高考數(shù)學(xué)考情分析命題分析知識(shí)總結(jié)真題演練名校模擬第十七講拋物線(xiàn)二大考向(原卷版)_第1頁(yè)
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第十七講拋物線(xiàn)(二大考向)一:考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對(duì)拋物線(xiàn)的考查,重點(diǎn)是(1)拋物線(xiàn)的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程。(2)拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率)。(3)直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系及綜合應(yīng)用。拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)2024·新高考Ⅱ卷,10拋物線(xiàn)的定義、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合運(yùn)用2022·新高考Ⅰ卷,112022·新高考Ⅱ卷,102023·新高考Ⅱ卷,10二:2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷未考查拋物線(xiàn),Ⅱ卷考查了拋物線(xiàn)與直線(xiàn)、圓知識(shí)點(diǎn)的綜合,涉及到拋物線(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)主要有準(zhǔn)線(xiàn)和定義,難度適中。拋物線(xiàn)是高考考查的熱點(diǎn),其中拋物線(xiàn)的定義、方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)及其幾何性質(zhì)的應(yīng)用是考查的重點(diǎn)。而且拋物線(xiàn)在多選題中考查的比較頻繁,考生可以多多加強(qiáng)練習(xí)。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查拋物線(xiàn)的定義和直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合運(yùn)用。三:試題精講一、多選題1.(2024新高考Ⅱ卷·10)拋物線(xiàn)C:的準(zhǔn)線(xiàn)為l,P為C上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作的一條切線(xiàn),Q為切點(diǎn),過(guò)P作l的垂線(xiàn),垂足為B,則(

)A.l與相切B.當(dāng)P,A,B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),C.當(dāng)時(shí),D.滿(mǎn)足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)高考真題練一、多選題1.(2022新高考Ⅰ卷·11)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交C于P,Q兩點(diǎn),則(

)A.C的準(zhǔn)線(xiàn)為 B.直線(xiàn)AB與C相切C. D.2.(2022新高考Ⅱ卷·10)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與C交于A,B兩點(diǎn),其中A在第一象限,點(diǎn),若,則(

)A.直線(xiàn)的斜率為 B.C. D.3.(2023新高考Ⅱ卷·10)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),且與C交于M,N兩點(diǎn),l為C的準(zhǔn)線(xiàn),則(

).A. B.C.以MN為直徑的圓與l相切 D.為等腰三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、拋物線(xiàn)的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn),定點(diǎn)叫拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),定直線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn).注:若在定義中有,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為的垂線(xiàn),垂足為點(diǎn).二、拋物線(xiàn)的方程、圖形及性質(zhì)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式:,,,,其中一次項(xiàng)與對(duì)稱(chēng)軸一致,一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)范圍,,,,對(duì)稱(chēng)軸軸軸焦點(diǎn)離心率準(zhǔn)線(xiàn)方程焦半徑【拋物線(xiàn)常用結(jié)論】1、點(diǎn)與拋物線(xiàn)的關(guān)系(1)在拋物線(xiàn)內(nèi)(含焦點(diǎn)).(2)在拋物線(xiàn)上.(3)在拋物線(xiàn)外.2、焦半徑拋物線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為焦半徑,若,則焦半徑,.3、的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離,即焦準(zhǔn)距,越大,拋物線(xiàn)開(kāi)口越大.4、焦點(diǎn)弦若為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦,,,則有以下結(jié)論:(1).(2).(3)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式1:,,當(dāng)時(shí),焦點(diǎn)弦取最小值,即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短,其長(zhǎng)度為.焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式2:(為直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的夾角).(4)的面積公式:(為直線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的夾角).5、拋物線(xiàn)的弦若AB為拋物線(xiàn)的任意一條弦,,弦的中點(diǎn)為,則(1)弦長(zhǎng)公式:(2)(3)直線(xiàn)AB的方程為(4)線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為6、求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)的快速方法(法)(1)焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)為(2)焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)為如,即,焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為(參數(shù))8、切線(xiàn)方程和切點(diǎn)弦方程拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程為,為切點(diǎn)切點(diǎn)弦方程為,點(diǎn)在拋物線(xiàn)外與中點(diǎn)弦平行的直線(xiàn)為,此直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相離,點(diǎn)(含焦點(diǎn))是弦AB的中點(diǎn),中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線(xiàn)的斜率相等,用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果.9、拋物線(xiàn)的通徑過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的弦叫做拋物線(xiàn)的通徑.對(duì)于拋物線(xiàn),由,,可得,故拋物線(xiàn)的通徑長(zhǎng)為.10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線(xiàn)的斜率的關(guān)系:11、焦點(diǎn)弦的??夹再|(zhì)已知、是過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的弦,是的中點(diǎn),是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn),,為垂足.(1)以為直徑的圓必與準(zhǔn)線(xiàn)相切,以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切;(2),(3);(4)設(shè),為垂足,則、、三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上名校模擬練一、單選題1.(2024·重慶·三模)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)在第一象限,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),且,則直線(xiàn)的斜率為(

