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專題03等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)(十一大題型+模擬精練)目錄:01由已知條件判斷所給不等式是否正確02由不等式的性質(zhì)比較數(shù)(式)的大小03作差法比較代數(shù)式的大小04作商法比較代數(shù)式的大小05由不等式的性質(zhì)證明不等式06利用不等式求取值范圍07不等式與三角函數(shù)、平面向量08不等式與函數(shù)09高考新考法—不等式在生活情景、傳統(tǒng)文化中的綜合應(yīng)用10不等式與數(shù)列10不等式與數(shù)列11不等式與導(dǎo)數(shù)01由已知條件判斷所給不等式是否正確1.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知,則下列不等式正確的是(
)A. B. C. D.2.(23-24高三上·北京西城·期末)設(shè),且,則(
)A. B. C. D.3.(2024高三·全國·專題練習(xí))若,則下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.02由不等式的性質(zhì)比較數(shù)(式)的大小4.(2024·上海楊浦·二模)已知實(shí)數(shù),,,滿足:,則下列不等式一定正確的是(
)A. B. C. D.5.(2024·北京豐臺(tái)·二模)若,且,則(
)A. B.C. D.6.(2024·北京西城·一模)設(shè),其中,則(
)A. B.C. D.03作差法比較代數(shù)式的大小7.(2024高三·全國·專題練習(xí))若a=(x+1)(x+3),b=2(x+2)2,則a與b的大小關(guān)系為.8.(23-24高三上·河南·開學(xué)考試)已知:,則大小關(guān)系是.9.(22-23高三·全國·對(duì)口高考)若,其中,則.04作商法比較代數(shù)式的大小10.(2022高三·全國·專題練習(xí))若a=,b=,則ab(填“>”或“<”).11.(22-23高二上·廣東江門·階段練習(xí))已知,則大小關(guān)系是.12.(2024·吉林·模擬預(yù)測)請(qǐng)寫出一個(gè)冪函數(shù)滿足以下條件:①定義域?yàn)?;②為增函?shù);③對(duì)任意的,,都有,則.05由不等式的性質(zhì)證明不等式13.(22-23高一下·云南玉溪·期中)若,則“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.(2024·四川成都·模擬預(yù)測)命題“”是“,且”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件15.(22-23高三上·上海浦東新·開學(xué)考試)已知為6個(gè)不同的正實(shí)數(shù),滿足:①,②,③,則下列選項(xiàng)中恒成立的是(
)A. B.C. D.06利用不等式求取值范圍16.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是.17.(2024·浙江·模擬預(yù)測)已知正數(shù)滿足,則的取值范圍為.18.(2024·河北石家莊·二模)若實(shí)數(shù),且,則的取值范圍是.07不等式與三角函數(shù)、平面向量19.(2024·北京海淀·一模)在平面直角坐標(biāo)系中,角以為始邊,終邊在第三象限.則(
)A. B.C. D.20.(2024高三·全國·專題練習(xí))已知四邊形,,,,與交于點(diǎn),若記,,,則(
)A. B. C. D.08不等式與函數(shù)21.(2024高三·全國·專題練習(xí))已知函數(shù)①y=logax;②y=logbx;③y=logcx;④y=logdx的大致圖象如圖所示,則下列不等關(guān)系正確的是()A.a(chǎn)+c<b+a B.a(chǎn)+d<b+cC.b+c<a+d D.b+d<a+c22.(2024·全國·模擬預(yù)測)若,則下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.23.(2024·陜西西安·模擬預(yù)測)若,則有(
)A. B.C. D.09高考新考法—不等式在生活情景、傳統(tǒng)文化中的綜合應(yīng)用24.(2024高三上·全國·競賽)某考試評(píng)定考生成績時(shí),采取賦分制度:只有原始分排名前3%的同學(xué)才能賦分97分及以上.若這些學(xué)生的原始分的最大值為a,最小值為b,令為滿足的一次函數(shù).對(duì)于原始分為的學(xué)生,將的值四舍五入得到該學(xué)生的賦分.已知小趙原始分96,賦分100;小葉原始分81,賦分97;小林原始分89,他的賦分是(
)A.97 B.98 C.99 D.98或9925.(2024·全國·模擬預(yù)測)如圖,一個(gè)筒車按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為(單位:米)(在水面下,則為負(fù)數(shù)).若以盛水筒剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間,與時(shí)間(單位:分鐘)之間的關(guān)系為.某時(shí)刻(單位:分鐘)時(shí),盛水筒在過點(diǎn)(為筒車的軸心)的豎直直線的左側(cè),且到水面的距離為5米,則再經(jīng)過分鐘后,盛水筒(
