浙江省臺州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案）

第第頁浙江省臺州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)?1?2iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量a=(1，m)，A．-2 B．?12 C．13．我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了三角形面積公式，即S=12c2aA．24 B．34 C．224．已知表面積為27πA．3 B．32 C．6 D．5．一個(gè)袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)球，其中有2個(gè)黃色球，3個(gè)紅色球，從袋中不放回的依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則事件“兩次都摸到紅色球”的概率為（）A．14 B．310 C．136．拋擲一枚骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，已知這些點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)為2且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，則這些點(diǎn)數(shù)的方差為（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．57．正三棱臺ABC?A1B1C1中，AA1⊥A．25 B．35 C．458．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AC上的點(diǎn)，AC=2AB，CD=1，AE=3EC，∠ADB=∠EDC=α，則A．32 B．33 C．23二、多選題9．已知一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A、B，滿足n(Ω)=32，n(A．P(A)C．A與B互斥 D．A與B相互獨(dú)立10．已知m，n，l是空間中三條不同直線，α，β，，γA．若m?α，m∥β，n?β，B．若α∩β=m，α∩γ=n，β∩γ=l，C．若α⊥β，α⊥γD．若α∩β=m，α⊥β，11．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B=60°，A．當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時(shí)，BDB．存在點(diǎn)E，使得(C．EB?ECD．若CE=xCB+yCD，x12．四面體ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD=2，AC=m，則有（）A．存在m，使得直線CD與平面ABC所成角為πB．存在m，使得二面角A?BC?D的平面角大小為πC．若m=2，則四面體ABCD的內(nèi)切球的體積是6D．若m=3，則四面體ABCD的外接球的表面積是28π三、填空題13．已知復(fù)數(shù)z=1?i（i為虛數(shù)單位），則|z14．已知正方體ABCD?A1B1C1D15．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知B=θ，b=2，c=2，若△ABC有兩解，則16．已知平面向量a，b，c均為非零向量，a?b=a?c=14四、解答題17．已知復(fù)數(shù)z=2?i，i（1）求z2（2）若z是關(guān)于x的方程2x18．已知a，b是非零向量，①|(zhì)a|=3|b|（1）從①②③中選取其中兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.）（2）在①②的條件下，(a+b19．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C（1）求證：AB1//（2）求三棱錐B120．第19屆亞運(yùn)會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為了弘揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精神，某學(xué)校對全體高中學(xué)生組織了一次關(guān)于亞運(yùn)會相關(guān)知識的測試.從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，測試滿分為100分，并將這100名同學(xué)的測試成績分成5組，繪制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中t的值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績；（2）用樣本頻率估計(jì)總體，如果將頻率視為概率，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，求3名學(xué)生中至少有2人成績不低于80分的概率.21．在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，b=（1）求證：2b=a+c；（2）求sinB22．如圖，平面ADEF⊥平面ABCD，四邊形ADEF為矩形，且M為線段EF上的動點(diǎn)，AB//CD，∠ABC=90°（1）當(dāng)M為線段EF的中點(diǎn)時(shí)，（i）求證：AM⊥平面BDM（ii）求直線AM與平面MBC所成角的正弦值；（2）記直線AM與平面MBC所成角為α，平面MAD與平面MBC的夾角為β，是否存在點(diǎn)M使得α=β?若存在，求出

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由題意可知：復(fù)數(shù)?1?2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為-1，-2，位于第三象限.

故答案為：C.

2．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)閍∥b，則1×-1=2×m，解得m=-13．【答案】B【解析】【解答】由題意可得：S=121?(c2+a2?12)2，

因?yàn)閍2+c2≥2ac=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=c4．【答案】A【解析】【解答】設(shè)圓錐的半徑r，母線為l，

由題意可得πr2+πrl=27π2πr=15．【答案】B【解析】【解答】由題意可得：事件“兩次都摸到紅色球”的概率P=35×246．【答案】B【解析】【解答】設(shè)第i次的點(diǎn)數(shù)為xi∈1，2，3，4，5，6，i∈1，2，3，4，5，

