遼寧省名校聯(lián)盟2025年高考模擬卷（信息卷）高三數(shù)學(xué)試題（五）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)盟2025年高考模擬卷（信息卷）高三數(shù)學(xué)試題（五）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“”的否定是（）A.B.C.D.以上說(shuō)法均錯(cuò)誤【答案】B【解析】的否定為：，故選：B2.已知為純虛數(shù)，記構(gòu)成的集合為，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，設(shè)，則有，，，所以.故選：C.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，①由，得，代入①，解得，所以，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所?故選：A.4.如圖，分別是正八面體（8個(gè)面均為正三角形）棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由正八面體結(jié)構(gòu)特征知，，若正八面體的棱長(zhǎng)為2，且各側(cè)面都是正三角形，為正方形，所以，，同理得，所以，異面直線與所成角的余弦值為.故選：C5.設(shè)點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.4 C. D.【答案】D【解析】由，則，如下圖示，令且，則，，，，，，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值為.故選：D6.某省參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生中物理組合占，歷史組合占，假定歷史組合參賽學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為，物理組合參賽學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為，現(xiàn)從全部參賽學(xué)生中抽取3名，已知這3名學(xué)生均獲獎(jiǎng)，則這3名學(xué)生中既有物理組合學(xué)生又有歷史組合學(xué)生的概率為（）A B. C. D.【答案】B【解析】令事件表示“參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生是物理組合”，令事件表示“參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生是歷史組合”，令事件表示“獲獎(jiǎng)”，則有，根據(jù)全概率公式有，令事件表示“3人均獲獎(jiǎng)”，則，令事件表示“這3人全是物理”，則，令事件表示“這3人全是歷史”，則，令事件表示“這3人既有物理又有歷史”，則，根據(jù)條件概率公式有.故選：B.7.已知是橢圓的左焦點(diǎn)，分別是的右、上頂點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且和是全等的三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的離心率的平方為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，因?yàn)楹褪侨鹊娜切?，所以，即，又由橢圓結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，所以，所以，，則，所以由，令，則或（舍去）.所以的離心率的平方為.故選：A8.當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，，即在時(shí)恒成立，令，則，令得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若，則下列說(shuō)法正確是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，由有，對(duì)于A：由，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B：由，當(dāng)時(shí)，，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，可知在上單調(diào)遞增，由有，故C正確；對(duì)于D：令，則，由有，有，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.“早潮才落晚潮來(lái)，一月周流六十回”，潮汐現(xiàn)象是海水受日月的引力而引起的周期性漲落現(xiàn)象，觀察發(fā)現(xiàn)某港口的潮汐漲落規(guī)律為（其中（單位）為港口水深，（單位）為時(shí)間，）.若某輪船當(dāng)水深大于時(shí)可以進(jìn)出港口，根據(jù)表格中的觀測(cè)數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）時(shí)間1471013161922水深1112.51412.51112.51412.5A.B.C.該輪船9點(diǎn)可以進(jìn)出港口D.該輪船從0點(diǎn)到12點(diǎn)，在港口可停留的時(shí)間最長(zhǎng)不超過(guò)4小時(shí)【答案】BC【解析】對(duì)于A，由表格數(shù)據(jù)可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由表格數(shù)據(jù)可得，解得，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以，即，又因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，由，得，由得，即，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)榈迷撦喆瑥?點(diǎn)到12點(diǎn)，在港口可停留的時(shí)間最長(zhǎng)超過(guò)4小時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.平面內(nèi)到定點(diǎn)、軸、軸的距離之和等于4的點(diǎn)的軌跡是如圖所示的曲線，它由4部分組成，每部分都是雙曲線上的一段，設(shè)是該曲線上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.當(dāng)都是整數(shù)時(shí)，稱為格點(diǎn)，則上有2個(gè)格點(diǎn)C.的最大值為D.在第一象限對(duì)應(yīng)的雙曲線的離心率為【答案】ACD【解析】由題意，則，整理得，當(dāng)時(shí)，有，則，當(dāng)，則，當(dāng)，則，結(jié)合題圖知，A對(duì)；由方程，顯然都在曲線上，至少有4個(gè)格點(diǎn)，B錯(cuò)；要使最大，則必在第一象限，此時(shí)，所以，令，則，所以，故，所以，故的最大值為，（注意，則不成立），C對(duì)；在第一象限對(duì)應(yīng)雙曲線為，即，所以，是由平移得到，而軸為雙曲線的漸近線，則為實(shí)軸，為虛軸，所以對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)雙曲線的漸近線為，即，故離心率，D對(duì).