)A.在水面下 B.在水面上C.恰好開始入水 D.恰好開始出水26.(2024·全國·一模)我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料-強(qiáng)互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探測器,其外形與水滴相似,某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測試結(jié)果如圖所示(水滴角可看作液、固、氣三相交點(diǎn)處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角),圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法,即將水滴軸截面看成圓或者橢圓(長軸平行于液—固兩者的相交線,橢圓的短半軸長小于圓的半徑)的一部分,設(shè)圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為,,則(
)附:橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為.A. B.C. D.和的大小關(guān)系無法確定10不等式與數(shù)列27.(2022·全國·模擬預(yù)測)已知是數(shù)列的前項(xiàng)和,是數(shù)列的前項(xiàng)積,,則與的大小關(guān)系是(
)A. B. C. D.11不等式與導(dǎo)數(shù)28.(2024·四川攀枝花·三模)已知正數(shù)滿足,則(
)A. B. C. D.29.(2024·遼寧·一模)設(shè)則(
)A. B.C. D.30.(2024·云南貴州·二模)已知,則的大關(guān)系為(
)A. B.C. D.一、單選題1.(2024·河北滄州·一模)下列命題為真命題的是(
)A. B.C. D.2.(2024·全國·模擬預(yù)測)是的(
)A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.(2024·陜西安康·模擬預(yù)測)若滿足,則(
)A. B.C. D.4.(2024·浙江臺(tái)州·二模)已知x,y為正實(shí)數(shù),則可成為“”的充要條件的是(
)A. B.C. D.5.(2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測)已知,則的取值范圍為(
)A. B. C. D.6.(2024·全國·模擬預(yù)測)設(shè),則(
)A. B. C. D.7.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知的解集為,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(
)A. B. C. D.8.(2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測)某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí),假設(shè)雙方兵力(戰(zhàn)斗單位數(shù))隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型:,其中正實(shí)數(shù),分別為紅、藍(lán)兩方的初始兵力,為戰(zhàn)斗時(shí)間;,分別為紅、藍(lán)兩方時(shí)刻的兵力;正實(shí)數(shù),分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù);和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù).規(guī)定:當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束,另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利,并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長為.則下列結(jié)論不正確的是(
)A.若且,則B.若且,則C.若,則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利D.若,則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利二、多選題9.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知,則下列式子正確的是(
)A. B. C. D.10.(2024·湖北·模擬預(yù)測)已知,,且,則(
)A., B.C.的最小值為,最大值為4 D.的最小值為1211.(2024·河南·模擬預(yù)測)1889年瑞典的阿倫尼烏斯提出了阿倫尼烏斯公式:(和均為大于0的常數(shù)),為反應(yīng)速率常數(shù)(與反應(yīng)速率成正比),為熱力學(xué)溫度(),在同一個(gè)化學(xué)反應(yīng)過程中為大于0的定值.已知對(duì)于某一化學(xué)反應(yīng),若熱力學(xué)溫度分別為和時(shí),反應(yīng)速率常數(shù)分別為和(此過程中,與的值保持不變),則(
