【數(shù)學(xué)】簡單的軸對稱圖形利用軸對稱性質(zhì)解決線段和差問題課件 2024-2025學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊VIP

利用軸對稱性質(zhì)解決線段和差問題將軍飲馬模型如圖，將軍從點(diǎn)A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，將軍到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

抽象成作圖問題：在直線l上求作一點(diǎn)P，使AP+BP最短問題.模型一：一定直線，異側(cè)兩定點(diǎn)AB數(shù)學(xué)問題

Al

BP

l問題1

現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),如何在l上找到一個(gè)

點(diǎn),使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A,點(diǎn)B的距離的和最短？根據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”.連接AB,與直線l相交于一點(diǎn)P.模型一：一定直線，異側(cè)兩定點(diǎn)

Al

BP

l

B

A問題3

如果點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決？利用軸對稱，作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′.模型二：一定直線，同側(cè)兩定點(diǎn)P

ABl

抽象成A′P

（2）連接A′B，與直線l相交于點(diǎn)P．作法（1）作點(diǎn)A

關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′；則點(diǎn)P即為所求．lP

A'能不能作出B點(diǎn)的對稱點(diǎn)B',連接AB'，與l還交于P點(diǎn)嗎？

B'

B

A模型二：一定直線，同側(cè)兩定點(diǎn)問題

你能用所學(xué)的知識證明AP+BP最短嗎？l

A

P'P

B

A'證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)P′(與點(diǎn)P

不重合)連接AP′，BP′，A′P′．由垂直平分線的性質(zhì)知:AP=A′P，AP′=A′P′∴AP+BP=A'P+BP=A′B

AP′+BP′=A′P′+BP′在△A′BP′中，A′B＜A′P′+BP′∴AP+BP＜AP′+BP′即:AP+BP

最短lP

A'

B

A同側(cè)轉(zhuǎn)化異側(cè)兩定點(diǎn)在同側(cè)實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題通過軸對稱把同側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)為異側(cè)點(diǎn)利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定所求位置兩定點(diǎn)在異側(cè)

Al

BP

問題2

如圖，在直線AB上找一點(diǎn)P，使得的值最大CDABP問題4

如圖，在直線L上找一點(diǎn)P，使得的值最大ABA1PQ1EM1模型三：二定直線，一定點(diǎn)點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM，ON上作點(diǎn)A，B，使△PAB的周長最小.MNO

A

B

P2

P1

PABO

P2

P1

P

A'

B'練習(xí)3：如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10．在OA上有點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R．若△PQR周長最小，則最小周長是？ABO

P

P1

P2

Q

R練習(xí)4：如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，△PMN

周長最小值是5cm，∠AOB的度數(shù)為？P1MN模型四：二定直線，二定點(diǎn)如圖，點(diǎn)M，N為∠AOB內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OA，OB上取點(diǎn)E，F(xiàn).使四邊形EFMN的周長最小.ABO

N1

M1

E

F

M

N綜合練習(xí)1.如圖，在中，AB=6，AC=8，EF是BC邊的垂直平分線，P是直線EF上任意一點(diǎn)，連接PA，PB，求周長的最小值。B1P12.如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，

AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為

.ABCEFDE'

F'5方法總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準(zhǔn)對稱點(diǎn)是關(guān)鍵，而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長，而再根據(jù)已知條件求解.

F'3.已知點(diǎn)P在∠MON內(nèi).（1）如圖1，點(diǎn)P關(guān)于射線OM的對稱點(diǎn)是G，點(diǎn)P關(guān)于射線ON的對稱點(diǎn)是H，連接OG，OH，OP.①若∠MON=50，則∠GOH=______.②若PO=5，連接GH，當(dāng)∠MON為多少度時(shí)，GH=10？請說明理由（2）如圖2，若∠MON=60，A，B分別是射線OM，ON上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長最小時(shí)，求∠APB的度數(shù).4.如圖，在ABC中，ABC=40，BD平分