第11講導數(shù)研究函數(shù)含參數(shù)單調(diào)性5種題型總結(jié)VIP

第11講導數(shù)研究函數(shù)含參數(shù)單調(diào)性5種題型總結(jié)【考點分析】考點一：含參數(shù)單調(diào)性討論①先求函數(shù)定義域；②求導，化簡，通分，分解因式；③系數(shù)有未知數(shù)，先考慮系數(shù)的情況；再考慮情況，求出的根，判斷根與定義域，及根的大小關(guān)系，穿針引線，判斷導函數(shù)正負，進而判斷單調(diào)性；④若不能分解因式，若分子為二次函數(shù)則考慮討論判別式，若不是二次函數(shù)可以考慮二次求導【題型目錄】題型一：導函數(shù)為一次函數(shù)型題型二：導函數(shù)為準一次函數(shù)型題型三：導函數(shù)為二次可分解因式型題型四：導函數(shù)為二次不可因式分解型題型五：導函數(shù)為準二次函數(shù)型【典型例題】題型一：導函數(shù)為一次函數(shù)型【例1】（2022·江蘇·南京市秦淮中學高三階段練習）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）對函數(shù)求導，分及兩種情況，討論導函數(shù)與的關(guān)系，即可得出單調(diào)性的情況；（1）因為，當時，對任意的恒成立，當時，令，得令得綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【例2】（2022·安徽·歙縣教研室高二期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，分和兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】（1）解：由知定義域為，且①時，在上，故在上單調(diào)遞增；②時，當時，時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【例3】（2022·湖南·株洲市南方中學高三階段練習）設(shè)m為實數(shù)，函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【分析】(1)先對求導，根據(jù)m≥0和m＜0進行分類討論，通過導數(shù)的正負以確定函數(shù)的單調(diào)性；（1），函數(shù)定義域為，，當時，在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增；，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞減．【例4】（2022·江西·二模（文））己知函數(shù)，討論的單調(diào)性?！窘馕觥?，①當時，恒成立，在上單調(diào)遞增②當時，令得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；【題型專練】1．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學高三開學考試（理））已知函數(shù)，．(1)求的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）利用導數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及對參數(shù)進行討論即可求解；（1）因為，所以，若，則當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；若，則當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．2.（2023河南·高三開學考試（文））已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞；當時，數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；【分析】（1）對函數(shù)求導，討論和兩種情況，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】（1）由題知函數(shù)的定義域為，①當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞；②當時，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；綜上，當時，在上單調(diào)遞；當時，數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；3.（2022·廣東·模擬預測）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性?！窘馕觥俊撸á瘢┊敃r，在上單調(diào)遞增，（Ⅱ）當時，令，則，令，則，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減4.（2022·遼寧營口·高二期末）已知函數(shù)（其中a為參數(shù)）．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，然后對分類求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1），，當時，，在單調(diào)遞增，當時，令，得，時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；綜上：時，在上遞增，無減區(qū)間，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；題型二：導函數(shù)為準一次函數(shù)型【例1】（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三階段練習）已知為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)詳見解析；【分析】（1）由題可得函數(shù)的導數(shù)，然后分，討論即得；（1）由題可得，當時，，當時，；所以當時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；【例2】已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】【分析】對求導，結(jié)合函數(shù)定義域，討論、時的符號，確定的單調(diào)區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為，且.①當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；②當時，令，可得；令，可得，此時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；【例3】（2022·河南·高三階段練習（文））已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）分和兩種情況討論求解即可；（1）解：函數(shù)的定義域為，①當，即時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；②當，即時，由得；由得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【例4】（2022·河南安陽·高二期末（文））已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)見解析【分析】（1）對函數(shù)求導后，分和兩種情況討論導數(shù)的正負，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，(1)，．當時，，單調(diào)遞增．當時，令，得，令，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【題型專練】1．（2022·湖北孝感·高三階段練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)當時，為上的單調(diào)遞增函數(shù)；當時，在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù).【分析】（1）求導，分類討論，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得的單調(diào)區(qū)間；（1）解：函數(shù)，定義域為，求導得．