《事件的關系和運算》同步學案(教師版)VIP

高中數(shù)學精編資源2/2《事件的關系和運算》同步學案情境導入從一副撲克牌中任抽一張,設事件A表示“抽出的是紅桃”,事件B表示“抽出的是梅花”,在一次抽取中事件A和事件B能同時發(fā)生嗎?能同時不發(fā)生嗎?提示:不能同時發(fā)生,但能同時不發(fā)生,如抽出的是黑桃或方塊.自主學習自學導引事件的關系與運算定義表示法圖示包含關系一般地,若事件A發(fā)生,則事件B______,稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B).如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B?A且A?B,則稱事件A與事件B相等,記作_________._________(或_________)并事件一般地,事件A與事件B至少有一個發(fā)生,這樣的一個事件中的樣本點或者在________中,或者在________中,稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)._________(或_________)交事件一般地,事件A與事件B__________,這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中,也在事件B中,稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)._________(或_________)事件互斥一般地,如果事件A與事件B__________發(fā)生,也就是說A∩B是一個不可能事件,則稱事件A與事件B_________(或互不相容).若A∩B=?,則A與B互斥事件對立一般地,如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生,那么稱事件A與事件B互為___________.事件A的對立事件記為__________.若A∩B=?,且A∪B=Ω,則A與B對立答案一定發(fā)生A=BB?AA?B事件A事件BA∪BA+B同時發(fā)生A∩BAB不能同時互斥對立A預習測評1.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次,設事件A表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)是3,事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù),事件A與B的關系是()A.事件B包含事件AB.事件B與事件A相等C.事件B與事件A是互斥事件D.事件B與事件A是對立事件2.拋擲一枚骰子,觀察其朝上面的點數(shù),若A=1,B=135,則事件A.1B.13C.153.從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球,那么互斥但不對立的兩個事件是()A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C.“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”D.“至少有一個黑球”與“都是紅球”4.某市送醫(yī)下鄉(xiāng),將趙偉、張昊、王宏三位專家派到衡東、澗西、龍泉三所鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院,每所醫(yī)院分到1位專家,則事件“張昊被派到衡東”與事件“趙偉被派到衡東”是()A.對立事件B.互斥但不對立事件C.不可能事件D.必然事件答案1.A解析:由題意可得事件A發(fā)生,事件B一定發(fā)生,所以事件B包含事件A.2.A解析:1∩3.C解析:A中的兩個事件能同時發(fā)生,故不互斥;同樣,B中兩個事件也可同時發(fā)生,故不互斥;D中兩個事件是對立的.4.B解析:由互斥事件和對立事件的概念知,事件“張昊被派到衡東”與事件“趙偉被派到衡東”是互斥事件.又因為事件“王宏被派到衡東”也是可能發(fā)生的,所以事件“張昊被派到衡東”與事件“趙偉被派到衡東”不是對立事件.新知探究探究點1事件的關系知識詳解1.包含關系.(1)概念及表示方法.一般地,對于事件A與事件B,如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B),記作B?A(或A?B).也就是說構(gòu)成事件A的結(jié)果都在事件B的結(jié)果中.例如,擲一枚骰子,{出現(xiàn)1點}?{出現(xiàn)奇數(shù)點}.(2)圖示.與兩個集合的包含關系類比,可用下圖表示.[特別提示]1.不可能事件記作?,任何事件都包含不可能事件,即C??(C為任一事件).2.事件A也包含于事件A,即A?A.3.事件B包含事件A,其含義就是事件A發(fā)生,事件B一定發(fā)生,而事件B發(fā)生,事件A不一定發(fā)生.2.相等事件.(1)概念及表示方法.一般地,若B?A,且B?A,那么稱事件B與事件A相等,記作A=B.例如,擲一枚骰子,{出現(xiàn)6點}={出現(xiàn)的點數(shù)大于5}.(2)圖示.與兩個集合的相等關系類比,可用如圖表示.[特別提示]1.兩個相等事件總是同時發(fā)生或同時不發(fā)生.2.所謂事件A=B,就是說事件A,B是同一事件.3.