故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】由，所以，只需求展開(kāi)式中的的系數(shù)，即.故答案為：.13.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，成等比數(shù)列，等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為正整數(shù)，均不是常數(shù)列，若是整數(shù)，則__________.【答案】【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，則有，即，則，則，等比數(shù)列中，首項(xiàng)為，公比為正整數(shù)，則，又是整數(shù)，則是整數(shù)，又由為正整數(shù)，則的值為.且不是常數(shù)列則的值為.故答案為：14.如圖，在中，，點(diǎn)在以為直徑的半圓（外）內(nèi)及邊界上運(yùn)動(dòng)，若，記的最大值與最小值分別為，則__________.【答案】【解析】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，設(shè)為的中點(diǎn)，即點(diǎn)為以為直徑的半圓的圓心，則，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，由三點(diǎn)共線可得，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，最小，即，做直線與平行，且與半圓相切，連接點(diǎn)與切點(diǎn)，此時(shí)最大，即由三點(diǎn)共線知點(diǎn)在直線上時(shí)，最大，設(shè)直線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接，則，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以為半圓的一條切線，所以，由得，可得為等邊三角形，，所以，由得，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，，設(shè)，則，由得，，可得，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，可得，所以的最大值為，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求證：；（2）若，求面積的最大值.（1）證明：因?yàn)?，所以即，則由余弦定理得，整理得即.（2）解：若，則由（1）得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又由余弦定理得，所以面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為.16.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解：（1），所以當(dāng)時(shí)，，且，，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以；（2）由（1），所以則，所以，，所以，，所以.17.如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，上、下底面半徑分別為2，4，圓臺(tái)母線與底面所成角為是下底面圓周上一點(diǎn)（異于點(diǎn)）.（1）已知，若線段上存在一點(diǎn)，使得平面，試確定點(diǎn)的位置，并求直線與平面的距離；（2）若平面與平面的夾角為，求.解：（1）取中點(diǎn)為P，連接，則由題意可得，由題意可知且，所以四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面，所以P為中點(diǎn)；由上可知直線與平面的距離即為點(diǎn)O到平面的距離，設(shè)為，由題意圓臺(tái)母線長(zhǎng)為，，如圖，取中點(diǎn)D，以O(shè)為原點(diǎn)，分別為建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則此時(shí)，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，所以.（2）空間直角坐標(biāo)系中，，設(shè)，且或，則由圓臺(tái)結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知是平面的一個(gè)法向量，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，所以，取，則，則，化簡(jiǎn)得，所以，解得，所以，所以.18.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，離心率為，直線與的左支交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).（1）求的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積分別為，若，求的方程；（3）若上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)可以作的兩條切線，且兩條切線互相垂直，求的取值范圍.解：（1）由題設(shè)且，，則，所以；（2）由恒過(guò)，即，若且，故，又，所以，則，聯(lián)立與，則，所以，，則，且，所以，且，可得，則（負(fù)值舍），綜上，直線，即；（3）由題設(shè)，易知兩條切線的斜率一定存在，設(shè)切線為，聯(lián)立，可得，所以，則，得，則切線為，而在切線上，則，所以，則，若為過(guò)點(diǎn)的兩條切線的斜率，根據(jù)垂直關(guān)系有，所以，根據(jù)點(diǎn)的存在性知，所以，可得.19.隨著時(shí)代的進(jìn)步、科技的發(fā)展，“網(wǎng)購(gòu)”已發(fā)展成為一種新的購(gòu)物潮流，足不出戶就可以在網(wǎng)上買(mǎi)到自己想要的東西.某網(wǎng)店為了解網(wǎng)民在該網(wǎng)店的購(gòu)物情況，從某天交易成功的所有訂單中隨機(jī)抽取了100份，按購(gòu)物金額（單位：千元）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將其分成以下六組：，得到如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（1）若該網(wǎng)店平均每天有100個(gè)訂單，試計(jì)算樣本平均數(shù)與中位數(shù)，并估計(jì)該網(wǎng)店一年的總銷(xiāo)售額（一年按365天計(jì)算）；（2）2024年“雙十一”期間，該網(wǎng)店在兩件暢銷(xiāo)商品的頁(yè)面均設(shè)置了一個(gè)“限時(shí)搶紅包”的環(huán)節(jié)，每人在每個(gè)頁(yè)面最多只能搶到一個(gè)紅包，其中每個(gè)紅包由百元現(xiàn)金券組成，該現(xiàn)金券可以在購(gòu)物時(shí)直接抵減相