)A.若,則B.若,則C.若,,則D.若,,則三、填空題12.(2023·內(nèi)蒙古赤峰·一模)已知,,,則的大小關(guān)系是.13.(2021·全國·模擬預(yù)測)已知不為的正實(shí)數(shù)滿足則下列不等式中一定成立的是.(將所有正確答案的序號(hào)都填在橫線上)①;②;③;④;⑤.14.(2024·河北邯鄲·三模)記表示x,y,z中最小的數(shù).設(shè),,則的最大值為.專題03等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)(十一大題型+模擬精練)目錄:01由已知條件判斷所給不等式是否正確02由不等式的性質(zhì)比較數(shù)(式)的大小03作差法比較代數(shù)式的大小04作商法比較代數(shù)式的大小05由不等式的性質(zhì)證明不等式06利用不等式求取值范圍07不等式與三角函數(shù)、平面向量08不等式與函數(shù)09高考新考法—不等式在生活情景、傳統(tǒng)文化中的綜合應(yīng)用10不等式與數(shù)列10不等式與數(shù)列11不等式與導(dǎo)數(shù)01由已知條件判斷所給不等式是否正確1.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知,則下列不等式正確的是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷A項(xiàng)正確,D項(xiàng)錯(cuò)誤,通過舉反例可說明B,C兩項(xiàng)錯(cuò)誤.【解析】,即,故選項(xiàng)A正確;當(dāng)時(shí),滿足,但,此時(shí),,故選項(xiàng)B,C錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),由可得,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:A.2.(23-24高三上·北京西城·期末)設(shè),且,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用特殊值以及函數(shù)的圖象、單調(diào)性等知識(shí)確定正確答案.【解析】A選項(xiàng),若,滿足,但,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng),若,滿足,但,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng),若,滿足,但,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng),對(duì)于函數(shù),圖象如下圖所示,由圖可知函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以D選項(xiàng)正確.故選:D3.(2024高三·全國·專題練習(xí))若,則下列不等式一定成立的是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】對(duì)A、D,可借助特殊值法舉出反例即可得;對(duì)B、C,借助不等式的基本性質(zhì)即可得.【解析】對(duì)A,令,,有,故A錯(cuò)誤;對(duì)B,由,故,故B錯(cuò)誤;對(duì)C,,即只需,,由,故,故C正確;對(duì)D,令,有,故D錯(cuò)誤.故選:C.02由不等式的性質(zhì)比較數(shù)(式)的大小4.(2024·上海楊浦·二模)已知實(shí)數(shù),,,滿足:,則下列不等式一定正確的是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】舉例說明判斷ABD;利用不等式的性質(zhì)推理判斷C.【解析】對(duì)于ABD,取,滿足,顯然,,,ABD錯(cuò)誤;對(duì)于C,,則,C正確.故選:C5.(2024·北京豐臺(tái)·二模)若,且,則(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】舉反例即可求解ABC,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.【解析】由于,取,,,無法得到,,故AB錯(cuò)誤,取,則,無法得到,C錯(cuò)誤,由于,則,所以,故選:D6.(2024·北京西城·一模)設(shè),其中,則(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】借助正負(fù)性、對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得.【解析】由,故,故,由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得,,且,綜上所述,有.故選:C.03作差法比較代數(shù)式的大小7.(2024高三·全國·專題練習(xí))若a=(x+1)(x+3),b=2(x+2)2,則a與b的大小關(guān)系為.【答案】a<b【解析】解析:因?yàn)閎-a=2(x+2)2-(x+1)(x+3)=2x2+8x+8-(x2+4x+3)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0,所以a<b.【考查意圖】作差比較法比較大?。?.(23-24高三上·河南·開學(xué)考試)已知:,則大小關(guān)系是.【答案】【分析】根據(jù)給定條件,利用作差法結(jié)合不等式性判斷作答.