1.2平面曲線的曲率ppt課件

1、YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率1s對于不同的曲線對于不同的曲線, 其彎曲程度一般不同其彎曲程度一般不同. 例如：例如：ABBA12.ABA BssAB2B A一、曲率的定義一、曲率的定義 YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率AABBoss.ss相同 曲線的彎曲程度與其切線方向變化的夾角 的大小及其弧長 有關(guān).s結(jié)論：結(jié)論：YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率yxoA將將sKBs任意弧段任意弧段 AB = = R ， 有有s1.KsRR稱為曲線段稱為曲線段 AB 的平均曲率，它的平均曲率，它刻畫了一段

2、曲線的平均彎曲程度刻畫了一段曲線的平均彎曲程度. OABR 對于半徑為R的圓，YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率, 0sK對于直線對于直線, 其切線方向不變其切線方向不變, 即即 , 有有00lim.sdKdss 其中其中 為點為點A及其鄰點及其鄰點B之間弧長之間弧長, 為為AB上切線上切線方向變化的角度方向變化的角度. 曲率刻畫了曲線在一點的彎曲程度曲率刻畫了曲線在一點的彎曲程度.s.故“直線不曲”YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率x yox),(yyxxNxx),(yxMAyxsM如圖，設(shè)曲線的弧長如圖，設(shè)曲線的弧長s 由點由

3、點 A 起算起算. 任取任取MN = ，有，有由此由此s222,MNxy .122xyxMN當當 充分小時，在一些假定之下充分小時，在一些假定之下( 如曲線有連續(xù)導(dǎo)數(shù)如曲線有連續(xù)導(dǎo)數(shù) )，x二、弧長的微分二、弧長的微分dsYunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率，得，再令代替，用0 xMNMNMNMN,)(1)(22dxdydxds從而即得從而即得 弧長微分的公式弧長微分的公式21,dsy dx 或或22222.dsdxdydsdxdy , YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率連續(xù)，則在，弧的方程為,)()(baxfbxaxfy21( )

4、.dsfx dx ，則連續(xù)，且不全為在與，弧的方程為0,)()()()(ttttytx22( )( ).dstt dt 則連續(xù)在極坐標方程弧的方程為,)(),)()(22.( )( )dsd 關(guān)于關(guān)于 的具體表示式：的具體表示式：dsYunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率三、曲率的計算三、曲率的計算先計算先計算 , 考慮曲線考慮曲線 在在 M 點的切線點的切線, 有有 d,tany.arctan.yei兩邊求微分，得兩邊求微分，得.1122dxyyyydd ddsdKds把和代入中得曲率的計算公式：322.(1)yKy)(xfy YunnanUniversity4.

5、 平面曲線的曲率平面曲線的曲率( ),( ),xtyt參數(shù)方程3222( ),( )()ttK ( ), 極坐標方程223222, ( ).2()K YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率四、曲率半徑與曲率圓四、曲率半徑與曲率圓對半徑為對半徑為 R 的圓的圓,.1,1KRRKDef : 曲線上一點的曲率的倒數(shù)稱為曲線在該曲線上一點的曲率的倒數(shù)稱為曲線在該點的點的 曲率半徑，記作曲率半徑，記作1.KAAoYunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率曲率圓與曲線在曲率圓與曲線在A A點具有以下關(guān)系點具有以下關(guān)系: : 有共同的切線，即圓與曲線在點有

6、共同的切線，即圓與曲線在點 A 相切；相切； 有相同的曲率；有相同的曲率； 圓和曲線在點圓和曲線在點 A 具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù). yy ,YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率例例1. 求拋物線求拋物線 上任一點處的曲率和曲率半徑上任一點處的曲率和曲率半徑.2xy 解：解：.2,2 yxymaxmin1(0,0),2,.2K在點(|),x自原點逐漸上升 增大,)41(22/32xK2xy 隨著曲線.2)41(12/32xK.逐漸增大逐漸減小，KxyO1O2O2yxAYunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率,41)

7、0()0(2min2020yx故處又在, 2, 0,)0 , 0( yy法線： x = 0 .切線：y = 0 ,000(,),0,xyx 而圓心在法線上 故.41)21(22 yx點處的曲率圓方程：在于是)0 , 0(,2xy ).21(2100yy舍求求 的最小曲率半徑時的曲率圓的方程的最小曲率半徑時的曲率圓的方程.2yx則設(shè)曲率圓圓心),(00yxYunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率,()1.RR火車轉(zhuǎn)彎時,為使火車能平穩(wěn)地轉(zhuǎn)過彎去必須將外軌墊高.鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎道時設(shè)半徑為,外軌的彎曲有一個跳躍,會導(dǎo)致接頭處的曲率突然改變,容易發(fā)生事故. 為了行駛平穩(wěn)

8、,往往在直道和彎道之間接入一段緩沖段,使曲率連續(xù)地由零過渡到例例2. 2. 鐵道的彎道分析鐵道的彎道分析YunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的的曲曲率率近近似似為為時時，在在終終端端很很小小并并且且當當為為零零的的曲曲率率在在始始端端的的長長度度，驗驗證證緩緩沖沖段段為為，其其中中緩緩沖沖段段作作為為，通通常常用用三三次次拋拋物物線線 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xClBYunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率xyoR),(00yxA)0 ,(0 xC證明證明: :

9、 如圖如圖0 x 表示直線軌道，,.OAAB是緩沖段是圓弧軌道在緩沖段上在緩沖段上,212xRly .1xRly , 0, 0,0 yyx處處在在. 00 k故故緩緩沖沖始始點點的的曲曲率率根據(jù)實際要求根據(jù)實際要求,0 xl lBYunnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率20210 xRlyxx 有有221lRl ,2Rl 010 xRlyxx lRl1 ,1R 的的曲曲率率為為故故在在終終端端 A0232)1(xxAyyk 2322)41(1RlR , 1 Rl.1RkA 得得,422Rl略去二次項略去二次項xyoR),(00yxA)0 ,(0 xClBYunnanU

10、niversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率例例3 3xyoQP.,.70,/400,)(40002壓力壓力飛行員對座椅的飛行員對座椅的到原點時到原點時求俯沖求俯沖千克千克飛行員體重飛行員體重秒秒米米處速度為處速度為點點在原在原俯沖飛行俯沖飛行單位為米單位為米飛機沿拋物線飛機沿拋物線 vOxy解解如圖如圖,受力分析受力分析,PQF 視飛行員在點視飛行員在點o作勻速圓周運動作勻速圓周運動,.2 mvF O點處拋物線軌道的曲率半徑點處拋物線軌道的曲率半徑Y(jié)unnanUniversity4. 平面曲線的曲率平面曲線的曲率002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率為得曲率為.200010 xxk曲率半徑為曲率半徑為.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千千克克牛牛 ),(4 .571)(70千千克克力力千千克克力力 Q).(5 .641千克力千克力 即即:飛行員對座椅的壓力為飛行員對座椅的壓力為641.5千克力千克力.YunnanUniversi