)A. B. C.1 D.-12.(2024·河南·三模)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在上.若以為圓心,為半徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為,則該圓的面積為(

)A. B. C. D.3.(2024·山東濟(jì)南·二模)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)為是上一點(diǎn),是直線(xiàn)與的一個(gè)交點(diǎn),若,則(

)A. B.3 C. D.24.(2024·北京順義·三模)設(shè)M是拋物線(xiàn)上的一點(diǎn),F(xiàn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),O足坐標(biāo)原點(diǎn),若,則(

)A.5 B.4 C.3 D.25.(2024·江西景德鎮(zhèn)·三模)過(guò)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)作圓:的切線(xiàn),切點(diǎn)為,,則可能的取值是(

)A.1 B.4 C. D.56.(2024·河北張家口·三模)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,O為原點(diǎn),直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于M,N兩點(diǎn),且,則(

)A.12 B.13 C.14 D.157.(2024·新疆·三模)已知拋物線(xiàn)C:的焦點(diǎn)為F,在拋物線(xiàn)C上存在四個(gè)點(diǎn)P,M,Q,N,若弦與弦的交點(diǎn)恰好為F,且,則(

)A. B.1 C. D.28.(2024·山西運(yùn)城·三模)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,動(dòng)點(diǎn)在上,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),則的最小值為(

)A. B. C. D.二、多選題9.(2024·廣東汕頭·三模)已知拋物線(xiàn):的焦點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在上,若定點(diǎn)滿(mǎn)足,則(

)A.的準(zhǔn)線(xiàn)方程為 B.周長(zhǎng)的最小值為5C.四邊形可能是平行四邊形 D.的最小值為10.(2024·黑龍江·二模)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為,過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線(xiàn),與拋物線(xiàn)分別交于點(diǎn),和點(diǎn),,則(

)A.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是B.過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為C.若弦的中點(diǎn)為,則直線(xiàn)的方程為D.四邊形面積的最小值為11.(2024·遼寧大連·一模)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A,兩點(diǎn),點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),下列結(jié)論正確的是(

)A.存在點(diǎn)A、,使B.若點(diǎn)是弦的中點(diǎn),則點(diǎn)M到直線(xiàn)的距離的最小值為C.平分D.以為直徑的圓與軸相切12.(2024·河北·二模)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為的拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn),過(guò)且與垂直的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的另一交點(diǎn)為,則(

)A. B.C. D.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)13.(2024·河南·二模)已知是坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn),其中在第一象限,若,點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,則(

)A.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為 B.C.直線(xiàn)的傾斜角為 D.14.(2024·河北滄州·二模)已知為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),直線(xiàn)過(guò)且與交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),為上一點(diǎn),且,則(

)A.過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有3條B.當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí),C.為鈍角三角形D.的最小值為15.(2024·湖北襄陽(yáng)·二模)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,為其上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí),,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn),下列結(jié)論正確的是(

)A.拋物線(xiàn)的方程為:B.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為:C.當(dāng)直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)時(shí),以AF為直徑的圓與軸相切D.16.(2024·河北·三模)已知F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),,為拋物線(xiàn)上不同的兩動(dòng)點(diǎn),分別過(guò)M,N作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn),兩切線(xiàn)交于點(diǎn)P,則(

)A.若,則直線(xiàn)MN的傾斜角為B.直線(xiàn)PM的方程為C.若線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為Q,則直線(xiàn)PQ平行于y軸D.若點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上,則17.(2024·黑龍江佳木斯·三模)過(guò)拋物線(xiàn)C:上的一點(diǎn)作兩條直線(xiàn),,分別交拋物線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn),F(xiàn)為焦點(diǎn)(

)A.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為B.過(guò)點(diǎn)與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有1條C.若,則D.若,則18.(2024·安徽·三模)已知拋物線(xiàn)和的焦點(diǎn)分別為,動(dòng)直線(xiàn)與交于兩點(diǎn),與交于兩點(diǎn),其中,且當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),,則下列說(shuō)法中正確的是(

)A.的方程為B.已知點(diǎn),則的最小值為3C.D.若,則與的面積相等三、填空題19.(2024·北京·三模)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,則的坐標(biāo)為;過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn),若,則的面積為.20.(2024·北京·三模)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為A,點(diǎn)B在C上.若,則直線(xiàn)AB的方程為.21.(2024·安徽·二模)已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),直線(xiàn)過(guò)與拋物線(xiàn)交于,兩點(diǎn),若,則直線(xiàn)的方程為,的面積為(為坐標(biāo)原點(diǎn)).22.(2024·陜西榆林·三模)若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)和圓從左到右依次交于點(diǎn),則.23.(2024·四川自貢·三模)已知圓的圓心是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),直線(xiàn)與圓相交于,兩點(diǎn),,則圓的半徑為.24.(2024·河北石家莊·二模)設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)為.斜率為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn),交于點(diǎn),交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)(,在軸的兩側(cè)),

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