2025屆河北省部分學(xué)校高三下學(xué)期高考綜合能力提升卷（一）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考綜合能力提升卷（一）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由集合，即集合為偶數(shù)集，又由，可得.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】復(fù)數(shù)滿足，可得，所以，則.故選：A.3.已知偶函數(shù)的定義域為，且當(dāng)時，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，，得，即時，，.故選：C4.已知焦距為的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】直線的斜率為，所以一條漸近線的斜率為，即，且滿足，，得，，所以雙曲線方程.故選：C5.“的展開式中的系數(shù)為60”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】“的展開式中含的項為，.所以“的展開式中的系數(shù)為60”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D6.已知為拋物線上的一點，到的焦點距離與到軸距離之和為16，則點的橫坐標(biāo)為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，由到的焦點距離與到軸距離之和為16，得，所以.故選：C7.已知函數(shù)，，且，則（）A.的圖象關(guān)于對稱B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.當(dāng)時，的值域為D.的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度獲得【答案】D【解析】因為，且，所以，解得，所以，所以函數(shù)的解析式為：，對于A，當(dāng)時，，所以的圖象不關(guān)于對稱，故A錯誤；對于B，由,得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故B錯誤；對于C，因為，所以，所以，所以，所以的值域為，故C錯誤；對于D，函數(shù)的圖象向右平移個單位長為，故D正確.故選：D.8.已知函數(shù)，，若函數(shù)在上有兩個不同的極值點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)，可得其定義域為，且，令，即，可得，因為函數(shù)在上有兩個不同的極值點，所以方程有兩個不同的正實數(shù)根，則滿足，解得或，且，則，所以，又由，其中，令，其中，可得，再令，可得，所以單調(diào)遞減，因為，所以，即，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，所以，則，所以，故A正確；則，所以，故B正確；因為，所以，則，故C錯誤；由，則，所以，故D正確；故選：ABD10.某商場統(tǒng)計了180天日收入（單位：萬元），并分組如下：，，，?，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.這180天中日收入不低于8萬元的有54天B.用比例分配的分層隨機抽樣法從日收入低于8萬元的天數(shù)中抽取14天，則這14天中有6天的日收入低于4萬元C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6萬元（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表）D.這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為8.5萬元【答案】AD【解析】對于A，由頻率分布直方圖得這180天中日收入不低于8萬元的有天，故A正確；對于B，日收入低于8萬元的各組的頻率比為，所以從日收入低于8萬元的天數(shù)中抽取14天各組抽取的天數(shù)依次為2天、3天、4天、5天，則這14天中有天的日收入低于4萬元，故B錯誤；對于C，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是萬元，故C錯誤；對于D，因為前4組的頻率為，前5組的頻率為，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)在第5組為萬元，故D正確.故選：AD11.已知是圓上的一點，是圓上的一點，為直線上一點，則下列說法正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最大值為【答案】ACD【解析】由題意可得圓圓心為，半徑為3，圓圓心為，半徑為1，則兩圓心距離，即兩圓相離，對于A，由題意可得兩圓上的點的距離最大值為，故A正確；對于B，由題可設(shè)，則，所以當(dāng)時，取得最小值為，故B錯誤；對于C，因為點關(guān)于直線對稱的點為，所以點關(guān)于直線對稱的點為，所以如圖，作圓和點N關(guān)于l對稱的圓，則由圖可知當(dāng)對稱圓的圓心和對稱點以及M、四點共線時可得的最小值為，故C正確；對于D，如圖可知當(dāng)P位于N一側(cè)且三點共線時取得最大值為，而最大值為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，向量，若向量與平行，則__________．【答案】【解析】，即.13.若，，則________．【答案】【解析】由，，得，所以.故答案為：14.秦量是秦代為統(tǒng)一全國量制而由官府頒發(fā)的標(biāo)準(zhǔn)量器，秦量多為銅質(zhì)和陶質(zhì)，銅量有方升和橢量，陶量則多為圓桶形（即圓臺形狀，如圖所示）．某地出土秦詔文陶量1件，高為10厘米，上部外徑（即上底面外部直徑）為24厘米，下部外徑（即下底面外部直徑）為16厘米，則此陶量的外接球的表面積為________平方厘米．