【解析】由,得,因此,顯然,則,所以大小關(guān)系是.故答案為:9.(22-23高三·全國·對(duì)口高考)若,其中,則.【答案】【分析】由確定,討論、,應(yīng)用作差法比較大小,即可得答案.【解析】由且,則,當(dāng)時(shí),,此時(shí),,所以,即,滿足題設(shè);當(dāng)時(shí),,此時(shí),,所以,即,不滿足題設(shè);綜上,.故答案為:04作商法比較代數(shù)式的大小10.(2022高三·全國·專題練習(xí))若a=,b=,則ab(填“>”或“<”).【答案】<【分析】作商法比較大小,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算律和性質(zhì),即得解【解析】易知a,b都是正數(shù),==log89>1,所以b>a.故答案為:<11.(22-23高二上·廣東江門·階段練習(xí))已知,則大小關(guān)系是.【答案】【分析】設(shè),得,,,然后作商法比較和大小解決即可.【解析】因?yàn)?,設(shè),所以,,,因?yàn)?,所以,,,因?yàn)椋裕驗(yàn)?,所以.故答案為:?2.(2024·吉林·模擬預(yù)測)請(qǐng)寫出一個(gè)冪函數(shù)滿足以下條件:①定義域?yàn)椋虎跒樵龊瘮?shù);③對(duì)任意的,,都有,則.【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可寫出一個(gè)符合①②的冪函數(shù),利用作差法說明其也滿足③,即可得答案.【解析】由題意可知的定義域?yàn)椋以谏蠟樵龊瘮?shù);下面證明該函數(shù)滿足③:取任意的,,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即,即滿足③,故答案為:05由不等式的性質(zhì)證明不等式13.(22-23高一下·云南玉溪·期中)若,則“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法,即可求解.【解析】由不等式,可得,可得,即充分性成立;反之:由,可得,又因?yàn)椋?,所以必要性不成立,所以是的充分不必要條件.故選:A.14.(2024·四川成都·模擬預(yù)測)命題“”是“,且”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)絕對(duì)值三角不等式和充分條件必要條件的定義即可判斷.【解析】若,,即,,即,則充分性成立;若且,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,則必要性成立;綜上所述:“”是“,且”的充分必要條件.故選:C.15.(22-23高三上·上海浦東新·開學(xué)考試)已知為6個(gè)不同的正實(shí)數(shù),滿足:①,②,③,則下列選項(xiàng)中恒成立的是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì),得到與,由此排除A、B選項(xiàng),再得到與,由此得到,即D選項(xiàng)正確,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.【解析】不妨設(shè),則由得,故,,則,即,即,故,所以,即(1),又因?yàn)?,所以?),由(1)(2)可知或皆有可能,故A、B錯(cuò)誤;由得,所以,所以,不妨設(shè),則,所以,所以,所以,又,所以,所以,所以,同理當(dāng)時(shí),,所以,故D正確,C錯(cuò)誤;故選:D.06利用不等式求取值范圍16.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【解析】由可得,所以,故答案為:17.(2024·浙江·模擬預(yù)測)已知正數(shù)滿足,則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【解析】正數(shù)、、滿足,,,所以同理:有得到,所以兩式相加:即又,即即.故答案為:18.(2024·河北石家莊·二模)若實(shí)數(shù),且,則的取值范圍是.【答案】【分析】先得到,并根據(jù)得到,從而求出.【解析】因?yàn)?,故,由得,解得,?故答案為:07不等式與三角函數(shù)、平面向量19.(2024·北京海淀·一模)在平面直角坐標(biāo)系中,角以為始邊,終邊在第三象限.則(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】對(duì)A、B:舉出反例即可得;對(duì)C、D:借助三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及其值域計(jì)算即可得.【解析】由題意可得、,,對(duì)A:當(dāng)時(shí),,則,,此時(shí),故A錯(cuò)誤;對(duì)B:當(dāng)時(shí),,故B錯(cuò)誤;對(duì)C、D:,由,故,則,即,故C正確,D錯(cuò)誤.故選:C.20.(2024高三·全國·專題練習(xí))已知四邊形,,,,與交于點(diǎn),若記,,,則(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)向量形式的余弦定理計(jì)算可得,再利用作差法即可比較的大小關(guān)系.【解析】在中,根據(jù)余弦定理有;在中,根據(jù)余弦定理有;兩式作差得即,所以.又,所以,則,由圖易知,所以,所以.故選:C.
