高中數(shù)學(xué)選修21常用邏輯用語示范

1.2充足條件與必要條件自主學(xué)習(xí)新知突破1．理解充足條件、必要條件、充要條件的意義．2．會(huì)求(鑒定)某些簡樸命題的條件關(guān)系．請(qǐng)同窗們判斷命題的真假，并闡明條件和結(jié)論有什么關(guān)系？若a＝0，則ab＝0.[提示]要使結(jié)論ab＝0成立，只要有條件a＝0就足夠了，“足夠”就是“充足”的意思，因此稱a＝0是ab＝0的充足條件．另首先如果ab≠0，也不可能有a＝0，也就是要使a＝0，必須含有ab＝0的條件，因此我們稱ab＝0是a＝0的必要條件．充足條件、必要條件的概念對(duì)充足條件和必要條件的關(guān)系的理解p是q的充足條件，就是p足以確保q成立，這種狀況下，也能夠理解為：q是p成立的必不可少的條件，即q是必要的，因此q是p的必要條件，由此可見判斷充足條件或者必要條件實(shí)質(zhì)上就是要判斷命題“若p，則q”(或者其逆命題)的真假，即判斷p能否推出q(或者q能否推出p)．充要條件的概念對(duì)充要條件的理解(1)根據(jù)充要條件的意義，如果原命題“若p，則q”及其逆命題“若q，則p”都是真命題，那么p，q互為充要條件．(2)我們懂得，命題“若p，則q”的條件為p，結(jié)論為q，而在四種命題的關(guān)系以及充足條件、必要條件、充要條件的意義中，命題的條件與結(jié)論是相對(duì)而言的，這一點(diǎn)要靈活理解．(3)總而言之，原命題“若p，則q”，逆命題為“若q，則p”，則p與q的關(guān)系有下列四種情形：原命題逆命題p，q的關(guān)系真假p是q的充分不必要條件q是p的必要不充分條件假真p是q的必要不充分條件q是p的充分不必要條件真真p與q互為充要條件假假p是q的既不充分也不必要條件q是p的既不充分也不必要條件答案：A2．已知a，b，c∈R，“2b＝a＋c”是“a，b，c成等差數(shù)列”的()A．充足不必要條件 B．必要不充足條件C．充要條件 D．既不充足也不必要條件解析：2b＝a＋c?a，b，c成等差數(shù)列．∴“2b＝a＋c”是“a，b，c成等差數(shù)列”的充要條件．答案：C3．若p：x(x－3)<0是q：2x－3<m的充足不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范疇是________．4．在下列各題中，哪些p是q的充要條件？(1)p：a>b，q：a2>b2；(2)p：兩直線平行，q：內(nèi)錯(cuò)角相等；(3)p：直線l與平面α所成角大小為90°，q：l⊥α；(4)函數(shù)f(x)＝logax(a>1)，p：f(x1)>f(x2)，q：x1>x2>0.解析：在(1)中，p?/q，q?/p，因此(1)中的p不是q的充要條件．在(2)(3)(4)中，p?q，因此(2)(3)(4)中的p是q的充要條件．合作探究課堂互動(dòng) 已知p，q都是r的必要條件，s是r的充足條件，q是s的充足條件，那么：(1)s是q的什么條件？(2)r是q的什么條件？(3)p是q的什么條件？充足條件、必要條件、充要條件的判斷解析：由圖可知：(1)由于q?s，s?r?q，因此s是q的充要條件．(2)由于r?q，q?s?r，因此r是q的充要條件．(3)由于q?r，r?p，∴q?p.從而可知p是q的必要不充足條件． (1)如果命題“若p，則q”為真命題，即p?q，那么p是q的充足條件，同時(shí)q是p的必要條件．如果命題“若p，則q”為假命題，即p?q，那么p不是q的充足條件，同時(shí)q也不是p的必要條件．(2)普通地，若p?q且q?p，則p是q的充足不必要條件；若p?q且q?p，則p是q的必要不充足條件；若p?q且q?p，則p是q的充足條件也是必要條件；若p?q且q?p，則p是q的既不充足也不必要條件．

1．指出下列各題中p是q的什么條件(在“充足不必要條件”、“必要不充足條件”、“充要條件”、“既不充足又不必要條件”中選出一種作答)．(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形全等；(3)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(4)p：a>b，q：ac>bc.解析：(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0?x－3＝0，故p是q的充足不必要條件；(2)兩個(gè)三角形相似?兩個(gè)三角形全等，但兩個(gè)三角形全等?兩個(gè)三角形相似，故p是q的必要不充足條件；(3)在△ABC中，∠A>∠B?BC>ACBC>AC?∠A>∠B.∴p是q的充要條件．(4)a>b?ac>bc，且ac>bc?a>b，故p是q的既不充足又不必要條件． 已知條件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，條件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，當(dāng)a為什么值時(shí)：(1)p是q的充足不必要條件；(2)p是q的必要不充足條件；(3)p是q的充要條件．思路點(diǎn)撥：化簡集合A，B，注意p?q與A?B的等價(jià)性．運(yùn)用條件的充足、必要性擬定參數(shù)的范疇 由p：A＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，由q：B＝[1,2]．(1)∵p是q的充足不必要條件，∴A?B且A≠B，故A＝[1，a]?1≤a<2.(2)∵p是q的必要不充足條件，∴B?A且A≠B，故A＝[1，a]且a>2?a>2.(3)∵p是q的充要條件，∴A＝B?a＝2.

從集合與集合之間關(guān)系看充足條件、必要條件p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.

特別提示：在根據(jù)集合之間的關(guān)系判斷充足條件和必要條件時(shí)，要注意A?B與AB對(duì)成果的影響是不同的．2．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充足條件，求a的取值范疇． 一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一種正根和一種負(fù)根的充足不必要條件是()A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)>0C．a(chǎn)<－1 D．a(chǎn)>1求條件(充足條件、必要條件或充要條件)答案：C 直接找充足不必要條件較困難，能夠先求出方程有一種正根和一種負(fù)根的充要條件，再用集正當(dāng)擬定對(duì)的答案．

3．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充足不必要條件，如何求實(shí)數(shù)m的取值范疇？

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝aqn＋b(a，b，q都是常數(shù)，且a≠0，q≠0，q≠1)．求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件是a＋b＝0.充足條件和必要條件的證明 證明：(1)充足性：由已知Sn＝aqn＋b，∵a＋b＝0，∴Sn＝aqn－a.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝aq1－a＝a(q－1). 2分當(dāng)n>1時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝aqn－a－(aqn－1－a)＝aqn－aqn－1＝a(q－1)qn－1.顯然a1＝a(q－1)滿足上式，故n∈N＋時(shí)，an＝a(q－1)qn－1. 5分因此{(lán)an}是以a1＝a(q－1)為首項(xiàng)，以q為公比的等比數(shù)列. 6分

證明時(shí)要分清命題中的條件和結(jié)論，避免將充足性和必要性顛倒，至于先證充足性還是必要性無關(guān)緊要．“條件?結(jié)論”是證充足性，“結(jié)論?條件”是證必要性．

4．求證：有關(guān)x的方程ax2＋bx＋c＝0有一種根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.證明：先證必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一種根為1，∴x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0，∴必要性成立．再證充足性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