①當時，，則函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù)．②當時，令，則．若，則，在上是單調(diào)減函數(shù)；若，則，在上是單調(diào)增函數(shù)．綜上：當時，為上的單調(diào)遞增函數(shù)；當時，在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù).2.（2022·江蘇·華羅庚中學三模）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】函數(shù)的定義域為，，①當時，對任意的，，此時函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；②當時，由可得，由可得，此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；綜上所述，當時，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；3.設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間．【答案】答案見解析【解析】【分析】利用導數(shù)判斷單調(diào)性，分成和兩種情況討論.【詳解】的定義域為，．若，則，所以在上單調(diào)遞增．若，則當時，；當時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．4.（2022·云南師大附中高三階段練習（文））已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域為，．令，解得，則有當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．5．（2022·山東·招遠市第二中學高三階段練習）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)答案見解析．【分析】（1）求出導函數(shù)，分類討論確定的正負，得單調(diào)區(qū)間；（1），時，恒成立，在是單調(diào)遞增，增區(qū)間為，時，時，，時，，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；題型三：導函數(shù)為二次可分解因式型【例1】（2022·全國·高三階段練習）已知函數(shù)．(1)試討論的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)見解析；【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，就、分類討論后可得函數(shù)的單調(diào)性；（1），，當時，，故在上為增函數(shù)，當時，若，則，若，則，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).【例2】（2022·陜西·寶雞中學模擬預測（文））已知函數(shù)(1)當時，求在點處的切線方程；(2)當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】(1)解：當時，，所以，所以，，故在點處的切線方程是，即；(2)解：因為定義域為，所以，因為，當，即當時，由，解得或，當時，恒成立，當，即當時，由，解得或，綜上，當時，的遞增區(qū)間是，，當時，的遞增區(qū)間是，當時，的遞增區(qū)間是，；【例3】（2022·河南·扶溝縣第二高中高三階段練習（理））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)見解析【分析】（1）利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）將不等式等價轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)討論最值即可求解.（1）由題可知函數(shù)的定義域為，，即，(i)若，則在定義域上恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；(ii)若，令，即，解得,令，即，解得,所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.綜上，時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.【例4】（2021·江蘇省灌南高級中學高三階段練習）已知，R．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)分類討論見解析【分析】（1）求導，分，兩種情況討論導函數(shù)正負，即得解；（1）由題意得的定義域為，，①時，，在內(nèi)單調(diào)遞減，②時，令得或（舍）當，單調(diào)遞減當，，單調(diào)遞增．【例5】（2022·貴州·盤州市聚道高中有限責任公司高三階段練習（文））已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.【答案】(1)見解析【分析】（1）函數(shù)的定義域為，，時，時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；時，，，此時函數(shù)在單調(diào)遞增；時，時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減．時，時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減．綜上，當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減.【題型專練】1．（2022·浙江·高二期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析；【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分類討論a的取值，確定函數(shù)的單調(diào)性；（1）由可得，當時，即，，單調(diào)遞增；當時，即，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；當時，即，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；2.（2022·貴州·高三階段練習（理））設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若直線是曲線的切線，求a的值.【答案】(1)見解析，(2)【分析】（1）先求函數(shù)的定義域與導數(shù)，在分與討論即可求解；（2）設(shè)直線是曲線的切點為，由導數(shù)的幾何意義求解即可（1）因為的定義域為，，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；綜上可知：時函數(shù)的遞增區(qū)間為；時函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）設(shè)直線是曲線的切點為，則，即，又因為，所以，令，則在上恒成立，當在遞增，故在只有一個零點，又，所以，所以，即【點睛】用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：（1）在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；（2）不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；（3）利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3．（2022·陜西·安康市教學研究室高三階段練習（理））已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）對求導，然后分和兩種情況討論即可；（1）函數(shù)的定義域為，所以.當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，令得，令得，所以在上單調(diào)遞減：在上單調(diào)遞增.綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.4.（2022·天津·二模）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】(1)當時，