08不等式與函數(shù)21.(2024高三·全國·專題練習(xí))已知函數(shù)①y=logax;②y=logbx;③y=logcx;④y=logdx的大致圖象如圖所示,則下列不等關(guān)系正確的是()A.a(chǎn)+c<b+a B.a(chǎn)+d<b+cC.b+c<a+d D.b+d<a+c【答案】A【解析】解析:由已知可得b>a>1>d>c,則a+b>a+c,b+d>a+c,故A正確,D錯(cuò)誤;又a+d與b+c的大小不確定,故B,C錯(cuò)誤.故選A.22.(2024·全國·模擬預(yù)測)若,則下列不等式一定成立的是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】由,分類討論和可判斷A,B;取特值可判斷C;根據(jù)的單調(diào)性可判斷D.【解析】因?yàn)?,所以,?dāng)時(shí),解得;當(dāng)時(shí),解得,所以,即,A,B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí),,C錯(cuò)誤.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,D正確.故選:D.23.(2024·陜西西安·模擬預(yù)測)若,則有(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】由題意首先得,進(jìn)一步,從而我們只需要比較的大小關(guān)系即可求解,兩式作商結(jié)合基本不等式、換底公式即可比較.【解析】,所以,,又因?yàn)椋?,?故選:B.09高考新考法—不等式在生活情景、傳統(tǒng)文化中的綜合應(yīng)用24.(2024高三上·全國·競賽)某考試評(píng)定考生成績時(shí),采取賦分制度:只有原始分排名前3%的同學(xué)才能賦分97分及以上.若這些學(xué)生的原始分的最大值為a,最小值為b,令為滿足的一次函數(shù).對(duì)于原始分為的學(xué)生,將的值四舍五入得到該學(xué)生的賦分.已知小趙原始分96,賦分100;小葉原始分81,賦分97;小林原始分89,他的賦分是(
)A.97 B.98 C.99 D.98或99【答案】D【分析】根據(jù)題意設(shè),得到,從而得到,代入不等式即可求解.【解析】設(shè)(,為常數(shù)),由題可得,,即,由于,令,即,解得:,所以,則,即,所以小林原始分89,他的賦分是98或99.故選:D25.(2024·全國·模擬預(yù)測)如圖,一個(gè)筒車按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng).設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒到水面的距離為(單位:米)(在水面下,則為負(fù)數(shù)).若以盛水筒剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間,與時(shí)間(單位:分鐘)之間的關(guān)系為.某時(shí)刻(單位:分鐘)時(shí),盛水筒在過點(diǎn)(為筒車的軸心)的豎直直線的左側(cè),且到水面的距離為5米,則再經(jīng)過分鐘后,盛水筒(
)A.在水面下 B.在水面上C.恰好開始入水 D.恰好開始出水【答案】B【分析】根據(jù)題意列出計(jì)算式,再用兩角和差公式計(jì)算即可.【解析】由題意,,可得,或(舍去).所以,所以再經(jīng)過分鐘,可得,所以盛水筒在水面上.在判斷時(shí),可以采用放縮法更為直接,過程如下:,,故盛水筒在水面上.故選:B.26.(2024·全國·一模)我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料-強(qiáng)互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探測器,其外形與水滴相似,某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測試結(jié)果如圖所示(水滴角可看作液、固、氣三相交點(diǎn)處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角),圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法,即將水滴軸截面看成圓或者橢圓(長軸平行于液—固兩者的相交線,橢圓的短半軸長小于圓的半徑)的一部分,設(shè)圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為,,則(
)附:橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為.A. B.C. D.和的大小關(guān)系無法確定【答案】A【分析】運(yùn)用圓和橢圓的切線方程分別求得、,結(jié)合可判斷兩者大小.【解析】由題意知,若將水滴軸截面看成圓的一部分,圓的半徑為,如圖所示,則,解得,所以,若將水滴軸截面看成橢圓的一部分,設(shè)橢圓方程為,如圖所示,則切點(diǎn)坐標(biāo)為,則橢圓上一點(diǎn)的切線方程為,所以橢圓的切線方程的斜率為,將切點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得,解得,所以,又因?yàn)?,所以,即,所?故選:A.10不等式與數(shù)列27.(2022·全國·模擬預(yù)測)已知是數(shù)列的前項(xiàng)和,是數(shù)列的前項(xiàng)積,,則與的大小關(guān)系是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件,利用求出,進(jìn)而求出,再結(jié)合不等式的性質(zhì)及累乘法的思想推理判斷得解.【解析】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,則,顯然符合上式,因此,由,得,則,而,即有,于是,從而,所以,即.故選:B【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛:由數(shù)列前項(xiàng)和求通項(xiàng),需按和分段求解,并且還要驗(yàn)證的結(jié)果是否滿足時(shí)的表達(dá)式.11不等式與導(dǎo)數(shù)28.