第17講 橢圓及其標準方程（思維導圖+4知識點+7考點+過關檢測）（解析版）-2025新高二數(shù)學暑假提升講義（精講精練）

第17講橢圓及其標準方程模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；2．理解并掌握橢圓的定義及橢圓的標準方程；3．掌握用定義法、待定系數(shù)法和相關點法求橢圓的標準方程.知識點1橢圓的定義1、定義：平面內與兩個定點的、的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半叫做半焦距．2、橢圓定義的集合語言表示：3、對定義的理解：定義中條件不能少，這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來的．否則：①當時，其軌跡為線段；②當時，其軌跡不存在．知識點2橢圓的標準方程1、橢圓標準方程的推導：（1）怎樣建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?？以?jīng)過點、的直線為軸，線段的垂直平分為y軸建立直角坐標系，如圖1．（2）橢圓可以看作是哪些點的集合？用坐標如何表示？設點是橢圓上任一點，橢圓的焦距為（＞0）.焦點的坐標分別是，圖1又設M與的距離的和等于常數(shù)．圖1由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M|}因為，所以（3）遇到根式怎么辦？兩個根式在同一側能不能直接平方？即兩邊平方得整理得再平方并整理得兩邊同除以得考慮,應有，故設，就有．2、橢圓的標準方程對比3、橢圓標準方程的求解（1）利用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的步驟=1\*GB3①定位：確定焦點在那個坐標軸上；=2\*GB3②定量：依據(jù)條件及確定的值；=3\*GB3③寫出標準方程．（2）求橢圓方程時，若沒有指明焦點位置，一般可設所求方程為；（3）當橢圓過兩定點時，常設橢圓方程為，將點的坐標代入，解方程組求得系數(shù)．知識點3點與橢圓的位置關系1、根據(jù)橢圓的定義判斷點與橢圓的位置關系，有如下結論：點P在橢圓內部；點P在橢圓上；點P在橢圓外部．2、對于點與橢圓的位置關系，有如下結論：點在橢圓外；點在橢圓內；點在橢圓上；知識點4橢圓的焦點三角形1、定義：橢圓上一點與橢圓的兩個焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”．一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識，建立QUOTE，QUOTE，QUOTE之間的關系，采用整體代入的方法解決焦點三角形的面積、周長及角的有關問題．（設QUOTE為QUOTE）2、兩條性質性質1：QUOTE，QUOTE（兩個定義）拓展：QUOTE的周長為QUOTEQUOTE的周長為QUOTE性質2：QUOTE（余弦定理）．考點一：橢圓定義及其辨析例1．（23-24高二上·北京延慶·期末）已知是橢圓上的動點，則到橢圓的兩個焦點的距離之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由橢圓方程可知：，由橢圓定義可知：到橢圓的兩個焦點的距離之和為，故選：D.【變式1-1】（23-24高二下·陜西·開學考試）已知分別是橢圓的左、右焦點，為上的一點，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】因為，則，由橢圓的定義可知：，又因為，解得：.故選：B.【變式1-2】（23-24高二下·安徽·月考）如果動點滿足，則點的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．線段【答案】D【解析】方程表示動點到定點的距離與它到定點的距離之和為3，即，所以點M的軌跡是線段．故選：D【變式1-3】（23-24高二上·河南焦作·月考）（多選）下列是真命題的是（

）A．已知定點，則滿足的點的軌跡為橢圓B．已知定點，則滿足的點的軌跡為線段C．到定點距離相等的點的軌跡為橢圓D．若點到定點的距離的和等于點到定點的距離的和，則點的軌跡為橢圓【答案】BD【解析】對于A，，根據(jù)橢圓定義，點的軌跡不存在，故A錯誤；對于B，點的軌跡為線段，故B正確；對于C，到定點距離相等的點的軌跡為線段的垂直平分線，故錯誤；對于D，到定點的距離的和為，所以點的軌跡為橢圓，故D正確．故選：BD.考點二：求橢圓的標準方程例2.（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知橢圓的一個焦點坐標為，則實數(shù)的值為（

）A．3 B．5 C．6 D．9【答案】B【解析】由已知可得橢圓的焦點在軸上，故，，，則，即.故選：B【變式2-1】（23-24高二上·吉林·期末）若橢圓焦點在軸上且經(jīng)過點，焦距為6，則該橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得橢圓焦點在軸上且經(jīng)過點，焦距為6，所以，，則，，橢圓的標準方程為.故選：B.【變式2-2】（23-24高二上·河南南陽·月考）焦點在x軸上，中心為坐標原點，經(jīng)過點,.則橢圓的標準方程為（