由題意不妨設(shè)x5=6，則x1+x2+x3+x7．【答案】A【解析】【解答】如圖，將正三棱臺ABC?A1B1C1補(bǔ)成正三棱錐S-ABC，

因?yàn)锳A1⊥平面B1BCC1，即SA⊥平面SBC，

可知SB⊥平面SAC，SC⊥平面SAB，則SA⊥SB，SA⊥SC，SB⊥SC，

又因?yàn)锳B=2A1B1，則A1為SA的中點(diǎn)，

同理可得：B1為SB的中點(diǎn)，C1為SC的中點(diǎn)，

取SC1的中點(diǎn)D，連接B1D，AD，則B1D∥BC1，

所以異面直線AB1與BC1所成角為∠AB1D（或其補(bǔ)角），

設(shè)BC=2，則AB1=18．【答案】D【解析】【解答】設(shè)CE=m，則AE=3m，AB=2m，AC=4m，

在△ABC中，由正弦定理可得ABsinC=ACsinB，則sinB=ACABsinC=2sinC，

在△ABD中，由正弦定理可得ABsin∠ADB=ADsinB，即2msinα=ADsinB，

在△CDE中，由正弦定理可得CEsin∠EDC=DEsinC，即msinα=DEsinC，

整理得：2=ADsinBDEsinC=AD2DE，即AD=4DE，

在9．【答案】A,B,D【解析】【解答】對A：PA=nAnΩ=12，PB=nBnΩ=14，PA∪B=n10．【答案】B,C【解析】【解答】對AD：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1?平面ABB1A1，AA1∥平面BCC1B1，CC1?平面BCC1B1，CC1∥平面ABB1A1，但平面ABB1A1與平面BCC1B1相交，故A錯(cuò)誤；

平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，平面ABB111．【答案】A,C,D【解析】【解答】對A：當(dāng)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)時(shí)，BD→=BE→+ED→=BE→+12BC→，故A正確；

對D：因?yàn)镃E→=CD→+DE→=xCB→+yCD→，則DE→=xCB→，y=1，可得x∈0，1，

所以x+2y=x+2∈2，3，故D正確；

可得CE→=xCB→+CD→，x∈12．【答案】B,C,D【解析】【解答】對A：取AC中點(diǎn)E，連接ED，EB，過D作DF⊥BE，交EB于點(diǎn)F.

因?yàn)锳B=BC=CD=DA，所以ED⊥AC，EB⊥AC，

又因?yàn)镋D∩EB=E，ED?平面BED，EB?平面BED，

所以AC⊥平面BED，且DF?平面BED，所以AC⊥DF.

又因?yàn)镈F⊥BE，AC∩BE=E，AC?平面ABC，BE?平面ABC，

所以DF⊥平面ABC，所以∠FCD為直線CD與平面ABC所成角.

若∠FCD=π3，因?yàn)镃D=2，則DF=3，CF=1，又因?yàn)镈B=DC=DA，

所以F為△ABC的外心，故FB=CF=1，所以FB+CF=2=BC，所以F∈BC，

又因?yàn)镕為△ABC的外心，且AB=BC，所以F?BC，兩者相矛盾，故A錯(cuò)誤；

對B：取BC中點(diǎn)G，連接GF，GD，因?yàn)镈B=DC，所以BC⊥GD，

又因?yàn)镈F⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以DF⊥BC，

又DG∩DF=D，DG?平面DGF，DF?平面DGF，

所以BC⊥平面DGF，又GF?平面DGF，所以BC⊥GF，

所以∠DGF是二面角A?BC?D的平面角，

若∠DGF=π3，因?yàn)镈G=3，所以DF=32.

在Rt△BDF中，BF=22-322=72，所以△ABC的外接圓半徑為72，

在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=2×72=7AC，所以sin∠ABC=7m7；

由余弦定理得，cos∠ABC=4+4?m22×2×2=8?m28，

由7m72+8?m28=1得m=4217，故B正確；

對C：當(dāng)m=2時(shí)，四面體ABCD為棱長為2的正四面體，底面BCD上的高DG=3，DH=233，

正四面體ABCD的高h(yuǎn)=22-2332=263，

正四面體ABCD的體積V=13×34×22×263=223，

正四面體ABCD的表面積S=434×22=43，

設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為r，則r=3VS=3×22343=66，

所以四面體ABCD的內(nèi)切球的體積為V1=43π×663=6π27，故C正確；

對D，四面體ABCD中AC=3，設(shè)四面體ABCD外接球球心為O，13．【答案】2【解析】【解答】由題意可得：|z|=12+-12=14．【答案】A（A，C，B1，D【解析】【解答】設(shè)A到平面A1DB的距離為d，

因?yàn)閂A-A1DB=VA1-ADB，則13×d×12×32×32×32=13×3×12×3×3，解得d=3，

所以A到平面A1DB的距離為3，

連接AD1交A1D于點(diǎn)O，可知O為AD1的中點(diǎn)，所以D1到平面A1DB的距離為3，

可證平面A1BD∥平面AB1D1，所以15．【答案】(【解析】【解答】因?yàn)椤鰽BC有兩解，則csinB<b，且B為銳角，

即2sinB<2，可得sinB<22，且B為銳角，則B∈0，π4，16．【答案】7【解析】【解答】由題意可得：k|a→|2=|a→+c→+2b→|17．【答案】（1）解：z2（2）解：2(2?i6+2p+q=0，p+8=0.，解得p=?8【解析】【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)相等列式求解.18．【答案】（1）解：選①②：若|a|=3=3|b選①③：由|a?b|=|b即cos?a，b?=32選②③：由|a?b|=|b整理得|a|2?3|a（2）解：由(a+b)⊥而|a|=3|b|所以λ=【解析】【分析】(1)根據(jù)數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律分析證明；

