shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-4,-3)，所以所以，，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式，二倍角公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.5.若橢圓:的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的連線垂直于下頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)連線，則橢圓的離心率為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓上下頂點(diǎn)的坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)求得直線的斜率，利用斜率乘積為列方程，結(jié)合求得離心率的值.【詳解】橢圓上頂點(diǎn)坐標(biāo)為，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，故直線的斜率為.橢圓下頂點(diǎn)坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，故直線的斜率為.由于，故，即，由于，所以，即，解得.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查兩直線兩直線垂直的表示，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.6.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由奇偶性的性質(zhì)，代入求解即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.故選：D7.已知直線與平面，則能使的充分條件是（）A.， B.，，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由線面、面面的平行與垂直的判定與性質(zhì)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行或相交，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，則只需平面內(nèi)互相垂直即可，無(wú)法得到，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行或相交，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，存在直線，滿足，又，，，，D正確.故選：D.8.(2015新課標(biāo)全國(guó)I理科)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有A.14斛 B.22斛C.36斛 D.66斛【答案】B【解析】【詳解】試題分析：設(shè)圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B.考點(diǎn)：圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.體育教育既能培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)鍛煉身體的習(xí)慣，又能培養(yǎng)學(xué)生開(kāi)拓進(jìn)取、不畏艱難的堅(jiān)強(qiáng)性格.某中學(xué)高三學(xué)生參加體育測(cè)試，其中物理類(lèi)班級(jí)女生的成績(jī)與歷史類(lèi)班級(jí)女生的成績(jī)均服從正態(tài)分布，且，，則().A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用正態(tài)分布的期望與方差和正態(tài)曲線的特點(diǎn)，結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A：由，得，故A正確；對(duì)于B：由，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D：由于隨機(jī)變量、均服從正態(tài)分布，且對(duì)稱軸均為直線，，所以在正態(tài)分布曲線上，的峰值較高，正態(tài)分布較“瘦高”，隨機(jī)變量分布比較集中，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.函數(shù)，的圖像與直線（為常數(shù)）的交點(diǎn)可能有（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】ABC【解析】【分析】畫(huà)出在的圖像，即可根據(jù)圖像得出.【詳解】畫(huà)出在的圖像如下：則可得當(dāng)或時(shí)，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)或時(shí)，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選：ABC.11.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為奇函數(shù) B.在其定義域上有增有減C.的圖象與直線相切 D.有唯一的零點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】由奇函數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)；對(duì)求導(dǎo)，判斷的正負(fù)，可判斷B選項(xiàng)；求的點(diǎn)，代入求切線方程可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)單調(diào)性和奇偶性可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：函數(shù)定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，故A正確；，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，故B不正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為：，即，故C正確；由B選項(xiàng)可知，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以最多只有一個(gè)零點(diǎn)，又，所以有唯一的零點(diǎn)，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若二項(xiàng)式展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為160，則______．【答案】2【解析】【分析】求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)等于零，再根據(jù)題意建立等量關(guān)系，即可求出.【詳解】由題二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，所以當(dāng)時(shí)的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，解得.故答案為：2.13.已知圓臺(tái)上下底面半徑分別為和，母線與下底面所成角為，則圓臺(tái)側(cè)面積為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】作圓臺(tái)的軸截面，結(jié)合條件求圓臺(tái)的高和母線長(zhǎng)，再結(jié)合側(cè)面積公式求結(jié)論.