2025秋 名師金典新課標高考總復習 數學 課時分層作業(yè)32

課時分層作業(yè)(三十二)(本試卷共82分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．下列命題正確的是()A．|a|＝|b|?a＝b B．a≠b?|a|≠|b|C．a∥b?a＝b D．|a|＝0?a＝0D[對于A，兩個向量的模相等，但方向不一定相同，所以錯誤；對于B，若兩個向量是相反向量，則兩個向量的模相等，所以錯誤；對于C，向量平行不能得到向量相等，所以錯誤；對于D，若一個向量的模等于0，則這個向量是0，所以正確．]2．(2025·濟南模擬)在△ABC中，E為邊AB的中點，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D[如圖，因為E為邊AB的中點，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).故選D.]3．(2025·聊城模擬)設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，任意一點P關于點A的對稱點為M，關于點B的對稱點為N，則eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A．－a＋b B．a＋bC．2a－2b D．－2a＋2bD[如圖，由題意可知，A，B分別為PM，PN的中點，則MN∥AB，且MN＝2AB，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－2a＋2b.故選D.]4．已知a，b是兩個不共線的平面向量，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a－μb(λ，μ∈R)，若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，則有()A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1C[因為eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，所以存在實數k使eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→)).因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a－μb(λ，μ∈R)，所以λa＋b＝k(a－μb)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,1＝－kμ，))所以λμ＝－1.故選C．]5．對于平面內n個起點相同的單位向量ai(i＝1，2，…，n，n＝2k，k∈N*)，若每個向量與其相鄰向量的夾角均為eq\f(2π,n)，則a1與a2＋…＋an的位置關系為()A．垂直 B．反向平行C．同向平行 D．無法確定B[根據題意可得a1＋a2＋…＋an＝0，所以a2＋…＋an＝－a1，所以a1與a2＋…＋an的位置關系為反向平行．故選B．]6．若向量a，b滿足|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列結論一定正確的是()A．a＝0B．存在實數λ，使得a＝λbC．存在實數m，n，使得ma＝nbD．|a－b|＝|a|－|b|C[當a≠0且b≠0時，由|a＋b|＝|a|＋|b|，可知a，b共線，且同向，故存在實數λ，使得a＝λb(λ>0)，令λ＝eq\f(n,m)，其中m，n同號，即a＝eq\f(n,m)b，即ma＝nb，則存在實數m，n，使得ma＝nb，當a≠0，b＝0時，選項A，B錯誤；當a＝0，b≠0時，|a－b|≠|a|－|b|，故D錯誤．故選C．]7．P是△ABC所在平面上一點，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，△ABC的面積是S1，△PAB的面積是S2，則()A．S1＝4S2 B．S1＝3S2C．S1＝2S2 D．S1＝S2B[因為eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))，所以3eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))且方向相同，設AP與BC的距離為h，因為S△PAB＝eq\f(1,2)|eq\o(AP,\s\up6(→))|·h，S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|·h，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝3|eq\o(AP,\s\up6(→))|，所以S△PAB＝eq\f(1,3)S△ABC，S1＝3S2.]8．如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，且eq\o(FC,\s\up6(→))＝λeq\o(FD,\s\up6(→))＋μeq\o(FE,\s\up6(→))，則λ＋μ等于()A．1 B．2C．3 D．4D[因為eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝4eq\o(FO,\s\up6(→))＝4×eq\f(1,2)(eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))，所以λ＝μ＝2，所以λ＋μ＝4.]二、多項選擇題9．已知M為△ABC的重心，D為BC的中點，則下列等式成立的是()A．|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(MC,\s\up6(→))|B．eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0C．eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))D．S△MBC＝eq\f(1,3)S△ABCBD[如圖，M為△ABC的重心，則eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，A錯誤，B正確；eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，C錯誤；由DM＝eq\f(1,3)AD得S△MBC＝eq\f(1,3)S△ABC，D正確．]10．(2025·濱州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，E為CD的中點，BE與AC交于點F，BD與AC交于點G，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則下列結論正確的是()A．eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))B．eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))C．eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)bD．