2025秋 名師金典新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)53

課時(shí)分層作業(yè)(五十三)(本試卷共102分．單項(xiàng)選擇題每題5分，多項(xiàng)選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項(xiàng)選擇題1．已知點(diǎn)P(x0，y0)為圓C：x2＋y2＝2上的動(dòng)點(diǎn)，則直線l：x0x－y0y＝2與圓C的位置關(guān)系為()A．相交 B．相離C．相切 D．相切或相交C[由題意可得xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2，于是圓心C到直線l的距離d＝eq\f(2,\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)))＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)＝r，所以直線和圓相切．故選C.]2．(2024·北京高考)圓x2＋y2－2x＋6y＝0的圓心到直線x－y＋2＝0的距離為()A．eq\r(2) B．2C．3 D．3eq\r(2)D[化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以該圓的圓心(1，－3)到直線x－y＋2＝0的距離為eq\f(|1－－3＋2|,\r(12＋－12))＝eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2).故選D.]3．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,1)，且與圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝9相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則直線l的方程為()A．x－y－1＝0或7x＋y－15＝0B．x－2y＝0或7x＋y－15＝0C．4x＋3y－11＝0或3x＋4y－10＝0D．4x－3y－5＝0或3x－4y－2＝0A[已知弦長(zhǎng)|AB|＝2，半徑r＝3.根據(jù)垂徑定理知圓心到直線l的距離為d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2).把r＝3，|AB|＝2代入可得d＝eq\r(9－1)＝2eq\r(2).當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l方程為x＝2，此時(shí)圓心C(－1,2)到直線x＝2的距離為2－(－1)＝3≠2eq\r(2)，所以直線l的斜率不存在不滿足條件．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y－2k＋1＝0.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓心C(－1，2)到直線kx－y－2k＋1＝0的距離d＝2eq\r(2)，可得eq\f(|－k－2－2k＋1|,\r(k2＋1))＝2eq\r(2)，即eq\f(|－3k－1|,\r(k2＋1))＝2eq\r(2)，兩邊平方得eq\f(3k＋12,k2＋1)＝8，展開(kāi)得9k2＋6k＋1＝8k2＋8，解得k＝1或k＝－7.當(dāng)k＝1時(shí)，直線l的方程為y－1＝x－2，即x－y－1＝0.當(dāng)k＝－7時(shí)，直線l的方程為y－1＝－7·(x－2)，即7x＋y－15＝0.綜上可得，直線l的方程為x－y－1＝0或7x＋y－15＝0.故選A.]4．已知A，B分別為x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若以AB為直徑的圓與直線2x＋y－4＝0相切，則該圓面積的最小值為()A．eq\f(π,5) B．eq\f(2π,5)C．eq\f(4π,5) D．πC[因?yàn)锳B為圓的直徑，∠AOB＝90°，所以O(shè)點(diǎn)必在圓上．由點(diǎn)O向直線2x＋y－4＝0作垂線，垂足為D(圖略)，當(dāng)點(diǎn)D恰好為圓與直線的切點(diǎn)時(shí)，圓的半徑最小，此時(shí)圓的直徑為O(0,0)到直線2x＋y－4＝0的距離d＝eq\f(|0＋0－4|,\r(22＋12))＝eq\f(4\r(5),5)，即半徑r＝eq\f(2\r(5),5)，所以圓的最小面積Smin＝πr2＝eq\f(4π,5).故選C.]5．若一條光線從點(diǎn)A(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)D[點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2，－3)，由題意知，反射光線所在的直線一定過(guò)點(diǎn)(2，－3)．設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切，得eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).故選D.]6．(2023·新高考Ⅰ卷)過(guò)點(diǎn)(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝()A．1 B．eq\f(\r(15),4)C．eq\f(\r(10),4) D．eq\f(\r(6),4)B[如圖，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝eq\r(5)，所以圓心到點(diǎn)(0，－2)的距離為eq\r(2－02＋0＋22)＝2eq\r(2).由于圓心與點(diǎn)(0，－2)的連線平分角α，所以sineq\f(α,2)＝eq\f(r,2\r(2))＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)，所以coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(6),4)，所以sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝2×eq\f(\r(10),4)×eq\f(\r(6),4)＝eq\f(\r(15),4).故選B.]7．已知直線y＝x＋b與曲線y＝eq\r(1－x2)恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A．[－1,1) B．[1，eq\r(2))C．[－1,1)∪{eq\r(2)} D．(－1,1]∪{－eq\r(2)}C[由y＝eq\r(1－x2)，得x2＋y2＝1(y≥0)表示圓心為(0,0)，半徑為r＝1的上半圓(含半圓端點(diǎn))，如圖，由于直線y＝x＋b與曲線y＝eq\r(1－x2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，圓心到直線y＝x＋b的距離為d＝eq\f(|b|,\r(12＋－12))＝1，解得b＝eq\r(2)或b＝－eq\r(2)(舍去)；當(dāng)直線與半圓相交時(shí)，代入(－1，0)，得0＝－1＋b，解得b＝1，代入(1,0)得0＝1＋b，解得b＝－1，則當(dāng)b∈[－1,1)時(shí)，直線與半圓有一個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為[－1,1)∪{eq\r(2)}．