(2024·四川攀枝花·三模)已知正數(shù)滿足,則(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】法一:由得,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值,進(jìn)而比較、;由兩邊同除以得,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值,進(jìn)而比較、,由此可比較,,的大小.法二:化為,作差法并構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最值,比較、大小,再利用作差法比較、大小,即可比較,,的大小.【解析】法一:由得,令,則,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,所以,所以在上恒成立,所以,即,所以,所以;由兩邊同除以得,令,則,所以在上恒成立,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,所以,所以在上恒成立,所以,即,所以,從而.法二:由得,即,所以,令,,當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增,所以,所以,則有;由得,即,所以,因?yàn)?,,,所以,即故.故選:A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:比較大小時(shí),可根據(jù)數(shù)值構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,最值比較大小.29.(2024·遼寧·一模)設(shè)則(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,可得;根據(jù)不等式的性質(zhì)可證得,則,即可求解.【解析】對(duì)于函數(shù),,令,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,則,即.所以,.由,得,所以,則,所以,即.所以.故選:B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:對(duì)于比較實(shí)數(shù)大小方法:(1)利用基本函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷,(2)利用中間值“1”或“0”進(jìn)行比較,(3)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)及函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.30.(2024·云南貴州·二模)已知,則的大關(guān)系為(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)的特點(diǎn),構(gòu)造函數(shù),判斷其單調(diào)性,得到,故有,再運(yùn)用作差法比較即得.【解析】設(shè),則,當(dāng)時(shí),,在上遞增;當(dāng)時(shí),,在上遞減,故.則,即;由可知,故.故選:B.一、單選題1.(2024·河北滄州·一模)下列命題為真命題的是(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷AC;舉出反例即可判斷B;由作差法即可判斷D.【解析】對(duì)于AC,當(dāng)時(shí),,所以,故A正確,C錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,故B錯(cuò)誤;對(duì)于D,,因?yàn)?,所以,故D錯(cuò)誤.故選:A.2.(2024·全國·模擬預(yù)測)是的(
)A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用不等式的性質(zhì),分別判斷充分性和必要性.【解析】由不等式的性質(zhì)可知,時(shí)一定有成立,而成立時(shí),若就不能推出.所以是的充分不必要條件.故選:B.3.(2024·陜西安康·模擬預(yù)測)若滿足,則(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)得,由不等式的性質(zhì)可判定AC,由特殊值法可判定BD.【解析】由,得,所以,所以,所以錯(cuò)誤;令,此時(shí)與無意義,所以錯(cuò)誤;因?yàn)椋杂刹坏仁降男再|(zhì)可得,所以正確;令,則,所以錯(cuò)誤.故選:.4.(2024·浙江臺(tái)州·二模)已知x,y為正實(shí)數(shù),則可成為“”的充要條件的是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】作差法可判斷A;構(gòu)造函數(shù)、,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性,并結(jié)合充分、必要性的定義可判斷BD;特值法可判斷C.【解析】對(duì)于A,已知x,y為正實(shí)數(shù),若,,則,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由可得:,令,,令,解得:,則在上單調(diào)遞減,若,則,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,已知x,y為正實(shí)數(shù),若,取,則,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由,則,令,則,即在定義域上遞增,故,反之也有成立,滿足要求,故D正確.故選:D.5.(2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測)已知,則的取值范圍為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】由不等式的性質(zhì)即可得解.【解析】因?yàn)椋?,,所?故選:D.6.