拉氏變換題目及答案VIP

拉氏變換題目及答案一、單項選擇題1.拉普拉斯變換的定義是：A.\(F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt\)B.\(F(s)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt\)C.\(F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{st}dt\)D.\(F(s)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{st}dt\)答案：A2.函數(shù)\(f(t)=\sin(2t)\)的拉普拉斯變換是：A.\(\frac{2}{s^2+4}\)B.\(\frac{2}{s^2+2^2}\)C.\(\frac{2}{s^2+4^2}\)D.\(\frac{2}{s^2+2}\)答案：B3.函數(shù)\(f(t)=e^{at}\)的拉普拉斯變換是：A.\(\frac{1}{s-a}\)B.\(\frac{1}{s+a}\)C.\(\frac{1}{s-a}\)（當\(s>a\)）D.\(\frac{1}{s+a}\)（當\(s<a\)）答案：C4.函數(shù)\(f(t)=t^2\)的拉普拉斯變換是：A.\(\frac{2}{s^3}\)B.\(\frac{2}{s^2}\)C.\(\frac{2}{s}\)D.\(\frac{2}{s^2}+\frac{2}{s^3}\)答案：D5.函數(shù)\(f(t)=\cos(3t)\)的拉普拉斯變換是：A.\(\frac{s}{s^2+9}\)B.\(\frac{3}{s^2+9}\)C.\(\frac{s}{s^2+3^2}\)D.\(\frac{3}{s^2+3^2}\)答案：C二、計算題1.求函數(shù)\(f(t)=t\)的拉普拉斯變換。解：根據(jù)拉普拉斯變換的定義，我們有\(zhòng)[F(s)=\int_{0}^{\infty}te^{-st}dt\]通過分部積分法，設\(u=t\)且\(dv=e^{-st}dt\)，得到\(du=dt\)且\(v=-\frac{1}{s}e^{-st}\)。因此，\[F(s)=\left[-\frac{t}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}dt\]\[F(s)=0+\frac{1}{s}\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}\]\[F(s)=\frac{1}{s}\left(0+\frac{1}{s}\right)\]\[F(s)=\frac{1}{s^2}\]答案：\(\frac{1}{s^2}\)2.求函數(shù)\(f(t)=\sin(5t)\)的拉普拉斯變換。解：根據(jù)正弦函數(shù)的拉普拉斯變換公式，我們有\(zhòng)[F(s)=\frac{5}{s^2+5^2}\]答案：\(\frac{5}{s^2+25}\)3.求函數(shù)\(f(t)=e^{-2t}\)的拉普拉斯變換。解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的拉普拉斯變換公式，我們有\(zhòng)[F(s)=\frac{1}{s+2}\]（當\(s>-2\)）答案：\(\frac{1}{s+2}\)4.求函數(shù)\(f(t)=t^3\)的拉普拉斯變換。解：根據(jù)拉普拉斯變換的性質，我們有\(zhòng)[F(s)=\frac{3!}{s^4}=\frac{6}{s^4}\]答案：\(\frac{6}{s^4}\)5.求函數(shù)\(f(t)=\cos(4t)\)的拉普拉斯變換。解：根據(jù)余弦函數(shù)的拉普拉斯變換公式，我們有\(zhòng)[F(s)=\frac{s}{s^2+4^2}\]答案：\(\frac{s}{s^2+16}\)三、應用題1.某電路中電流\(i(t)=5\sin(4t)\)，求該電路的電感\(zhòng)(L\)和電阻\(R\)的拉普拉斯變換。解：電感\(zhòng)(L\)的拉普拉斯變換為\(\frac{1}{s}\)，電阻\(R\)的拉普拉斯變換為\(\frac{1}{s}\)。根據(jù)基爾霍夫電壓定律，我們有\(zhòng)[V(s)=L(sI(s)-i(0))+RI(s)\]由于初始電流\(i(0)=0\)，我們得到\[V(s)=LsI(s)+RI(s)\]\[V(s)=(Ls+R)I(s)\]已知\(I(s)=\frac{20}{s^2+16}\)，代入上式得\[V(s)=(Ls+R)\frac{20}{s^2+16}\]答案：\(V(s)=(Ls+R)\frac{20}{s^2+16}\)2.某系統(tǒng)的微分方程為\(\frac{dy}{dt}+4y=6e^{-t}\)，初始條件為\(y(0)=0\)，求該系統(tǒng)的響應\(y(t)\)。解：首先對微分方程兩邊進行拉普拉斯變換，得到\[sY(s)-y(0)+4Y(s)=\frac{6}{s+1}\]由于\(y(0)=0\)，我們有\(zhòng)[(s+4)Y(s)=\frac{6}{s+1}\]\[Y(s)=\frac{6}{(s+1)(s+4)}\]接下來進行部分分式分解\[Y(s)=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+4}\]解得\(A=2\)和\(B=