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試題試題2024北京五十五中高一12月月考數(shù)學(xué)本試卷共4頁,共150分,考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘第一部分(選擇題共40分)一、選擇題(共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng),把答案填在答題紙上)1.若集合,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.2.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是()A. B. C. D.3.已知,則()A. B. C. D.4.“”是“函數(shù)存在零點(diǎn)”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.若在處取得最小值,則()A. B.3 C. D.46.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?,且在上單調(diào)遞減.若,則的解集為()A. B.C. D.7.已知函數(shù)的圖像如圖所示,則此函數(shù)可能是()A. B.C. D.8.已知函數(shù)是上的減函數(shù),則a的范圍是()A. B. C. D.9.記函數(shù)在上的最大值是,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.010.中國(guó)茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明,有一種茶用85℃的水泡制,再等到茶水溫度降至55℃時(shí)飲用,可以產(chǎn)生最佳口感.某研究人員在室溫下,每隔1min測(cè)一次茶水溫度,得到數(shù)據(jù)如下:放置時(shí)間/min012345茶水溫度/℃85.0079.0073.6068.7464.3760.43為了描述茶水溫度與放置時(shí)間的關(guān)系,現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型供選擇:①,②.選擇最符合實(shí)際的函數(shù)模型,可求得剛泡好的茶水達(dá)到最佳口感所需放置時(shí)間大約為()(參考數(shù)據(jù):,)A.6min B.6.5min C.7min D.7.5min第二部分(非選擇題共110分)二、填空題(共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在答題紙上)11.函數(shù)的定義域________.12.__________.13.函數(shù)(且)恒過定點(diǎn)________14.已知函數(shù)①若,則x的值是________②若且,則的取值范圍是________15.人口問題是關(guān)系民族發(fā)展的大事.歷史上在研究受資源約束的人口增長(zhǎng)問題中,有學(xué)者提出了“Logisticmodel”:,其中均為正常數(shù),且,該模型描述了人口隨時(shí)間t的變化規(guī)律.給出下列三個(gè)結(jié)論:①;②在上是增函數(shù);③.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______________.三、解答題(共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.)16.已知集合,.(1)當(dāng)時(shí),求;(2)若,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.17.已知定義在的函數(shù)的圖象如圖所示,其中y軸的左側(cè)為一條線段,右側(cè)為指數(shù)函數(shù)的一部分.(1)寫出函數(shù)的解析式和值域;(2)求的值.(3)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍18.已知函數(shù),(1)若函數(shù)是偶函數(shù),求實(shí)數(shù)的值;(2)若在區(qū)間上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3),直接寫出與的大小關(guān)系(不用證明).19.已知函數(shù)的零點(diǎn)是.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由;(3)設(shè),若不等式在區(qū)間上有解,求的取值范圍.20.某公司為改善營(yíng)運(yùn)環(huán)境,年初以萬元的價(jià)格購進(jìn)一輛豪華客車.已知該客車每年的營(yíng)運(yùn)總收入為萬元,使用年所需的各種費(fèi)用總計(jì)為萬元.(1)該車營(yíng)運(yùn)第幾年開始贏利(總收入超過總支出,今年為第一年);(2)該車若干年后有兩種處理方案:①當(dāng)贏利總額達(dá)到最大值時(shí),以萬元價(jià)格賣出;②當(dāng)年平均贏利總額達(dá)到最大值時(shí),以萬元的價(jià)格賣出.問:哪一種方案較為合算?并說明理由.21.設(shè)集合,如果對(duì)于的每一個(gè)含有個(gè)元素的子集P,P中必有4個(gè)元素的和等于,稱正整數(shù)為集合的一個(gè)“相關(guān)數(shù)”.(1)當(dāng)時(shí),判斷5和6是否為集合的“相關(guān)數(shù)”,說明理由;(2)若為集合的“相關(guān)數(shù)”,證明:;(3)給定正整數(shù),求集合的“相關(guān)數(shù)”m的最小值.