故選C.]8．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|＝2|MO|，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，\f(12,5))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5)))D[因?yàn)閳A心C的橫坐標(biāo)為a，則圓心C的坐標(biāo)為(a,2a－4)，所以圓C的方程為(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1.設(shè)M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，可得eq\r(x2＋y－32)＝2eq\r(x2＋y2)，整理得x2＋(y＋1)2＝4，則圓(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1與圓x2＋(y＋1)2＝4有公共點(diǎn)，則2－1≤eq\r(0－a2＋－1－2a＋42)≤2＋1，即1≤5a2－12a＋9≤9，解得0≤a≤eq\f(12,5).故選D.]二、多項(xiàng)選擇題9．(2025·濱州模擬)已知圓O：x2＋y2＝4，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)·x＋(m＋1)y－7m－4＝0，P(2,4)，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.下列說(shuō)法正確的是()A．圓C與圓O相交B．直線l過(guò)定點(diǎn)(3,1)C．圓C被直線l截得的弦長(zhǎng)的最小值為4eq\r(5)D．直線AB的方程為x＋2y－2＝0BCD[由圓O：x2＋y2＝4，得圓心O(0,0)，半徑r1＝2，由圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，得圓心C(1,2)，半徑r2＝5，則兩圓心之間的距離eq\r(5)<5－2＝3，所以圓C與圓O內(nèi)含，故A錯(cuò)誤；l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，所以2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))所以直線l過(guò)定點(diǎn)Q(3,1)，故B正確；當(dāng)直線l與CQ垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，則圓心C到直線l的距離為d＝|CQ|＝eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)，所以最小弦長(zhǎng)為2eq\r(r\o\al(2,2)－d2)＝2eq\r(25－5)＝4eq\r(5)，故C正確；過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則P，A，O，B四點(diǎn)所在圓的圓心為PO的中點(diǎn)(1,2)，半徑為eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以P，A，O，B四點(diǎn)所在圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝5，故直線AB為圓(x－1)2＋(y－2)2＝5與圓O：x2＋y2＝4的公共弦，(x－1)2＋(y－2)2＝5與圓O：x2＋y2＝4兩式相減得x＋2y－2＝0，故D正確．故選BCD.]10．(2021·新高考Ⅰ卷)已知點(diǎn)P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點(diǎn)A(4,0)，B(0,2)，則()A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2C．當(dāng)∠PBA最小時(shí)，|PB|＝3eq\r(,2)D．當(dāng)∠PBA最大時(shí)，|PB|＝3eq\r(,2)ACD[設(shè)圓(x－5)2＋(y－5)2＝16的圓心為M(5,5)，由題易知直線AB的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，則圓心M到直線AB的距離d＝eq\f(|5＋2×5－4|,\r(,5))＝eq\f(11,\r(,5))＞4，所以直線AB與圓M相離，所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為4＋d＝4＋eq\f(11,\r(,5))，4＋eq\f(11,\r(,5))＜5＋eq\r(,\f(125,5))＝10，故A正確；易知點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值為d－4＝eq\f(11,\r(,5))－4，eq\f(11,\r(,5))－4＜eq\r(,\f(125,5))－4＝1，故B錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)B作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為N，Q，如圖所示，連接MB，MN，MQ，則當(dāng)∠PBA最小時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)N重合，|PB|＝eq\r(,|MB|2－|MN|2)＝eq\r(,52＋5－22－42)＝3eq\r(,2)，當(dāng)∠PBA最大時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，|PB|＝3eq\r(,2)，故C，D都正確．故選ACD.]三、填空題11．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“△ABC面積為eq\f(8,5)”的m的一個(gè)值：________.2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一個(gè)均可))[設(shè)直線x－my＋1＝0為直線l，由條件知⊙C的圓心C(1,0)，半徑R＝2，C到直線l的距離d＝eq\f(2,\r(1＋m2))，|AB|＝2eq\r(R2－d2)＝2eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(1＋m2))))2)＝eq\f(4|m|,\r(1＋m2)).由S△ABC＝eq\f(8,5)，得eq\f(1,2)×eq\f(4|m|,\r(1＋m2))×eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(8,5)，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±eq\f(1,2).