85　第十章　第4課時(shí)　概率、統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題

第十章統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析第4課時(shí)概率、統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一以統(tǒng)計(jì)圖表為載體的概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題[典例1]

(2022·新高考Ⅱ卷)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖．(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)．(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率．(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%，從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40,50)，求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001)．

該類(lèi)問(wèn)題常常借助圖形或表格，將文字、圖表、數(shù)據(jù)等融為一體，考查考生的直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，求解的關(guān)鍵是立足題干提取信息，結(jié)合統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析或結(jié)合概率模型求解相應(yīng)概率．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(2025·日照模擬)某學(xué)校號(hào)召學(xué)生參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)，為了了解學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生一個(gè)月(30天)完成鍛煉活動(dòng)的天數(shù)，制成如下頻數(shù)分布表：天數(shù)[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30]人數(shù)4153331116(1)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，學(xué)生參加體育鍛煉天數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值)，且σ＝6.1，若全校有3000名學(xué)生，求參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)超過(guò)21天的人數(shù)(精確到1)．(2)調(diào)查數(shù)據(jù)表明，樣本中參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[15,30]的學(xué)生中有30名男生，天數(shù)在[0,15)的學(xué)生中有20名男生，學(xué)校對(duì)當(dāng)月參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)不低于15天的學(xué)生授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱(chēng)號(hào)．請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面列聯(lián)表：性別活動(dòng)天數(shù)合計(jì)[0,15)[15,30]男生

女生

合計(jì)

并依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生性別與獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱(chēng)號(hào)有關(guān)聯(lián)．如果結(jié)論是有關(guān)聯(lián)，請(qǐng)解釋它們之間如何相互影響．附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(2)由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動(dòng)的天數(shù)在[0,15)的人數(shù)為4＋15＋33＝52，因?yàn)閰⒓印懊刻戾憻?小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[0,15)的學(xué)生中有20名男生，所以參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[0,15)的學(xué)生中女生人數(shù)為52－20＝32.由頻數(shù)分布表知，鍛煉活動(dòng)的天數(shù)在[15,30]的人數(shù)為31＋11＋6＝48，因?yàn)閰⒓印懊刻戾憻?小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[15,30]的學(xué)生中有30名男生，所以參加“每天鍛煉1小時(shí)”活動(dòng)的天數(shù)在[15,30]的學(xué)生中女生人數(shù)為48－30＝18.列聯(lián)表如下：性別活動(dòng)天數(shù)合計(jì)[0,15)[15,30]男生203050女生321850合計(jì)5248100

考點(diǎn)二概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合問(wèn)題[典例2]

(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率．(2)求第i次投籃的人是甲的概率．

解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是借助概率知識(shí)(如相互獨(dú)立事件的概率公式、條件概率公式等)建立Pn＋1與Pn的遞推關(guān)系，然后利用數(shù)列知識(shí)(一般是構(gòu)造法)求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(2025·煙臺(tái)模擬)某籃球賽事采取四人制形式．在一次戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練中，甲、乙、丙、丁四名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外三人中的任何一人．n次傳球后，記事件“乙、丙、丁三人均接過(guò)傳出來(lái)的球”發(fā)生的概率為Pn.(1)求P3;(2)當(dāng)n＝3時(shí)，記乙、丙、丁三人中接過(guò)傳出來(lái)的球的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

考點(diǎn)三概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)的交匯問(wèn)題

[典例3]

(12分)根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)家庭有X個(gè)孩子的概率模型如下：

該類(lèi)問(wèn)題常以實(shí)際生活中的概率、統(tǒng)計(jì)知識(shí)為背景，將概率、統(tǒng)計(jì)與函數(shù)建模融合在一起，充分借助函數(shù)的性質(zhì)研究相關(guān)問(wèn)題的最值，可能涉及函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，求解時(shí)注意合理轉(zhuǎn)化．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(2021·新高考Ⅱ卷)一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3)．(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)．(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p＝1；當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<1.(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．解：(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.(2)證明：法一(常規(guī)求導(dǎo))：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x＞0，令f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，令g(x)＝f′(x)，則g′(x)＝2p2＋6p3x>0，所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1時(shí)，注意到x∈(0,1]時(shí)，f′(x)≤f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，所以f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，注意到f(1)＝0，所以x＝1，即p＝1.當(dāng)E(X)＝p1＋2p2＋3p3＞1時(shí)，注意到f′(0)＝p1－1＜0，f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1＞0，所以存在唯一的x0∈(0,1)使f′(x0)＝0，且當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x0＜x＜1時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，注意到f(0)＝p0＞0，f(1)＝0，所以f(x0)＜f(1)＝0.所以f(x)在(0，x0)上有一個(gè)零點(diǎn)x1，另一個(gè)零點(diǎn)為1，所以p＝x1＜1.法二(巧妙因式分解)：由題意知p0＋p1＋p2＋p3＝1，E(X)＝p1＋2p2＋3p3，由p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x?p0＋p2x2＋p3x3－(1－p1)x＝0，所以p0＋p2x2＋p3x3－(p0＋p2＋p3)x＝0?p0(1－x)＋p2x(x－1)＋p3x(x－1)·(x＋1)＝0，(x－1)[p3x2＋(p2＋p3)x－p0]＝0，注意到f(0)＝－p0＜0，f(1)＝2p3＋p2－p0＝p1＋2p2＋3p3－1＝E(X)－1，當(dāng)E(X)≤1時(shí)，f(1)≤0，f(x)的正實(shí)根x0≥1，原方程的最小正實(shí)根p＝1，當(dāng)E(X)＞1時(shí)，f(1)＞0，f(x)的正實(shí)根x0＜1，原方程的最小正實(shí)根p＝x0＜1.(3)當(dāng)1個(gè)微生物