，故切線方程為：(2)，①當時，，僅有單調(diào)遞增區(qū)間，其為：②當時，，當時，；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：③當時，，當時；當時的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：綜上所述：當時，僅有單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：5.（2022·浙江省江山中學模擬預測）函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】函數(shù)，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，此時單調(diào)遞減，令，此時單調(diào)遞增.綜上可得：當時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.6.設(shè)函數(shù)，其中．討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析【解析】【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，分，兩種情況討論，根據(jù)導函數(shù)的符號，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】解：當時，，在內(nèi)單調(diào)遞減.當時，由，有.此時，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.綜上：當時，在內(nèi)單調(diào)遞減，當時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.題型四：導函數(shù)為二次不可因式分解型【例1】（2022·廣東·鹽田高中高三階段練習）已知(1)討論的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)當時，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；當時，的增區(qū)間為【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，然后分和兩大類，討論在上的正負性，即可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（1）解：函數(shù)的定義域為：令，即則①當時，即，此時恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當時，即的兩個根為，且當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增；③當時，即的兩個根為，且此時恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；綜上：當時，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；當時，的增區(qū)間為.【例2】（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學研究室二模（文））已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）利用導數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合，則，同時注意定義域?qū)ΩM行取舍；（2）根據(jù)題意，分和兩種情況討論處理．【解析】(1)，令，得．因為，則，即原方程有兩根設(shè)為，所以（舍去），．則當時，，當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．【例3】（2022·福建泉州·模擬預測）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)當時，在上單調(diào)遞增；當或時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.【分析】（1）由題意，求導，根據(jù)含參二次函數(shù)的性質(zhì)，由判別式進行分類討論，可得答案；（1）由，求導得，易知恒成立，故看的正負，即由判別式進行判斷，①當時，即，，則在上單調(diào)遞增；②當時，即或，令時，解得或，當時，，則在上單調(diào)遞減；當或，，則在和上單調(diào)遞增；綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當或時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.【例4】已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【答案】答案見解析【解析】【分析】利用導數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合，則，同時注意定義域?qū)ΩM行取舍；，令，得．因為，則，即原方程有兩根設(shè)為，所以（舍去），．則當時，，當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．【題型專練】1.（2022·江蘇徐州·模擬預測）已知函數(shù)，函數(shù)的導函數(shù)為．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】由得，函數(shù)的定義域為，且，令，即，①當，即時，恒成立，在單調(diào)遞增；②當，即時，令，當時，，的解或，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，，同理在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．2．（2022·福建·福州三中高二期末）設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)見解析【分析】（1）對求導，分類討論，和，即可得出的單調(diào)區(qū)間.（1）的定義域為，，令，，①當時，，所以在上單調(diào)遞減，②當時，，所以在上單調(diào)遞減，③當時，令，則，且，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：，的單調(diào)減區(qū)間為，，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.3.（2022·天津南開·三模）已知函數(shù)，記的導函數(shù)為討論的單調(diào)性；【解析】解：由已知可得，故可得．當時，，故在單調(diào)遞增；當時，由，解得，或，記，，則可知當變化時，的變化情況如下表：00極大值極小值所以，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增．4.已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】，令，其對稱軸為，令，則.當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，對稱軸為，若，即，恒成立，所以，所以在上單調(diào)遞增；若時，設(shè)的兩根，，當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，當時，，所以，所以在上單調(diào)遞減，當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；若時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；題型五：導函數(shù)為準二次函數(shù)型【例1】（2022·北京朝陽·高三階段練習）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【分析】（1）求出導函數(shù)，然后分類討論，按分類，確定導函數(shù)的正負得單調(diào)性；（2）由（1）可得的最小值，設(shè)其為，再利用導數(shù)求得的最小值即可證．（1）函數(shù)定義域為，．①若．令．解得．當時．．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時．．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為②若．令．解得．當時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；當時．．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．【例2】（2022·安徽·合肥市第八中學模擬預測（理））設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性?！窘馕觥坑深}，①當時，，令則，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；②當時，令則，：當，即時，在當和時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當，即時，，單調(diào)遞增；當，即時，在當和時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【例3】（2022·江蘇江蘇·高三階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；【答案】(1)(2)當時，在上單調(diào)遞減

當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．【分析】（1）先求出，在利用導函數(shù)求出，即為曲線在點處的切線斜率，再利用點斜式即可求出切線方程.（2）先對求導，化簡，再分兩個方面來討論的正負，進而得到的單調(diào)性.（1）當時，，則所以曲線在點處的切線方程為：即．

故答案為：（2）的定義域為，（?。┤簦瑒t，所以在上單調(diào)遞減

（ⅱ）若，則由得.當時，；當時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

故當時，在上單調(diào)遞減

當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．【例4】（2022·全國·二模（理））已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】設(shè)．當時，則，在R上單調(diào)遞增，當時，令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增．綜上，當時，在R上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【題型專練】1．（2022·山東·鄒城市兗礦第一中學高三階段練習）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)