(2)根據(jù)向量垂直結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.19．【答案】（1）證明：連接B1C交因?yàn)镈，E分別是AC，B1C的中點(diǎn)，則且AB1?平面C1DB所以AB1∥（2）解：過點(diǎn)D作DF垂直BC交于點(diǎn)F，

因?yàn)锳B⊥因?yàn)镃C1⊥平面ABC，DF?平面ABCBB1∩BC=B，則DF⊥平面B設(shè)BC=a，則DF=1VB當(dāng)且僅當(dāng)a=2所以三棱錐B1?DBC【解析】【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；

(2)先證DF⊥平面B20．【答案】（1）解：由頻率分布直方圖可得每組的頻率依次為0.則0.15+10t+0.設(shè)平均成績的估計(jì)值為x，則x=55×0所以這100名學(xué)生的平均成績估計(jì)值為74分.（2）解：每個(gè)學(xué)生成績不低于80分的概率為0.4.3名學(xué)生中恰有2人成績不低于80分的概率P13名學(xué)生中恰有3人成績不低于80分的概率P33名學(xué)生中至少有2人成績不低于80分的概率P=P【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖可得相應(yīng)的頻率，結(jié)合頻率和為求1求t，并結(jié)合平均數(shù)公式運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)題意用頻率估計(jì)概率，進(jìn)而結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解.21．【答案】（1）證明：因?yàn)閎=由余弦定理得b===a整理得5b2=所以2b=a+c.（2）解：由（1）可知：2b=a+c，由余弦定理可得cosB=設(shè)ac=t，則因?yàn)?b=a+c，且a≠c，不妨設(shè)a>c，即a>b>c，可知t>1，且△ABC是銳角三角形，則cosA>0，得b2則a+c>4(a?c)，解得a由對勾函數(shù)可知f(t)=t+1則f(t)且B∈(0，所以sinB的取值范圍為(【解析】【分析】(1)根據(jù)題意利用余弦定理角化邊，分析證明；

(2)根據(jù)題意利用余弦定理整理得cosB=22．【答案】（1）解：（i）由題意，四邊形ABCD為直角梯形，且∠ABC=90°所以∠BCD=90°，所以取AB的中點(diǎn)N，連接DN，則CD//BN且CD=BN，且故四邊形BCDN為矩形，則DN//BC，且DN=BC，所以又由AB=2，所以BD2+A又平面ADM⊥平面ABCD，平面ADM∩平面ABCD=AD，BD?平面所以BD⊥平面ADM又AM?平面ADM，所以AM⊥BD，因?yàn)镸D=MA=1，AD=2，則AM2又DM∩BD=D，DM、BD?平面BDM，所以AM（ii）取AD的中點(diǎn)為P，BC的中點(diǎn)為Q，連接MP、PQ、QM，過P在平面PQM內(nèi)作PO垂直于MQ，垂足為O，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AF⊥AD所以AF⊥平面ABCD，M為EF的中點(diǎn)，所以MP//AF，所以MP⊥平面ABCD，BC?平面ABCD又因?yàn)锽C⊥PQ，PQ∩PM=P，PQ、PM?平面PMQ，所以BC⊥平面PMQ，PO?平面所以PO⊥BC，MQ∩BC=O，得PO⊥平面BCM，因?yàn)镸P=22，PQ=所以MQ=M由等面積法可得PO=MP?PQ延長AD與BC交于點(diǎn)G，則D為AG的中點(diǎn)，G為直線AD與平面MBC的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A到平面MBC的距離為d，直線AM與平面MBC所成的角為θ，則POd=GP由AM=1，所以，sinθ（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)M，使得α=β，延長AD與BC交于點(diǎn)G，連接MG則平面AMD∩平面MBC=MG，設(shè)AR⊥平面MBC，垂足為R，連接MR，∠AMR是直線AM與平面MBC所成的角，因?yàn)镃D//AB且CD=12AB，所以，點(diǎn)D過點(diǎn)R作RT垂直于MG，垂足為T，

因?yàn)锳R⊥平面MBC，MG?平面MBC，所以AR⊥MG，又因?yàn)镽T⊥MG，AR∩RT=R，AR、RT?平面ART，所以MG⊥平面ART，因?yàn)锳T?平面ART，所以∠ATR是二面角A?MG?B的平面角，所以sinα=AR