概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 課件 1.4 事件的獨(dú)立性

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（慕課版）1.4

事件的獨(dú)立性第1章隨機(jī)事件與概率01兩個(gè)事件的獨(dú)立性02

有限個(gè)事件的獨(dú)立性03系統(tǒng)的可靠性問題本講內(nèi)容在100件產(chǎn)品中有72件為一等品，從中取兩件產(chǎn)有放回抽樣前面我們介紹了條件概率，一般來說，P(B|A)≠P(B)，3??例1但也有例外.品，記A表示“第一件為一等品”，B表示“第二件為一等品”.兩事件的獨(dú)立性01

兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)A,B為兩事件，若則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.

等價(jià)于因此，我們有如下的定義.4這就是說，已知事件A發(fā)生，并不影響事件B發(fā)生的概率，這時(shí)稱事件A、B相互獨(dú)立.根據(jù)乘法公式??定義01

兩個(gè)事件的獨(dú)立性5獨(dú)立01

兩個(gè)事件的獨(dú)立性證明

若

，試證：事件A與B相互獨(dú)立.??例1.206??性質(zhì)（1）若P(A)>0,??P(B)>0,??則也相互獨(dú)立.（2）若A與B

相互獨(dú)立，則與B,?A

與證明事件A與B

相互獨(dú)立，有P(AB)=P(A)P(B).僅證事件與B

相互獨(dú)立，其他可類似證明.由于所以因而，事件與B

相互獨(dú)立.01

兩個(gè)事件的獨(dú)立性請(qǐng)問：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？

即A,B不獨(dú)立.若A,B互斥，反之，若A,B獨(dú)立，??特別注意相互獨(dú)立≠互不相容“A,B相互獨(dú)立”和“A,B互不相容”不能同時(shí)成立.7若P(A)>0,P(B)>0，可以證明：即A,B相容.01

兩個(gè)事件的獨(dú)立性在實(shí)際應(yīng)用中，往往根據(jù)實(shí)際意義去判斷是否獨(dú)立.

由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A與B獨(dú)立.

甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記A={甲命中}，

B={乙命中}，A與B是否獨(dú)立？8??例01

兩個(gè)事件的獨(dú)立性一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)Ai={第i件是合格品}(i=1,2).??例9解若抽取是有放回的,則A1與A2獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次抽取的影響.01

兩個(gè)事件的獨(dú)立性

某公司生產(chǎn)洗衣機(jī)和烘干機(jī)，已知該公司生產(chǎn)的洗衣機(jī)有30%在保修期內(nèi)需要保修服務(wù)，而該公司生產(chǎn)的烘干機(jī)只有10%需要保修服務(wù)。如果有人同時(shí)購買了該品牌的洗衣機(jī)和烘干機(jī)，問：在保修期內(nèi)這兩臺(tái)機(jī)器都需要保修服務(wù)的可能性有多大？這兩臺(tái)機(jī)器都不需要服務(wù)的可能性有多大？10??例1.21解設(shè)A表示事件“洗衣機(jī)在保修期內(nèi)需要服務(wù)”，B表示事件“烘干機(jī)在保修期內(nèi)需要服務(wù)”，則01

兩個(gè)事件的獨(dú)立性

某公司生產(chǎn)洗衣機(jī)和烘干機(jī)，已知該公司生產(chǎn)的洗衣機(jī)有30%在保修期內(nèi)需要保修服務(wù)，而該公司生產(chǎn)的烘干機(jī)只有10%需要保修服務(wù)。如果有人同時(shí)購買了該品牌的洗衣機(jī)和烘干機(jī)，問：在保修期內(nèi)這兩臺(tái)機(jī)器都需要保修服務(wù)的可能性有多大？這兩臺(tái)機(jī)器都不需要服務(wù)的可能性有多大？11??例1.21通常這兩臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立工作，即A和B是相互獨(dú)立的，則所求概率分別為01

兩個(gè)事件的獨(dú)立性

設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，A與C相互獨(dú)立，且??例1.2212解01

兩個(gè)事件的獨(dú)立性.01兩事件的獨(dú)立性02

有限個(gè)事件的獨(dú)立性03系統(tǒng)的可靠性問題本講內(nèi)容將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個(gè)事件：P(ABC)=四個(gè)等式同時(shí)成立，則稱事件A,B,C相互獨(dú)立.14有限個(gè)事件的獨(dú)立性??定義對(duì)于三個(gè)事件A,B,C，若P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)02

有限個(gè)事件的獨(dú)立性

n個(gè)事件A1,A2,…,An

相互獨(dú)立是指下面的關(guān)推廣到n個(gè)事件的獨(dú)立性定義.15??定義系式同時(shí)成立：02

有限個(gè)事件的獨(dú)立性兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立對(duì)n(n>2)個(gè)事件?16??性質(zhì)如果n個(gè)隨機(jī)事件(A1,A2,?,An)?相互獨(dú)立．則也相互獨(dú)立．其中是的一個(gè)排列．??注多個(gè)事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系.02

有限個(gè)事件的獨(dú)立性??例7

隨機(jī)投擲編號(hào)為1與2的兩個(gè)骰子，記事件A

表示1號(hào)骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù)，B

表示2號(hào)骰子向上一面出現(xiàn)奇數(shù)，C

表示兩骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù).