）A． B．1 C． D．1【答案】A【解析】由于橢圓焦點在x軸上，且經(jīng)過點，所以，設橢圓方程為，將代入橢圓可得，解得，所以橢圓方程為，故選：A【變式2-3】（22-23高二上·陜西咸陽·月考）過點且與橢圓有相同焦距的橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】由橢圓方程得兩焦點坐標為，焦距為，當所求橢圓的焦點在軸上時，設其標準方程為，所以①，又橢圓經(jīng)過點，所以②，聯(lián)立①②解得，故所求橢圓的標準方程為.當所求橢圓的焦點在軸上時，設其標準方程為，所以③，又橢圓經(jīng)過點，所以④，聯(lián)立③④解得，故所求橢圓的標準方程為.綜上，所求橢圓的標準方程為或.故選：D.考點三：橢圓方程的參數(shù)問題例3.23-24高二下·重慶·月考）已知,則方程可表示焦點在軸上的不同橢圓的個數(shù)為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】由題意可知，則有如下，，共7種情況.故選：C【變式3-1】（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．且【答案】D【解析】方程表示橢圓，，得，得且．故選：D．【變式3-2】（23-24高二下·廣西·月考）已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意,要使方程表示焦點在軸上的橢圓,需滿足，解得.故選：B.【變式3-3】（23-24高二上·江蘇泰州·月考）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，故.故答案為：考點四：點與橢圓的位置關系例4.（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓的焦點為，點滿足，則（

）A．點在橢圓外 B．點在橢圓內C．點在橢圓上 D．點與橢圓的位置關系不能確定【答案】A【解析】若在橢圓上，則，，點在橢圓外.故選：A.【變式4-1】（23-24高二上·河南南陽·月考）點與橢圓的位置關系為（

）A．點在橢圓上 B．點在橢圓內C．點在橢圓外 D．不確定【答案】B【解析】由于，所以在內，故選：B【變式4-2】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）（多選）點在橢圓的內部，則的值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【解析】由題意知，解得．故選：BC【變式4-3】（23-24高二上·江蘇徐州·期末）（多選）已知直線與圓相切，橢圓，則（

）A．點在圓O內 B．點在圓O上C．點在橢圓C內 D．點在橢圓C上【答案】BC【解析】由直線與圓相切，可知，圓心到直線的距離，即，所以點在圓O上，并且，所以圓在橢圓內，在橢圓內.故選：BC考點五：利用定義解決焦三角問題例5.（23-24高二下·四川雅安·開學考試）經(jīng)過橢圓的左焦點的直線交橢圓于兩點，是橢圓的右焦點，則的周長為（

）A．24 B．12 C．36 D．48【答案】A【解析】因為，所以的周長為24．故選：A.【變式5-1】（23-24高二下·天津·月考）設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【解析】由可得：，則橢圓得長軸長為，，可設，，由題意可知，，，，，△是直角三角形，其面積．故選：B．【變式5-2】（23-24高二下·浙江·月考）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【解析】因為橢圓，所以，又因為，所以，即，設，則①，且②，由①②得到，即，所以，故選：B.【變式5-3】（23-24高二上·天津·月考）已知橢圓的兩個焦點，，點在橢圓上，且，則．【答案】40【解析】由題意可得，在中，，由余弦定理，得，得，得，所以．故答案為：40．考點六：利用定義解決最值問題例6.（23-24高二上·河北·月考）已知橢圓：，的右焦點為F，P為橢圓上任意一點，點A的坐標為，則的最大值為（

）A． B．5 C． D．【答案】B【解析】如圖，設橢圓C的左焦點為，由由橢圓定義可得，，所以.故選：B.【變式6-1】（23-24高二下·安徽·月考）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，M是橢圓上的動點，點A(1，1)，則的最大值是.【答案】5【解析】設橢圓的半焦距為，則，，所以，，，所以．如圖，因為（當M在的延長線上時取等號），，所以．所以的最大值為5，故答案為：5【變式6-2】（23-24高二上·福建寧德·期末）已知是橢圓上一動點，是圓上一動點，點，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】如圖，由題意，橢圓的焦點為，，則圓的圓心是橢圓的左焦點，由橢圓定義得，所以，又，所以.故選：B.【變式6-3】（22-23高二上·全國·期中）已知橢圓的左焦點為，為上的動點，點，則的最大值為（