(2024·全國·模擬預(yù)測)設(shè),則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,可得,進(jìn)而得,再結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì),利用作差比較法可得,從而可得正確答案.【解析】構(gòu)造函數(shù),則,所以在內(nèi)單調(diào)遞增,又,于是在內(nèi),即恒成立.由,得,所以,故;又,易知,函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,又,所以,于是,即,故.綜上所述,.故選:D.7.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知的解集為,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)解出不等式及,可得,,,再逐項(xiàng)判斷即可得.【解析】由可得,設(shè)函數(shù),則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,則函數(shù)的極小值,又,,所以由零點(diǎn)存在定理可得,存在使得,則的解集為且,令,易知為偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,又,,故若,則,由為偶函數(shù)可知當(dāng)時(shí),若,則,故的解集為,故原不等式的解集為且,則,,,選項(xiàng)A:因?yàn)?,,,所以,A正確;選項(xiàng)B:因?yàn)椋?,所以,B正確;選項(xiàng)C:,C正確;選項(xiàng)D:,,所以,D錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)解出不等式及,從而解出,,.8.(2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測)某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí),假設(shè)雙方兵力(戰(zhàn)斗單位數(shù))隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型:,其中正實(shí)數(shù),分別為紅、藍(lán)兩方的初始兵力,為戰(zhàn)斗時(shí)間;,分別為紅、藍(lán)兩方時(shí)刻的兵力;正實(shí)數(shù),分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù);和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù).規(guī)定:當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束,另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利,并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長為.則下列結(jié)論不正確的是(
)A.若且,則B.若且,則C.若,則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利D.若,則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利【答案】C【分析】對(duì)于A根據(jù)已知條件利用作差法比較大小即可得出,對(duì)于B,利用A中結(jié)論可得藍(lán)方兵力先為0,即解得;對(duì)于C和D,若要紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利,分別解出紅、藍(lán)兩方兵力為0時(shí)所用時(shí)間、,比較大小即可.【解析】對(duì)于A,若且,則,即,所以,由可得,即A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí)根據(jù)A中的結(jié)論可知,所以藍(lán)方兵力先為,即,化簡可得,即,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得,即,所以戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長為,所以B正確;對(duì)于C,若紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利,則紅方可戰(zhàn)斗時(shí)間大于藍(lán)方即可,設(shè)紅方兵力為時(shí)所用時(shí)間為,藍(lán)方兵力為時(shí)所用時(shí)間為,即,可得同理可得,即,解得,又因?yàn)槎紴檎龑?shí)數(shù),所以可得,紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利;所以可得C錯(cuò)誤,D正確.故選:C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題給的信息比較多,關(guān)鍵是理解題意,然后利用相應(yīng)的知識(shí)(作差法、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))進(jìn)行判斷.二、多選題9.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知,則下列式子正確的是(
)A. B. C. D.【答案】ABC【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得A、B的正誤;根據(jù)基本不等式可得C的正誤;利用作差法可得D的正誤.【分析】由,得,所以,A正確.因?yàn)椋?,所?,所以,B正確.因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,C正確.因?yàn)?,所以,D錯(cuò)誤.故選:ABC.10.(2024·湖北·模擬預(yù)測)已知,,且,則(
)A., B.C.的最小值為,最大值為4 D.的最小值為12【答案】BD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A:由已知得,,整理即可判斷
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