【答案】【解析】如圖，畫出圓臺的軸截面，，，，由題意可知，球心在上，設(shè)，，所以，解得：，，所以外接球的表面積.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿足，．（1）求證：是等差數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項和．（1）證明：數(shù)列中，，，則，，所以數(shù)列是以為首項，公差為2的等差數(shù)列.（2）解：由（1）知，，則，，所以數(shù)列的前項和.16.如圖，四棱錐中，平面ABCD，，E為PA上一點，且．（1）證明：平面平面PAC；（2）求直線PB與平面BEC所成角的正弦值．（1）證明：平面ABCD，平面ABCD，，∵在直角梯形ABCD中，，，又．平面PAC，平面PAC，平面PAC，平面EBC，∴平面平面PAC；（2）解：以A為坐標(biāo)原點，AD，AB，AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）．易知．則．設(shè)是平面BCE的法向量．則即所以可取∴直線PB與平面BEC所成角正弦值為．17.某農(nóng)業(yè)科學(xué)院果樹研究所在培育新品種蘋果樹的研究中，選擇6個果園試種新品種蘋果樹，得到樣本數(shù)據(jù)如下表：果園的面積（單位：畝）123456產(chǎn)量（單位：噸）2.66.39.311.216.518.3（1）若果園的面積（單位：畝）與產(chǎn)量（單位：噸）滿足線性回歸關(guān)系，試求關(guān)于的線性回歸方程；（2）果樹研究所在某縣大面積推廣此品種蘋果樹，以這6個果園畝產(chǎn)量高于3噸/畝的頻率為概率，從該縣果園中隨機抽取3個，其中畝產(chǎn)量高于3噸/畝的果園的個數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．參考數(shù)據(jù)：．解：（1），，，所以，，所以；（2）由題意可知，6個果園畝產(chǎn)量高于3噸/畝的頻率為，則，，，，，即0123.18.已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過的直線與交于，兩點，當(dāng)直線垂直于時，．（1）求的方程；（2）若的內(nèi)切圓的半徑為，求直線的方程．解：（1）令橢圓的半焦距為，由離心率為，得，，橢圓，當(dāng)時，，依題意，，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，，設(shè)直線的方程為，，由消去并整理得，，，的面積，由的內(nèi)切圓的半徑，得，因此，整理得，即，解得，所以直線的方程.19.若存在正數(shù)，對任意的，恒成立，則稱函數(shù)，在上具有性質(zhì)“”．（1）判斷函數(shù)，在上是否具有性質(zhì)“”，并說明理由；（2）若函數(shù)，在上具有性質(zhì)“”，求的取值范圍；（3）若函數(shù)與在上具有性質(zhì)“”，且存在，，使得，求證：．（1）解：函數(shù)和在上具有性質(zhì)“”.理由如下：因為和在上均為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以只需考慮的情況，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以恒成立，則，即，則，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，即，，所以函數(shù)和在上具有性質(zhì)“”.（2）解：，在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，設(shè)，若函數(shù)和具有性質(zhì)“”，則，整理為設(shè)，由以上可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即，當(dāng)時，恒成立，令，，，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，所以；（3）證明：由題意可知，存在，，，又，則，即，，，設(shè)，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，設(shè)，，不妨設(shè)，，，且，設(shè)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，即，即，即，則，即，則，得，即證.河北省部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考綜合能力提升卷（一）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由集合，即集合為偶數(shù)集，又由，可得.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】復(fù)數(shù)滿足，可得，所以，則.故選：A.3.已知偶函數(shù)的定義域為，且當(dāng)時，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，，得，即時，，.故選：C4.已知焦距為的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】直線的斜率為，所以一條漸近線的斜率為，即，且滿足，，得，，所以雙曲線方程.故選：C5.“的展開式中的系數(shù)為60”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】“的展開式中含的項為，.所以“的展開式中的系數(shù)為60”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D6.已知為拋物線上的一點，到的焦點距離與到軸距離之和為16，則點的橫坐標(biāo)為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，由到的焦點距離與到軸距離之和為16，得，所以.故選：C7.已知函數(shù)，，且，則（）A.