故答案可以為2.]12．(2025·青島模擬)已知圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)只有一條公切線，則a＋b的最小值為_(kāi)_______.－eq\r(2)[圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0的圓心C1(－a,0)，半徑r1＝2，圓C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0的圓心C2(0，b)，半徑r2＝1，由兩個(gè)圓只有一條公切線可得兩個(gè)圓內(nèi)切，圓心距|C1C2|＝eq\r(a2＋b2)＝2－1＝1，所以可得a2＋b2＝1.設(shè)a＝cosα，b＝sinα，α∈R，所以a＋b＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，當(dāng)且僅當(dāng)α＋eq\f(π,4)＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即α＝－eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z時(shí)，a＋b的最小值為－eq\r(2).]13．已知點(diǎn)P為直線l：x－y＋1＝0上的動(dòng)點(diǎn)，若在圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1上存在兩點(diǎn)M，N，使得∠MPN＝60°，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為_(kāi)__________．[0,2][圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1的圓心為C(2，1)，半徑r＝1，當(dāng)PM，PN與圓C相切且∠MPN＝60°時(shí)，|PC|＝2r＝2.以C(2,1)為圓心，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x－22＋y－12＝4，))消去y并化簡(jiǎn)，得x2－2x＝0，解得x＝0或x＝2，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為[0,2]．]14．已知⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：x＋2y＋2＝0，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作⊙C的切線MA，MB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)四邊形MACB的面積取最小值時(shí)，直線AB的方程為_(kāi)_______.x＋2y＋1＝0[⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4，則圓心C(1,1)，半徑r＝2.因?yàn)樗倪呅蜯ACB的面積S＝2S△CAM＝|CA|·|AM|＝2|AM|＝2eq\r(|CM|2－4)，所以要使四邊形MACB的面積最小，則需|CM|最小，此時(shí)CM與直線l垂直，直線CM的方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x＋2y＋2＝0，))解得M(0，－1)．則|CM|＝eq\r(5)，所以以CM為直徑的圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2＝eq\f(5,4).與⊙C的方程作差可得直線AB的方程為x＋2y＋1＝0.]四、解答題15．(15分)已知圓C：(x＋2)2＋y2＝1，直線x－y＋m＝0與圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)若|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)求eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))的取值范圍(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．解：(1)由題意得，圓心C(－2,0)，r＝1，圓心到直線x－y＋m＝0的距離d＝eq\f(|－2＋m|,\r(2))＝eq\f(|m－2|,\r(2))<1，則2－eq\r(2)<m<2＋eq\r(2).又因?yàn)閨eq\o(EF,\s\up6(→))|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(m－22,2))＝eq\r(3)，解得m＝2＋eq\f(\r(2),2)或m＝2－eq\f(\r(2),2)，所以m的值為2＋eq\f(\r(2),2)或2－eq\f(\r(2),2).(2)設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋22＋y2＝1，,x－y＋m＝0，))得2x2＋2(m＋2)x＋3＋m2＝0.由題意得Δ＝4(m＋2)2－8(3＋m2)>0，即2－eq\r(2)<m<2＋eq\r(2).由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝－m－2，x1x2＝eq\f(3＋m2,2)，eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)·(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝m2－2m＋3＝(m－1)2＋2.又因?yàn)?－eq\r(2)<m<2＋eq\r(2)，所以當(dāng)m＝1時(shí)，eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))有最小值2，當(dāng)m＝2＋eq\r(2)時(shí)，eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))有最大值5＋2eq\r(2)，故eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(OF,\s\up6(→))的取值范圍為[2,5＋2eq\r(2))．16．(15分)(2021·全國(guó)甲卷)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x＝1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ.已知點(diǎn)M(2,0)，且⊙M與l相切．(1)求C，⊙M的方程；(2)設(shè)A1，A2，A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切．判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．解：(1)由題意，直線x＝1與C交于P，Q兩點(diǎn)，且OP