17則但??本例說明不能由A,B,C

兩兩獨(dú)立A,B,C

相互獨(dú)立02

有限個(gè)事件的獨(dú)立性

假設(shè)某新型高分子材料由甲、乙、丙三個(gè)團(tuán)隊(duì)各自獨(dú)立研發(fā)，若甲的成功率為0.4，乙的成功率為0.3，丙的成功率為0.2，求該新型高分子材料研發(fā)成功的概率.??例1.2318設(shè)A1表示“甲研發(fā)成功”，A2表示“乙研發(fā)成功”，A3表示“丙研發(fā)成功”，則所求概率為利用獨(dú)立性02

有限個(gè)事件的獨(dú)立性解法1簡便方法也相互獨(dú)立19解法2總結(jié)：設(shè)事件相互獨(dú)立，則02

有限個(gè)事件的獨(dú)立性加工某一零件共需經(jīng)過7道工序,每道工序的次品率都是5%，假定各道工序是互不影響的,求加工出來的零件的次品率.??例1.2420解以?Ai?(i=1,2,?,7)?表示事件“第

i?道工序出現(xiàn)次品”，01

事件的獨(dú)立性的定義D=A1∪A2∪?∪A7.D表示事件“加工出來的零件為次品”，則有21由此可見，雖然每道工序次品率都很低，但次品數(shù)隨工序數(shù)的增加而增加，因此對(duì)于多道工序的產(chǎn)品，需要有嚴(yán)格的控制程序.02

有限個(gè)事件的獨(dú)立性01兩事件的獨(dú)立性02

有限個(gè)事件的獨(dú)立性03系統(tǒng)的可靠性問題本講內(nèi)容23一個(gè)元件（或系統(tǒng)）能正常工作的概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性.系統(tǒng)由元件組成，常見的元件連接方式：串聯(lián)并聯(lián)1221獨(dú)立性應(yīng)用03

系統(tǒng)的可靠性問題系統(tǒng)的可靠性問題24??例1.25

設(shè)兩系統(tǒng)都是由

4個(gè)元件組成，每個(gè)元件正常工作的概率為

p

，每個(gè)元件是否正常工作相互獨(dú)立.兩系統(tǒng)的連接方式如下圖所示，比較兩系統(tǒng)的可靠性.A1A2B2B1S1:解03

系統(tǒng)的可靠性問題25A1A2B2B1S2：系統(tǒng)S2更可靠03

系統(tǒng)的可靠性問題拓展例題本講內(nèi)容??例1

對(duì)于任意兩事件A和B，有()27解01

兩個(gè)事件的獨(dú)立性A.若，則A,B一定獨(dú)立；B.若，則A,B有可能獨(dú)立；C.若，則A,B一定獨(dú)立；D.若，則A,B一定不獨(dú)立.若滿足的兩事件不一定滿足因而A,B不一定獨(dú)立，只能說有可能獨(dú)立，故選項(xiàng)A不成立，選項(xiàng)B成立.??例1

對(duì)于任意兩事件A和B，有()28解01

兩個(gè)事件的獨(dú)立性A.若，則A,B一定獨(dú)立；B.若，則A,B有可能獨(dú)立；C.若，則A,B一定獨(dú)立；D.若，則A,B一定不獨(dú)立.若，即A,B互不相容時(shí)，也可能不獨(dú)立，則選項(xiàng)C,D都不對(duì)，故選B.A,B一定獨(dú)立.A,B可能獨(dú)立，但當(dāng)

或時(shí)，有29??例2

設(shè)某種型號(hào)的高射炮命中率為0.6，若干門炮同時(shí)發(fā)射（每炮射一發(fā)）.問：欲以99%以上的概率擊中敵機(jī)，至少配備幾門高炮？設(shè)至少需要n門炮，02

有限個(gè)事件的獨(dú)立性解記Ai表示“第i門炮擊中敵機(jī)”B表示“敵機(jī)被擊中”，則(i=1,2,…,n)，30??例2

設(shè)某種型號(hào)的高射炮命中率為0.6，若干門炮同時(shí)發(fā)射（每炮射一發(fā)）.問：欲以99%以上的概率擊中敵機(jī)，至少