的圖象關(guān)于對稱B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.當(dāng)時，的值域為D.的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度獲得【答案】D【解析】因為，且，所以，解得，所以，所以函數(shù)的解析式為：，對于A，當(dāng)時，，所以的圖象不關(guān)于對稱，故A錯誤；對于B，由,得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故B錯誤；對于C，因為，所以，所以，所以，所以的值域為，故C錯誤；對于D，函數(shù)的圖象向右平移個單位長為，故D正確.故選：D.8.已知函數(shù)，，若函數(shù)在上有兩個不同的極值點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)，可得其定義域為，且，令，即，可得，因為函數(shù)在上有兩個不同的極值點，所以方程有兩個不同的正實數(shù)根，則滿足，解得或，且，則，所以，又由，其中，令，其中，可得，再令，可得，所以單調(diào)遞減，因為，所以，即，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因為，所以，則，所以，故A正確；則，所以，故B正確；因為，所以，則，故C錯誤；由，則，所以，故D正確；故選：ABD10.某商場統(tǒng)計了180天日收入（單位：萬元），并分組如下：，，，?，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.這180天中日收入不低于8萬元的有54天B.用比例分配的分層隨機抽樣法從日收入低于8萬元的天數(shù)中抽取14天，則這14天中有6天的日收入低于4萬元C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是6萬元（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表）D.這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為8.5萬元【答案】AD【解析】對于A，由頻率分布直方圖得這180天中日收入不低于8萬元的有天，故A正確；對于B，日收入低于8萬元的各組的頻率比為，所以從日收入低于8萬元的天數(shù)中抽取14天各組抽取的天數(shù)依次為2天、3天、4天、5天，則這14天中有天的日收入低于4萬元，故B錯誤；對于C，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是萬元，故C錯誤；對于D，因為前4組的頻率為，前5組的頻率為，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)在第5組為萬元，故D正確.故選：AD11.已知是圓上的一點，是圓上的一點，為直線上一點，則下列說法正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最大值為【答案】ACD【解析】由題意可得圓圓心為，半徑為3，圓圓心為，半徑為1，則兩圓心距離，即兩圓相離，對于A，由題意可得兩圓上的點的距離最大值為，故A正確；對于B，由題可設(shè)，則，所以當(dāng)時，取得最小值為，故B錯誤；對于C，因為點關(guān)于直線對稱的點為，所以點關(guān)于直線對稱的點為，所以如圖，作圓和點N關(guān)于l對稱的圓，則由圖可知當(dāng)對稱圓的圓心和對稱點以及M、四點共線時可得的最小值為，故C正確；對于D，如圖可知當(dāng)P位于N一側(cè)且三點共線時取得最大值為，而最大值為，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，向量，若向量與平行，則__________．【答案】【解析】，即.13.若，，則________．【答案】【解析】由，，得，所以.故答案為：14.秦量是秦代為統(tǒng)一全國量制而由官府頒發(fā)的標(biāo)準(zhǔn)量器，秦量多為銅質(zhì)和陶質(zhì)，銅量有方升和橢量，陶量則多為圓桶形（即圓臺形狀，如圖所示）．某地出土秦詔文陶量1件，高為10厘米，上部外徑（即上底面外部直徑）為24厘米，下部外徑（即下底面外部直徑）為16厘米，則此陶量的外接球的表面積為________平方厘米．【答案】【解析】如圖，畫出圓臺的軸截面，，，，由題意可知，球心在上，設(shè)，，所以，解得：，，所以外接球的表面積.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿足，．（1）求證：是等差數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項和．（1）證明：數(shù)列中，，，則，，所以數(shù)列是以為首項，公差為2的等差數(shù)列.（2）解：由（1）知，，則，，所以數(shù)列的前項和.16.如圖，四棱錐中，平面ABCD，，E為PA上一點，且．（1）證明：平面平面PAC；（2）求直線PB與平面BEC所成角的正弦值．（1）證明：平面ABCD，平面ABCD，，∵在直角梯形ABCD中，，，又．平面PAC，平面PAC，平面PAC，平面EBC，∴平面平面PAC；（2）解：以A為坐標(biāo)原點，AD，AB，AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）．易知．則．設(shè)是平面BCE的法向量．則即所以可取∴直線PB與平面BEC所成角正弦值為．17.某農(nóng)業(yè)科學(xué)院果樹研究所在培育新品種蘋果樹的研究中，選擇6個果園試種新品種蘋果樹，得到樣本數(shù)據(jù)如下表：果園的面積（單位：畝）123456產(chǎn)量（單位：噸）2.66.39.311.216.518.3（1）若果園的面積（單位：畝）與產(chǎn)量（單位：噸）滿足線性回歸關(guān)系，試求關(guān)于的線性回歸方程；（2）果樹研究所在某縣大面積推廣此品種蘋果樹，以這6個果園畝產(chǎn)量高于3噸/畝的頻率為概率，從該縣果園中隨機抽取3個，其中畝產(chǎn)量高于3噸/畝的