高考數(shù)學考情分析命題分析知識總結(jié)真題演練名校模擬第十七講拋物線二大考向（原卷版）

第十七講拋物線（二大考向)一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計1.高考對拋物線的考查，重點是（1）拋物線的定義、幾何圖形、標準方程。（2）拋物線的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）。（3）直線和拋物線的位置關(guān)系及綜合應(yīng)用。拋物線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)2024·新高考Ⅱ卷，10拋物線的定義、直線與拋物線的綜合運用2022·新高考Ⅰ卷，112022·新高考Ⅱ卷，102023·新高考Ⅱ卷，10二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷未考查拋物線，Ⅱ卷考查了拋物線與直線、圓知識點的綜合，涉及到拋物線的知識點主要有準線和定義，難度適中。拋物線是高考考查的熱點，其中拋物線的定義、方程、焦點、準線及其幾何性質(zhì)的應(yīng)用是考查的重點。而且拋物線在多選題中考查的比較頻繁，考生可以多多加強練習。預(yù)計2025年高考還是主要考查拋物線的定義和直線與拋物線的綜合運用。三：試題精講一、多選題1．（2024新高考Ⅱ卷·10）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當P，A，B三點共線時，C．當時，D．滿足的點有且僅有2個高考真題練一、多選題1．（2022新高考Ⅰ卷·11）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（

）A．C的準線為 B．直線AB與C相切C． D．2．（2022新高考Ⅱ卷·10）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．3．（2023新高考Ⅱ卷·10）設(shè)O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形知識點總結(jié)一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線．注：若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點．二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)拋物線的標準方程有4種形式：，，，，其中一次項與對稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向圖形標準方程頂點范圍，，，，對稱軸軸軸焦點離心率準線方程焦半徑【拋物線常用結(jié)論】1、點與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）．（2）在拋物線上．（3）在拋物線外．2、焦半徑拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點到準線的距離，即焦準距，越大，拋物線開口越大．4、焦點弦若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結(jié)論：（1）．（2）．（3）焦點弦長公式1：，，當時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為．焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．5、拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點為，則（1）弦長公式：（2）（3）直線AB的方程為（4）線段AB的垂直平分線方程為6、求拋物線標準方程的焦點和準線的快速方法（法）（1）焦點為，準線為（2）焦點為，準線為如，即，焦點為，準線方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8、切線方程和切點弦方程拋物線的切線方程為，為切點切點弦方程為，點在拋物線外與中點弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結(jié)果．9、拋物線的通徑過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．10、弦的中點坐標與弦所在直線的斜率的關(guān)系：11、焦點弦的?？夹再|(zhì)已知、是過拋物線焦點的弦，是的中點，是拋物線的準線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設(shè)，為垂足，則、、三點在一條直線上名校模擬練一、單選題1．（2024·重慶·三模）已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于A，B兩點，點在第一象限，點為坐標原點，且，則直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．-12．（2024·河南·三模）已知拋物線的焦點為，點在上．若以為圓心，為半徑的圓被軸截得的弦長為，則該圓的面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·山東濟南·二模）已知拋物線的焦點為，準線為是上一點，是直線與的一個交點，若，則（

）A． B．3 C． D．24．（2024·北京順義·三模）設(shè)M是拋物線上的一點，F(xiàn)是拋物線的焦點，O足坐標原點，若，則（

）A．5 B．4 C．3 D．25．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）過拋物線上的一點作圓：的切線，切點為，，則可能的取值是（

）A．1 B．4 C． D．56．（2024·河北張家口·三模）已知拋物線的焦點為F，O為原點，直線與該拋物線交于M，N兩點，且，則（

）A．12 B．13 C．14 D．157．（2024·新疆·三模）已知拋物線C：的焦點為F，在拋物線C上存在四個點P，M，Q，N，若弦與弦的交點恰好為F，且，則（

）A． B．1 C． D．28．（2024·山西運城·三模）已知拋物線的焦點為，動點在上，點與點關(guān)于直線對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線：的焦點為，為坐標原點，動點在上，若定點滿足，則（

）A．的準線方程為 B．周長的最小值為5C．四邊形可能是平行四邊形 D．的最小值為10．（2024·黑龍江·二模）拋物線的焦點到準線的距離為，過拋物線的焦點作兩條互相垂直的直線，與拋物線分別交于點，和點，，則（

）A．拋物線的準線方程是B．過拋物線的焦點的最短弦長為C．若弦的中點為，則直線的方程為D．四邊形面積的最小值為11．（2024·遼寧大連·一模）已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于A，兩點，點為坐標原點，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點A、，使B．若點是弦的中點，則點M到直線的距離的最小值為C．平分D．以為直徑的圓與軸相切12．（2024·河北·二模）已知為坐標原點，焦點為的拋物線過點，過且與垂直的直線與拋物線的另一交點為，則（

）A． B．C． D．直線與拋物線的準線相交于點13．（2024·河南·二模）已知是坐標原點，過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，其中在第一象限，若，點在拋物線上，則（

）A．拋物線的準線方程為 B．C．直線的傾斜角為 D．14．（2024·河北滄州·二模）已知為拋物線的焦點，直線過且與交于兩點，為坐標原點，為上一點，且，則（

）A．過點且與拋物線僅有一個公共點的直線有3條B．當?shù)拿娣e為時，C．為鈍角三角形D．的最小值為15．（2024·湖北襄陽·二模）拋物線的焦點為，為其上一動點，當運動到時，，直線與拋物線相交于兩點，下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的方程為：B．拋物線的準線方程為：C．當直線過焦點時，以AF為直徑的圓與軸相切D．16．（2024·河北·三模）已知F為拋物線的焦點，，為拋物線上不同的兩動點，分別過M，N作拋物線C的切線，兩切線交于點P，則（

）A．若，則直線MN的傾斜角為B．直線PM的方程為C．若線段MN的中點為Q，則直線PQ平行于y軸D．若點P在拋物線C的準線上，則17．（2024·黑龍江佳木斯·三模）過拋物線C：上的一點作兩條直線，，分別交拋物線C于A，B兩點，F(xiàn)為焦點（

）A．拋物線的準線方程為B．過點與拋物線有且只有一個公共點的直線有1條C．若，則D．若，則18．（2024·安徽·三模）已知拋物線和的焦點分別為，動直線與交于兩點，與交于兩點，其中，且當過點時，，則下列說法中正確的是（

）A．的方程為B．已知點，則的最小值為3C．D．若，則與的面積相等三、填空題19．（2024·北京·三模）已知拋物線的焦點為，則的坐標為；過點的直線交拋物線于兩點，若，則的面積為．20．（2024·北京·三模）已知拋物線的焦點為F，準線與x軸的交點為A，點B在C上.若，則直線AB的方程為.21．（2024·安徽·二模）已知拋物線的焦點，直線過與拋物線交于，兩點，若，則直線的方程為，的面積為（為坐標原點）．22．（2024·陜西榆林·三模）若直線與拋物線和圓從左到右依次交于點，則.23．（2024·四川自貢·三模）已知圓的圓心是拋物線的焦點，直線與圓相交于，兩點，，則圓的半徑為．24．（2024·河北石家莊·二模）設(shè)拋物線的焦點為，準線為.斜率為的直線經(jīng)過焦點，交于點，交準線于點（，在軸的兩側(cè)），