【詳解】記圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，作圓臺(tái)的軸截面如下：過(guò)點(diǎn)作，垂足，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)閳A臺(tái)上下底面半徑分別為和，母線與下底面所成角為，所以，，，所以，，，所以圓臺(tái)的高為，母線長(zhǎng)為2．故圓臺(tái)的側(cè)面積．故答案為：.14.若函數(shù)，在上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)和四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是______________．【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)式得，再結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用整體代換計(jì)算即可.【詳解】由三角恒等變換可得，時(shí)，有，若要滿足題意則需：.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為.已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量得到方程組，計(jì)算出首項(xiàng)和公差，從而得到，，求出兩個(gè)通項(xiàng)公式；（2），利用錯(cuò)位相減法求和，得到答案.小問(wèn)1詳解】由題意知，解得或，當(dāng)時(shí)，，，故，；當(dāng)時(shí)，，，故，，所以或；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?因?yàn)椋?，兩式相減得，故.16.工信部發(fā)布的《“十四五”促進(jìn)中小企業(yè)發(fā)展規(guī)劃》明確提出建立“百十萬(wàn)千”的中小企業(yè)梯度培育體系，引導(dǎo)中小企業(yè)走向“專(zhuān)精特新”“小巨人”“隱形冠軍”的發(fā)展方向，“專(zhuān)精特新”是指具備專(zhuān)業(yè)化、精細(xì)化、特色化、新穎化優(yōu)勢(shì)的中小企業(yè)．下表是某地各年新增企業(yè)數(shù)量的有關(guān)數(shù)據(jù)：年份/年20172018201920202021年份代碼（x）12345新增企業(yè)數(shù)量（y）817292442（1）請(qǐng)根據(jù)上表所給數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2025年此地新增企業(yè)的數(shù)量；（2）若在此地進(jìn)行考察，考察企業(yè)中有4個(gè)為“專(zhuān)精特新”企業(yè)，3個(gè)為普通企業(yè)，現(xiàn)從這7個(gè)企業(yè)中隨機(jī)抽取3個(gè)，用X表示抽取的3個(gè)為“專(zhuān)精特新”企業(yè)個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與期望．參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為．【答案】（1），69家（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）求出，，根據(jù)最小二乘法估計(jì)公式求得回歸方程的系數(shù)，即可求得答案，將代入回歸直線方程，即可預(yù)測(cè)2025年此地新增企業(yè)的數(shù)量；（2）由題意可得的可能取值為0，1，2，3，求出其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算求得X的分布列，進(jìn)而求得期望.【小問(wèn)1詳解】，，，，所以，，所以．2025年，即當(dāng)時(shí)，由經(jīng)驗(yàn)回歸方程可得，所以估計(jì)2025年此地新增企業(yè)的數(shù)量為69家；【小問(wèn)2詳解】由題意可知，的可能取值為0，1，2，3，因?yàn)?，，，．所以的分布列?123所以．17.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點(diǎn)．（1）求證：QN平面PAD；（2）記平面CMN與底面ABCD的交線為l，試判斷直線l與平面PBD的位置關(guān)系，并證明．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）l平面PBD，證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出QNAD，由此能證明QN平面PAD；（2）連接BD，則MNBD，從而MN平面ABCD，由線面平行的性質(zhì)得MNl，從而B(niǎo)Dl，由此能證明l平面PBD．【小問(wèn)1詳解】證明：∵底面ABCD是菱形，N，M，Q分別為PB，PD，PC的中點(diǎn)．∴QNBC，BCAD，∴QNAD，∵QN平面PAD，AD?平面PAD，∴QN平面PAD；【小問(wèn)2詳解】直線l與平面PBD平行，證明如下：∵M(jìn)，N分別為PD，PB的中點(diǎn)，∴MNBD，∵BD?平面ABCD，MN平面ABCD，∴MN平面ABCD，∵平面CMN與底面ABCD的交線為l，∴由線面平行的性質(zhì)得MNl，∵M(jìn)NBD，∴BDl，∵，且BD?平面PBD，平面PBD，∴l(xiāng)平面PBD．18.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，只需保證，求實(shí)數(shù)的值即可；（2）求得有兩個(gè)根“和”，再分、和三種情況分析函數(shù)的單調(diào)性即可.【小問(wèn)1詳解】由題可得，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線平行于軸，所以，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，得或．?dāng)時(shí)，隨的變化，，的變化情況如下表所示：?jiǎn)握{(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，隨的變化，，的變化情況如下表所示：?jiǎn)握{(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．19.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）若圓與直線交于兩點(diǎn)，（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）若在圓C上存在點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求值.【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）先設(shè)圓心坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離計(jì)算求參，即可得出圓的方程；（2）（?。└鶕?jù)圓心到直線的距離小于半徑得出范圍；（ⅱ）根據(jù)平行四邊形結(jié)合已知得出菱形，再應(yīng)用點(diǎn)到直線距離為1得出參數(shù).【小問(wèn)1詳解】根據(jù)圓心在直線上，設(shè)圓心.因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)，所以，