遼寧省名校聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期5月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）VIP

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期5月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.3 B. C.1 D.5【答案】A【解析】由，所以．故選：A．2.已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組，可得，所以，解得，即集合，所以集合的子集個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：C．3.已知向量滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，所以，又，所以，則，故．故選:D．4.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，且M在x軸上的射影為F，若，則C的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨設(shè)M在第一象限，則，則，即，所以．即，所以．則雙曲線C的漸近線方程為，故選：B．5.在正四棱柱中，分別是的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，則，所以.解法二：設(shè)，則，如圖所示，取的中點(diǎn)P，連接，在正方形中，可得，在三角形中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，可得，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成角，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得,在中，由余弦定理得．故選:D．6.已知定義在R上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】由為奇函數(shù)，得，所以圖象的對(duì)稱中心為，令由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，由得，所以，則的一個(gè)周期為4，則則．故選：B.7.甲、乙兩人玩擲骰子游戲，規(guī)則如下：每人各擲骰子兩次，以兩次骰子的點(diǎn)數(shù)之和作為投擲者的得分，若得分不同，得分多的一方獲勝，若得分相同視為平局，則甲獲勝的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】擲骰子一共4次，基本事件共種情況，其中，得兩分平局兩人拋出的都是；共有1種；得三分平均兩人均有兩種情況，兩人共種，以此類推，甲、乙平局一共有種情況，其余甲、乙獲勝機(jī)會(huì)均等，各575種情況，所以甲獲勝的概率為．故選：B8.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，則，即則，即．設(shè)，則在上單調(diào)遞增，又．所以，即，所以有，則，即，綜上，．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線與x軸、y軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.直線與圓C相離 B.的面積為12C.當(dāng)最小時(shí)， D.點(diǎn)P到直線距離的最大值為【答案】AC【解析】由圓，可得圓心為，半徑為，對(duì)于A中，圓心坐標(biāo)到直線的距離為，所以直線與圓相離，所以A正確；對(duì)于B中，由點(diǎn)C到直線的距離為，則的面積，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C中，如圖所示，當(dāng)最小時(shí)，直線與圓相切，此時(shí)，所以C正確；對(duì)于D中，由點(diǎn)P到直線距離的最大值為，所以D錯(cuò)誤．故選：AC.10.已知函數(shù)，若，且在上有且僅有三個(gè)極值點(diǎn)，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.在上單調(diào)遞增【答案】BC【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，由，得或，所以或，設(shè)，則又由有且僅有三個(gè)極值點(diǎn)，則，可得，所以，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確；由函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，當(dāng)時(shí)，可得是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，所以C項(xiàng)正確；令，解得，當(dāng)時(shí)，可得，所以是函數(shù)一個(gè)增區(qū)間，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC．11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則的最大值為C.若，則的最小值為1D.若，則的最大值為【答案】BCD【解析】由題意得，A項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），B項(xiàng)正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C項(xiàng)正確；，又因，所以，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，D項(xiàng)正確．故選:BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知具有線性相關(guān)的變量，設(shè)其樣本點(diǎn)為，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若，則_______．【答案】9【解析】由，可得，所以回歸直線過樣本中心點(diǎn)為，將其代入，可得.故答案為：.13.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則面積的最大值為_______．【答案】【解析】由利用正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，的面積，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，．故答案為：．14.