若eq\o(BF,\s\up6(→))＝λa＋μb，則2λ－μ＝－1AC[對于選項A，因為eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，所以AD∥BC，且AD＝eq\f(1,2)BC，所以GD＝eq\f(1,2)BG＝eq\f(1,3)BD，所以eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，故選項A正確；對于選項B，若eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))，則F為CG的中點，因為E為CD的中點，所以EF∥DG，與EF，DG相交于點B矛盾，故選項B錯誤；對于選項C，因為E為CD的中點，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2b＋b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b，故選項C正確；對于選項D，法一：由題意可設eq\o(AF,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))，m∈(0,1)，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝m(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(m－1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋meq\o(BC,\s\up6(→))＝(m－1)a＋2mb，又eq\o(BF,\s\up6(→))＝λa＋μb，所以λ＝m－1，μ＝2m，所以2λ－μ＝2(m－1)－2m＝－2，故選項D錯誤．法二：因為A，F，C三點共線，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，且x＋y＝1，又xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝－xa＋2yb，eq\o(BF,\s\up6(→))＝λa＋μb，所以λ＝－x，μ＝2y,2λ－μ＝－2，故選項D錯誤．故選AC．]三、填空題11．e1，e2是兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2且A，B，D三點共線，則實數k＝________.－8[依題意得，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－e1－3e2，于是eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－e1－3e2＋2e1－e2＝e1－4e2，由A，B，D三點共線可知，存在λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，由e1，e2是兩個不共線的向量，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,k＝－4λ，))解得k＝－8.]12．如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交AB，AC所在直線于不同的兩點M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n的值為________.2[連接AO(圖略)，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→))，因為M，O，N三點共線，所以eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，所以m＋n＝2.]13．在△ABC中，E為AC上一點，eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))，P為線段BE上任一點(不含端點)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值是()A．8 B．10C．13 D．16D[由題意，如圖，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AE,\s\up6(→))，且0<λ<1，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1－λ,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝λ，,y＝\f(1－λ,3)，))且0<λ<1，故eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,λ)＋\f(9,1－λ)))[λ＋(1－λ)]＝10＋eq\f(1－λ,λ)＋eq\f(9λ,1－λ)≥10＋2eq\r(\f(1－λ,λ)·\f(9λ,1－λ))＝16，當且僅當eq\f(1－λ,λ)＝eq\f(9λ,1－λ)，即λ＝eq\f(1,4)時等號成立．所以eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值是16.故選D.]14．在平面上有△ABC及內一點O滿足關系式：S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即稱為經典的“奔馳定理”．已知點O是△ABC所在平面內一點，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則O為△ABC的()A．外心 B．內心C．重心 D．垂心B[記點O到AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，S△OBC＝eq\f(1,2)a·h2，S△OAC＝eq\f(1,2)b·h3，S△OAB＝eq\f(1,2)c·h1，因為S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq\f(1,2)a·h2·eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)b·h3·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)c·h1·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即a·h2·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·h3·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·h1·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.又因為a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以h1＝h2＝h3，所以點O是△ABC的內心．故選B．]15．如圖，邊長為2的等邊三角形ABC的外接圓為圓O，P為圓O上任一點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則2x＋2y的最大值為()A．eq\f(8,3) B．2C．eq\f(4,3) D．1A[(等和線定理)作BC的平行線與圓相切于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，如圖，設eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，則λ＋μ＝1，因為BC∥EF，所以eq\f(AE,AB)＝eq\f(AF,AC)＝eq\f(4,3)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)μeq\o(AC,\s\up6(→))，所以2x＋2y＝eq\f(8,3)(λ＋μ)＝eq\f(8,3).故選A．]16．(2025·日照模擬)若點M是△ABC所在平面內一點，且滿足eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則△ABM與△ABC的面積之比為________；若N為AB的中點，AM與CN交于點O，設eq\o(BO,\s\up6(→))＝x