參考答案第一部分(選擇題共40分)一、選擇題(共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng),把答案填在答題紙上)1.【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系可判斷A,求出可判斷BC;求出可判斷D.【詳解】,,,故A錯(cuò)誤;,所以,故B錯(cuò)誤,C正確;,故D錯(cuò)誤.故選:C.2.【答案】D【分析】利用奇函數(shù)的定義,逐項(xiàng)判斷得解.【詳解】對(duì)于A,函數(shù)定義域?yàn)镽,而,不是奇函數(shù),A不是;對(duì)于B,函數(shù)的定義域?yàn)?,不是奇函?shù),B不是;對(duì)于C,函數(shù)的定義域?yàn)镽,而,不是奇函數(shù),C不是;對(duì)于D,函數(shù)的定義域?yàn)镽,,則是奇函數(shù),D是.故選:D3.【答案】D【分析】利用作差法可判斷A,B;根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷C,D.【詳解】因?yàn)椋?,?duì)于A,,所以,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,,所以,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,則,所以,故D正確.故選:D.4.【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】若函數(shù)存在零點(diǎn),則有實(shí)數(shù)解,即有實(shí)數(shù)解,因?yàn)?,所以,而,由得,則“”是“函數(shù)存在零點(diǎn)”的充分必要條件.故選:C5.【答案】B【分析】利用基本不等式求出最小值即可得解.【詳解】由,得,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)時(shí),取得最小值2,因此.故選:B6.【答案】B【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知在0,+∞和上單調(diào)遞減,且,所以的解集為.故選:B7.【答案】C【分析】通過函數(shù)的定義域排除AB,計(jì)算特殊值排除D,得到答案.【詳解】的定義域?yàn)?,不符合函?shù)圖像,A不滿足;的定義域?yàn)?,不符合函?shù)圖像,B不滿足;,,不符合函數(shù)圖像,D不滿足.故選:C8.【答案】A【分析】分段函數(shù)是上的減函數(shù),不僅需要每一段是單調(diào)遞減的,還需要左邊一段的最低不高于右邊一段的最高,據(jù)此列不等式求解即可.【詳解】函數(shù)是上的減函數(shù),則,解得故選:A.9.【答案】A【分析】結(jié)合函數(shù)的圖象求出,再由的圖象可得答案.【詳解】函數(shù)的圖象如下,令,解得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以,其圖象如下,則的最小值為.故選:A.10.【答案】B【分析】根據(jù)每分鐘茶水溫度的減少值呈現(xiàn)越來越小的變化趨勢(shì),可判定應(yīng)當(dāng)選擇模型①為更符合實(shí)際的模型.利用前兩組數(shù)據(jù)可以求得和的值,進(jìn)而將最佳口感溫度代入所求得解析式,利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求得的值,即可做出判斷.【詳解】由表格中數(shù)據(jù)可得,每分鐘茶水溫度的減少值依次為6,5.4,4.86,4.37,3.94,呈現(xiàn)越來越小的變化趨勢(shì),故選用模型①為更符合實(shí)際的模型.由x=0時(shí),,代入,得,解得.∴.

由x=1時(shí),可得,解得,∴,由,得,∴,,剛泡好的茶水達(dá)到最佳口感所需放置時(shí)間大約為6.5min,故選:B.第二部分(非選擇題共110分)二、填空題(共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在答題紙上)11.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)有意義的條件得到不等式求解.【詳解】要使函數(shù)有意義,則,即,所以函數(shù)的定義域?yàn)?,故答案?.12.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),準(zhǔn)確運(yùn)算,即可求解.【詳解】由指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可得.故答案為:.13.【答案】2,0【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由得,此時(shí),即函數(shù)過定點(diǎn).故答案為:.14.【答案】①.或②.【分析】(1)根據(jù)函數(shù)值求自變量的值.(2)設(shè),根據(jù)函數(shù)解析式,把轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域問題求解.【詳解】(1)若,由;若,由;所以或;(2)設(shè),由題意:,;,,;所以,,所以.故答案為:或;.15.【答案】①②③【分析】①代入函數(shù)值即可求解;②求導(dǎo)后確定函數(shù)的單調(diào)性即可;③進(jìn)行等價(jià)證明看是否復(fù)合條件即可.【詳解】①當(dāng),所以;②,因?yàn)榫鶠檎?shù),且,所以,所以在上是增函數(shù);③,等價(jià)于,即等價(jià)于,即等價(jià)于,等價(jià)于,而恒成立,且,所以恒成立,即.故選項(xiàng)③正確.故答案為:①②③.三、解答題(共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.)16.【答案】(1)(2)【分析】(1)代入,求解集合,,按照交集的定義直接求解即可;(2)求解集合,由并集為全集得出集合的范圍,從而求出的范圍.【小問1詳解】解:由得或.所以.當(dāng)時(shí),所以.【小問2詳解】由題意知].又,因?yàn)?,所?所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.