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)（其中表示中較大的數(shù)）為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”．若為函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，則兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為_______．【答案】【解析】，在同一平面直角坐標(biāo)系畫出函數(shù)，的圖象，如圖所示：令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，成立，綜上可得．（2）解法一：，，，，．解法二：，設(shè)，所以即，所以，所以的前n項(xiàng)和．16.如圖，在四棱臺(tái)中，底面為正方形，為的中點(diǎn)，．（1）求證：；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）證明：連接，因?yàn)椋裕驗(yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以，因?yàn)?，所以．?）解：因?yàn)椋?，所以，又由?）知，且平面，所以平面，因?yàn)闉樗睦馀_(tái)，底面為正方形，四棱臺(tái)的上下底面對(duì)應(yīng)邊平行且比例相同，所以四邊形為正方形，上下面平行所以平面，.因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，，所以.所以且，所以四邊形為平行四邊形所以.又平面，所以平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，．設(shè)平面的法向量為，則令．設(shè)直線與平面所成角為，則，化簡得，即，所以．17.某農(nóng)業(yè)興趣小組為比較長效肥和緩釋肥這兩種肥料作用，進(jìn)行了一個(gè)季度的對(duì)比試驗(yàn)，長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的同一種植物分別對(duì)應(yīng)第組．分別從第組各隨機(jī)抽取20株并測(cè)出株高，得到的60個(gè)樣本數(shù)據(jù)分組整理如下表所示：株高（單位：厘米）第1組（長效肥）21062第2組（緩釋肥）3881第3組（未施肥）8561（1）從第一組20株植物中隨機(jī)抽取2株，求至少有一株株高在內(nèi)的概率；（2）為了進(jìn)一步研究，從這三組植物中各隨機(jī)抽取1株，記這3株植物中恰有X株的株高在內(nèi)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望（假設(shè)植物的生長情況相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率）；（3）已知這三組植物的平均株高分別為，株高的方差分別為，求樣本的平均數(shù)和方差．解：（1）設(shè)事件“從第一組20株植物中隨機(jī)抽取2株，至少有一株株高在”，則．（2）X的可能取值為，則，，，，的分布列為0123．（3）樣本平均數(shù)為，所以樣本的方差為，又，類似的，，成立，所以.所以樣本的平均數(shù)為9.3，方差為6.83.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）證明：．（1）解：的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則的零點(diǎn)為1．（2）解：恒成立，即．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，所以上單調(diào)遞增，所以，即．則實(shí)數(shù)的取值范圍為（3）證明：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，有成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，取，則，所以，即．由，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，取，得，所以，即．綜上，19.已知橢圓分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過橢圓上的一點(diǎn)M（異于點(diǎn)）且斜率為2的直線與直線交于點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N．（1）求橢圓的方程；（2）若M在第一象限，求四邊形面積的最大值；（3）證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)．（1）求解：由已知可得，所以橢圓的方程為．（2）解法一：因?yàn)?，，所以，即，因?yàn)?，即關(guān)于直線對(duì)稱，所以四邊形的面積，即，且為M到直線的距離，因?yàn)?，所以的最大值即為點(diǎn)M到直線的距離的最大值．直線的方程為，設(shè)，則M到直線的距離為，，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，．解法二：因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋搓P(guān)于直線對(duì)稱，所以四邊形的面積，即，且為M到直線的距離，因?yàn)?，所以的最大值即為點(diǎn)M到直線的距離的最大值．直線的方程為，若點(diǎn)M到直線的距離最大，即過點(diǎn)M作橢圓C的切線與直線平行時(shí)距離最大，設(shè)該切線方程為，聯(lián)立，，因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限內(nèi)，所以（正值舍去），所以點(diǎn)M到直線的距離的最大值為，，當(dāng)時(shí)，．（3）證明：解法一：設(shè)直線的方程為，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則又，且，所以，，即．聯(lián)立，所以所以，化簡得，即，則或．若，則點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，不符合題意（舍）；若，則直線過定點(diǎn)．解法二：因?yàn)榍?，不妨取點(diǎn)M在第一象限，所以為的平分線，所以，設(shè)直線的斜率分別為，因?yàn)?，所以，即，所以，即．?jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M在第二、三、四象限或，上式也成立．聯(lián)立整理得，因?yàn)榍?，所以，所以，同理可得，由已知可得直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，因?yàn)樵谥本€上，所以，所以，同理可得，所以是關(guān)