）A． B． C．3 D．【答案】C【解析】由橢圓方程可知：，設右焦點為，則，，且，即，如圖所示，可得：，當且僅當在線段上時，等號成立，所以的最大值為3.故選：C.考點七：與橢圓有關的軌跡問題例7.（23-24高二下·湖北黃岡·月考）已知三角形的周長為，且，，則頂點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為、，所以，又因為的周長為，得，由橢圓的定義可知：頂點的軌跡是一個以為焦點的橢圓的一部分，且橢圓中，，，即，橢圓方程為，因為時，三點共線，不能構成三角形．頂點的軌跡方程為，故選：C．【變式7-1】（23-24高二下·上海靜安·月考）已知動圓M和圓：內切，并和圓：外切，則動圓圓心M的軌跡是（

）A．直線 B．圓C．焦點在軸上的橢圓 D．焦點在軸上的橢圓【答案】C【解析】設動圓的圓心的坐標為，半徑為，因為動圓與圓：內切，且與圓：外切，可得，所以,根據(jù)橢圓的定義知，動點的軌跡是以為焦點的橢圓，且，可得，則，所以動點的軌跡方程為.所以其軌跡為焦點在軸上的橢圓.故選：C.【變式7-2】（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·月考）已知圓，定點為，M為圓C上一動點，點P是線段的中點，點N在上，點N不在x軸上，且滿足，則點N的軌跡方程為.【答案】【解析】根據(jù)已知得是的垂直平分線，則，圓的圓心，半徑為，則，因此點N的軌跡是以點為焦點，長軸長為的橢圓，其中，故點N的軌跡方程是．故答案為：．【變式7-3】（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知M為橢圓上的動點，過點M作x軸的垂線，D為垂足，點P滿足，求動點P的軌跡E的方程（當點M經(jīng)過橢圓與x軸的交點時，規(guī)定點P與點M重合．）【答案】【解析】由題意設，則，，所以，又因為，所以，解得，由規(guī)定可知，所以，即動點P的軌跡E的方程為.一、單選題1．（23-24高二上·江蘇淮安·月考）設是橢圓上的點，若是橢圓的兩個焦點，則等于（

）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】C【解析】由橢圓，得，則，所以.故選：C.2．（23-24高二下·貴州貴陽·月考）已知橢圓C：的一個焦點為，則k的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．10【答案】B【解析】由題意得，，，，所以．故選：B．3．（22-23高二上·吉林·期中）過點且與橢圓有相同焦點的橢圓方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設橢圓的方程為，根據(jù)題意知又橢圓過點，所以，且，計算得所以橢圓的方程為，選項B正確.故選：B.4．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·月考）若方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知表示橢圓，則，解得.故選：A.5．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）若點在橢圓上，則下列說法正確的是（

）A．點不在橢圓上 B．點不在橢圓上C．點在橢圓上 D．無法判斷上述點與橢圓的關系【答案】C【解析】點與點關于原點對稱，點與關于軸對稱，點與關于軸對稱，若點在橢圓上，根據(jù)橢圓的對稱性，，，三點都在橢圓上，故選：C6．（23-24高二下·四川廣元·月考）設分別是橢圓的左，右焦點，過的直線交橢圓于兩點，則的最大值為(

)A． B． C． D．6【答案】B【解析】由橢圓的定義知∴的周長為，∴當最小時，最大．當軸，即AB為通徑時，最小，此時，∴的最大值為．故選：B．二、多選題7．（23-24高二下·福建福州·月考）若橢圓的某兩個頂點間的距離為4，則m的可能取值有（

）A． B． C． D．2【答案】BCD【解析】由題意可知，，若這兩個頂點為長軸的兩個端點時，；若這兩個頂點為短軸的兩個端點時，；若一個頂點短軸的端點，另一個為長軸的端點時，；故選：BCD8．（22-23高二上·吉林·月考）已知橢圓的左?右焦點分別為，為橢圓上不同于左右頂點的任意一點，則下列說法正確的是（

）A．的周長為8 B．存在點，使得C．的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】BCD【解析】由可得,焦點坐標分別為.對A項,的周長為，故A錯誤;對B項,設存在點,根據(jù)兩點間距離公式和橢圓的定義得，即,解得或,故B正確;對C項,設點,,則,所以,,則,又因為,所以,所以的取值范圍為,故C正確;對D項,由C知,,則,因為,所以,則,同理可得，所以,當時,取得最大值,當或時,的值,但且，所以的取值范圍為,故D正確.故選:BCD.三、填空題9．（23-24高二上·四川遂寧·月考）橢圓上一點P與它的一個焦點的距離等于6，那么點P與另一個焦點的距離等于.【答案】14【解析】因為橢圓，則，設橢圓的左右焦點分別為