【答案】(1);(2)(3)0,1【分析】(1)當(dāng),函數(shù)為一次函數(shù),設(shè)其解析式為;當(dāng)x∈0,+∞,設(shè)指數(shù)函數(shù)解析式為,結(jié)合待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式,由圖象可得值域;(2)由函數(shù)的解析式,分別計(jì)算求的值即可得答案;(3)求當(dāng)直線與y=fx圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的的值即可.【小問1詳解】當(dāng),函數(shù)為一次函數(shù),設(shè)其解析式為.∵點(diǎn)0,2和在該一次函數(shù)的圖象上,∴,解得,∴.當(dāng)x∈0,+∞,函數(shù)為指數(shù)函數(shù)且是故設(shè)其解析式為,∵點(diǎn)在該指數(shù)函數(shù)的圖象上,即.∴,綜上,,觀察圖象可知fx的值域?yàn)椋弧拘?詳解】∵,∴,又∵,∴,所以;【小問3詳解】若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,則直線與y=fx圖象有兩個(gè)交點(diǎn),由圖象可知,.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,1.18.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)直接根據(jù)偶函數(shù)的定義得到答案;(2)利用二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果;(3)直接證明即可.【小問1詳解】若fx是偶函數(shù),則,即,解得;當(dāng)時(shí),確實(shí)是偶函數(shù).所以的值是.【小問2詳解】由于單調(diào)遞增,故命題等價(jià)于fx在上單調(diào)遞減.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知,這等價(jià)于對(duì)稱軸在直線處或其右側(cè),也就是,即.所以的取值范圍是.【小問3詳解】由于.故.19.【答案】(1)(2)在上是單調(diào)遞減函數(shù),理由見解析(3)【分析】(1)根據(jù)可求出結(jié)果;(2)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)性的定義可得結(jié)果;(3)轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解,換元后化為在區(qū)間上有解,令,,化為,根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)求出的最大值可得答案.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)是,所以,即,所以,解得.【小問2詳解】由(1)知,,在上是單調(diào)遞減函數(shù),理由如下:設(shè),則,因?yàn)椋?,因?yàn)闉樵龊瘮?shù),所以,所以,所以在上是單調(diào)遞減函數(shù).【小問3詳解】因?yàn)椴坏仁皆趨^(qū)間上有解,所以在區(qū)間上有解,所以在區(qū)間上有解,因?yàn)闉樵龊瘮?shù),所以在區(qū)間上有解,所以在區(qū)間上有解,令,因?yàn)?,所以,所以在區(qū)間上有解,令,,則,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí),.所以.20.【答案】(1)第3年開始贏利;(2)方案②合算.理由見解析.【分析】(1)設(shè)該車年開始盈利,可構(gòu)造不等關(guān)系,結(jié)合可求得解集,由此得到結(jié)果;(2)由二次函數(shù)最值和基本不等式求最值分別求得兩種方案的盈利總額,通過比較盈利總額和所需時(shí)長(zhǎng),得到方案②合算.【詳解】(1)客車每年的營(yíng)運(yùn)總收入為萬元,使用年所需的各種費(fèi)用總計(jì)為萬元,若該車年開始贏利,則,即,,,該車營(yíng)運(yùn)第年開始贏利.(2)方案①贏利總額,時(shí),贏利總額達(dá)到最大值為萬元.年后賣出客車,可獲利潤(rùn)總額為萬元.方案②年平均贏利總額(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).時(shí)年平均贏利總額達(dá)到最大值萬元.年后賣出客車,可獲利潤(rùn)總額為萬元.兩種方案的利潤(rùn)總額一樣,但方案②的時(shí)間短,方案②合算.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查建立擬合函數(shù)模型求解實(shí)際問題,解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知條件構(gòu)造出合適的函數(shù)模型,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和基本不等式求得函數(shù)的最值.21.【答案】(1)5不是集合的“相關(guān)數(shù)”,6是集合的“相關(guān)數(shù)”,理由見解析(2)證明見解析(3)【分析】(1)根據(jù)相關(guān)數(shù)的定義判斷,即可求解;(2)根據(jù)相關(guān)數(shù)的定義,得到時(shí),一定不是集合的“相關(guān)數(shù)”,得到,從而證明結(jié)論;(3)根據(jù),將集合的元素分成組,對(duì)的任意一個(gè)含有個(gè)元素的子集,必有三組同屬于集合,不妨設(shè)與無相同元素,此時(shí)這4個(gè)元素之和為,從而求出的最小值.【小問1詳解】解:當(dāng)時(shí),,①對(duì)于的含有5個(gè)元素的子集,因?yàn)?,所?不是集合的“相關(guān)數(shù)”;②的含有6個(gè)元素的子集只有,因?yàn)?,所?是集合的“相關(guān)數(shù)”.【小問2詳解】證明:考察集合的含有個(gè)元素的子集,中任意4個(gè)元素之和一定不小于,所以一定

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