在驗證兩個事件是否相等時,常用到相等事件的定義.典例探究例1在擲骰子試驗中,可以得到以下事件:A:{出現(xiàn)1點};B:{出現(xiàn)2點};C:{出現(xiàn)3點};D:{出現(xiàn)4點};E:{出現(xiàn)5點};F:{出現(xiàn)6點};G:{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1};H:{出現(xiàn)的點數(shù)小于5};I:{出現(xiàn)奇數(shù)點};J:{出現(xiàn)偶數(shù)點}.請判斷下列兩個事件的關系:(1)B______H;2解析:因為出現(xiàn)的點數(shù)小于5包含出現(xiàn)1點,出現(xiàn)2點,出現(xiàn)3點,出現(xiàn)4點四種情況,所以事件B發(fā)生時,事件H必然發(fā)生,故B?H;同理D?J,E?I;又易知事件A與事件G相等,即A=G.答案:1變式訓練1擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次,得到如下三個事件:A為“3次正面向上”,B為“只有1次正面向上”,C為“至少有1次正面向上”,試判斷事件A,B,C之間的包含關系.答案:當事件A發(fā)生時,事件C一定發(fā)生,當事件B發(fā)生時,事件C一定發(fā)生,因此有A?C,B?C;當事件A發(fā)生時,事件B一定不發(fā)生,當事件B發(fā)生時,事件A一定不發(fā)生,因此事件A與事件B之間不存在包含關系.綜上,事件A,B,C之間的包含關系為:A?C,B?C.探究點2事件的運算知識詳解1.并(和)事件.(1)概念及表示方法.若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件),記作A∪B(或A+B).例如,擲一枚骰子,{出現(xiàn)1點}∪{出現(xiàn)5點}={出現(xiàn)1點或5點}.(2)圖示.與兩個集合的并集類比,可用下圖表示.[特別提示]并(和)事件包含三種情況:①事件A發(fā)生,事件B不發(fā)生;②事件A不發(fā)生,事件B發(fā)生;③事件A,B都發(fā)生,即事件A∪B表示事件A,B至少有一個發(fā)生.2.交(積)事件.(1)概念及表示方法.若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件),記作A∩B(或AB).例如,擲一枚骰子,{出現(xiàn)點數(shù)大于3}∩{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}={出現(xiàn)4點}.(2)圖示.與兩個集合的交集類比,可用下圖表示.典例探究例2盒子里有6個紅球,4個白球,現(xiàn)從中任取3個球,設事件A={3個球中有1個紅球、2個白球},事件B={3個球中有2個紅球、1個白球},事件C={3個球中至少有1個紅球},事件D={3個球中既有紅球又有白球}.(1)事件D與A,B是什么樣的運算關系?(2)事件C與A的交事件是什么事件?解析:根據(jù)事件運算的定義解題,對于事件C和事件D需列出其包含的所有結(jié)果.答案:(1)對于事件D,可能的結(jié)果為1個紅球、2個白球,或2個紅球、1個白球,故D=A∪B.(2)對于事件C,可能的結(jié)果為1個紅球、2個白球,或2個紅球、1個白球,或3個紅球,故C∩A=A.方法歸納:進行事件的運算時,一是要緊扣運算的定義,二是要全面考慮同一條件下的試驗可能出現(xiàn)的全部結(jié)果,必要時可列出全部的試驗結(jié)果進行分析.也可類比集合的關系和運算用Venn圖分析事件.變式訓練2設A,B,C表示三個隨機事件,試用A,B,C的運算表示下列事件:(1)A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);(2)A,B都出現(xiàn),C不出現(xiàn);(3)三個事件至少有一個出現(xiàn);(4)不多于一個事件出現(xiàn);(5)三個事件至少有兩個出現(xiàn);(6)A,B,C中恰有兩個出現(xiàn).答案:(1)AB(2)ABC(3)A∪B∪C.(4)AB(5)ABC+ABC(6)ABC探究點3互斥事件與對立事件知識詳解1.互斥事件.(1)概念及表示方法.若A∩B為不可能事件,即A∩B=?,則稱事件A與事件B互斥,其含義是:事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生,例如,擲一枚骰子,{出現(xiàn)奇數(shù)點}與{出現(xiàn)2點}是互斥事件.(2)圖示.與兩個集合的交集為空集類比,可以用下圖表示.[特別提示]1.事件A與事件B互斥表示事件A與事件B不可能同時發(fā)生,即A與B兩個事件同時發(fā)生的概率為0.2.事件A與事件B互斥包含三種情況:①事件A發(fā)生,B不發(fā)生;②事件A不發(fā)生,B發(fā)生;③事件A不發(fā)生,B也不發(fā)生.注意與事件A∪B進行區(qū)別.2.對立事件.(1)概念及表示方法.若A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對立事件,其含義是:事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生,例如,擲一枚骰子,{出現(xiàn)奇數(shù)點}與{出現(xiàn)偶數(shù)點}是對立事件.