內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市2025屆高考三模數(shù)學(xué)試題（解析版）VIP

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市2025屆高考三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，，所以.故選：C.2.某中學(xué)有高中生1000人，初中生3000人.為了解學(xué)生的身心發(fā)展情況，按比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為80的樣本，則抽中的高中生人數(shù)為（）A.5 B.10 C.20 D.30【答案】C【解析】分層抽樣的抽取比例為，所以從高中生中抽取的人數(shù)為.故選：C．3.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．故選：B.4.已知向量,滿足，，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，解得．故選：A.5.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由是偶函數(shù)，則，，即，，則時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，則的最小值是.故選：A.6.已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，則，整理得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，從而可得，故選：D.7.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，且．因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且．由，可得或，解得或．即的解集為.故選：B8.已知正方體的棱長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)A為球心，為半徑的球的球面與正方體的表面的交線總長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，則表面上的點(diǎn)到點(diǎn)A的最大距離為，所以以頂點(diǎn)A為球心，為半徑的球的球面與這三個(gè)表面沒有公共點(diǎn)．如圖，若球面與表面的公共點(diǎn)為P，因?yàn)?，則，由，可得，同理可得，則，可知P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心，2為半徑的圓與表面的交線都是圓心角為，半徑為2的圓弧，同理可得球面與表面的交線也都是圓心角為，半徑為2的圓弧，所以交線總長(zhǎng)為．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)?，則，．為純虛數(shù)的是，，.故選：BCD．10.已知函數(shù)(且，則下列結(jié)論正確的是（）A若，則B.若，則的值域?yàn)镃.若，則在上單調(diào)遞增D.若，則在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的值域?yàn)?，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BCD11.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P在直線上的射影為點(diǎn)Q，且．記P的軌跡為曲線C，則下列結(jié)論正確的是（）A.C關(guān)于直線l對(duì)稱B.C上存在點(diǎn)，使得C.的最小值為D.若C與兩條坐標(biāo)箱的正半軸所圍成的面積為S，則【答案】ABD【解析】設(shè)，則．由，得，即．關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)為，也滿足方程，故C關(guān)于直線l對(duì)稱，A正確．顯然點(diǎn)在C上，且滿足，B正確．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，整理得，從而，C不正確．記C在第一象限內(nèi)的部分為曲線D，設(shè)為D上任意一點(diǎn)，則，由，得，即，故點(diǎn)B在直線的上方或在的下方（不重合），從而．假設(shè)，則由，可得，則，則，則，這與假設(shè)矛盾，故D在直線的上方，從而，故，D正確．故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的離心率為，則_____________．【答案】3【解析】由雙曲線，得，所以雙曲線C的離心率為，所以，解得故答案為：.13.4名醫(yī)生和2名護(hù)士站成一排，要求2名護(hù)士不相鄰，且醫(yī)生甲不站在隊(duì)伍的最左端，則不同的站法共有_____________種．【答案】408【解析】若醫(yī)生甲不站在醫(yī)生的最左端則有種不同的站法，若醫(yī)生甲站在醫(yī)生的最左端，則有種不同的站法，故不同的站法共有種．故答案為：408.14.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，點(diǎn)D在邊BC上，且.則的取值范圍是________.【答案】【解析】由題可設(shè)，因?yàn)?，所以，所以由余弦定理有，，所以，再由得，設(shè)，則，所以即，所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，，平面.（1）證明：；（2）求平面PAB與平面PCD所成角的正弦值.（1）證明：過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫?，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，則，所以，即.（2）解：由（1）知，，設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則，取，得，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，則，取，得，設(shè)平面PAB與平面PCD所成角為，則，則，即平面PAB與平面PCD所成角的正弦值為.16.為了增強(qiáng)學(xué)生的法律意識(shí)，某學(xué)校組織了一場(chǎng)法律知識(shí)測(cè)試，測(cè)試共有A，B兩個(gè)試題題庫(kù)，學(xué)生先從這兩個(gè)題庫(kù)中任選一個(gè)，再?gòu)脑擃}庫(kù)中任選一道試題作答.若答錯(cuò)該試題，學(xué)生測(cè)試結(jié)束：若答對(duì)該試題，則再?gòu)牧硗庖粋€(gè)題庫(kù)中任選一道試題作答，無論答對(duì)與否，學(xué)生測(cè)試結(jié)束.已知學(xué)生甲答對(duì)A題庫(kù)中的每道試題的概率均為答對(duì)B題庫(kù)中的每道試題的概率均為（1）求學(xué)生甲只作答了一道試題的概率；（2）若答對(duì)A題庫(kù)中的試題，可以獲得20個(gè)積分，若答對(duì)B題庫(kù)中的試題，可以獲得10解：（1）學(xué)生甲只作答了一道試題的情況有兩種：選中A題庫(kù)并答錯(cuò)和選中B題庫(kù)并答錯(cuò)，所以學(xué)生甲只作答了一道試題的概率為.（2）由題，，，，，所以X

的分布列為X0102030P所以X

的期望為.17.已知函數(shù)（1）若，求的極值;（2）討論的單調(diào)性.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，即，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，所以時(shí)，有極大值，且極大值為，無極小值.（2）函數(shù)定義域?yàn)?，且，令，解得或，令，即，解得，?dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是圓上一點(diǎn)，線段與C交于點(diǎn)Q，且．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為N，C的左頂點(diǎn)為D．（i）求面積的最大值；（ii）若的外心為M，直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．解：（1）由，整理得，則該圓是以為圓心，6為半徑的圓．因?yàn)镻是圓上一點(diǎn)，線段與C交于點(diǎn)Q，且，所以，即，解得．由題可知，則，故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）（i）當(dāng)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，重合，此時(shí)不存在，不合要求，當(dāng)點(diǎn)的直線斜率為0時(shí)，重合，此時(shí)不存在，不合要求，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為．聯(lián)立整理得，則，則線段的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為．設(shè)的面積為S，則．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即面積的最大值為．（ii）為定值9，理由如下：設(shè)，顯然為外接圓圓心，故可設(shè)外接圓的方程為．因?yàn)樵谕饨訄A上，所以，故，故外接圓的方程為．聯(lián)立，整理得，則．因?yàn)?，故，解得．故，為定值?9.已知，若正項(xiàng)數(shù)列滿足，則稱為“上界m數(shù)列”．（1）若，判斷數(shù)列是否為“上界1數(shù)列”，并說明理由；（2）若數(shù)列是“上界m數(shù)列”，求m的最小值；（3）若，且．證明：數(shù)列是“