(2)圖示.與兩個集合的補集類比,可以用下圖表示,陰影部分為事件B.即事件A的對立事件B是全集中由事件A包含的結(jié)果組成的集合的補集,也可記作B=A[特別提示]1.在一次試驗中,事件A和它的對立事件只能發(fā)生一個,并且必然發(fā)生一個,不可能兩個都不發(fā)生或兩個都發(fā)生,例如,擲一枚硬幣,出現(xiàn)的結(jié)果可以是正面朝上,也可以是反面朝上,但不會出現(xiàn)第三種結(jié)果.2.根據(jù)對立事件的概念易知:若兩個事件對立,則這兩個事件是互斥事件;反之,若兩個事件是互斥事件,則這兩個事件未必是對立事件.3.對立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B是對立事件,則事件A與事件B互斥,而且A∪B是必然事件.典例探究例3某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱,記事件A為“只訂甲報”,事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報”,事件E為“一種報紙也不訂”,判斷下列每組事件是不是互斥事件;如果是,再判斷它們是不是對立事件:(1)A與C;(2)B與E;(3)B與D;(4)B與C;(5)C與E.解析:按照互斥事件與對立事件的定義進行判斷.答案:(1)由于事件C“至多訂一種報紙”中包括“只訂甲報”,即事件A與事件C有可能同時發(fā)生,故A與C不是互斥事件.(2)事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發(fā)生的,故B與E是互斥事件;由于事件B與事件E必有一個發(fā)生,故B與E是對立事件.(3)事件B“至少訂一種報紙”中包括“只訂乙報”,即有可能“不訂甲報”,也就是說事件B和事件D有可能同時發(fā)生,故B與D不是互斥事件.(4)事件B“至少訂一種報紙”中的可能情況為“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”.事件C“至多訂一種報紙”中的可能情況為“一種報紙也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”,也就是說事件B與事件C可能同時發(fā)生,故B與C不是互斥事件.(5)由(4)的分析,事件E“一種報紙也不訂”是事件C中的一種可能情況,所以事件C與事件E可能同時發(fā)生,故C與E不是互斥事件.方法總結(jié):辨析互斥事件與對立事件的思路.1從發(fā)生的角度看.(1)在一次試驗中,兩個互斥事件有可能都不發(fā)生,也可能有一個發(fā)生,但不可能同時發(fā)生.(2)兩個對立事件必有一個發(fā)生,但不可能同時發(fā)生,即兩事件對立,必定互斥,但兩事件互斥,未必對立.對立事件是互斥事件的一個特例.2.從事件個數(shù)的角度看.互斥的概念適用于兩個或多個事件,但對立的概念只適用于兩個事件.變式訓練3已知100件產(chǎn)品中有5件次品,從這100件產(chǎn)品中任意取出3件,設E表示事件“3件產(chǎn)品全不是次品”,F表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”,G表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件次品”,則下列結(jié)論正確的是()A.F與G互斥B.E與G互斥但不對立C.E,F,G任意兩個事件均互斥D.E與G對立答案:D解析:由題意得事件E與事件F不可能同時發(fā)生,是互斥事件;事件E與事件G不可能同時發(fā)生,是互斥事件;當事件F發(fā)生時,事件G一定發(fā)生,所以事件F與事件G不是互斥事件,故A,C不正確,事件E與事件G中必有一個發(fā)生,所以事件E與事件G對立,所以B不正確,D正確.易錯易混解讀例從1,2,3,?,9中任取兩數(shù),給出下列各組事件:①“恰有一個偶數(shù)”和“恰有一個奇數(shù)”;②“至少有一個奇數(shù)”和“兩個都是奇數(shù)”;③“至少有一個奇數(shù)”和“兩個都是偶數(shù)”;④“至少有一個奇數(shù)”和“至少有一個偶數(shù)”.其中是對立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③錯解:D錯因分析:本題錯在沒有理解對立事件的概念.對立事件的特點是兩個事件不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生,①顯然不符合條件.正解:從1,2,3,?,9中任取兩數(shù),有以下三種情況:(1)兩個奇數(shù);(2)兩個偶數(shù);(3)一個奇數(shù)和一個偶數(shù).所以僅有③中的兩個事件不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生.故選C.糾錯心得:對于一些事件關系的判斷,考慮問題要全面,最好能把事件的幾個方面列舉出來,然后根據(jù)“至多”、“至少”所包含的情況進行判斷.課堂檢測1.如果事件A、B互斥,那么()A.A∪B是必然事件B.A∪C.A與B一定互斥D.A與B一定不互斥2.抽查10件產(chǎn)品,設A={至少2件次品},則A=A.{至多2件次品}B.{至多2件正品}C.{至少2件正品}D.{至多1件次品}3.從2,4,6,8,10中任取三