2023-2024學年江西省吉安安??h聯(lián)考中考四模數(shù)學試題含解析_第1頁
2023-2024學年江西省吉安安福縣聯(lián)考中考四模數(shù)學試題含解析_第2頁
2023-2024學年江西省吉安安??h聯(lián)考中考四模數(shù)學試題含解析_第3頁
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文檔簡介

2023-2024學年江西省吉安安??h聯(lián)考中考四模數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1.在海南建省辦經(jīng)濟特區(qū)30周年之際,中央決定創(chuàng)建海南自貿(mào)區(qū)(港),引發(fā)全球高度關(guān)注.據(jù)統(tǒng)計,4月份互聯(lián)網(wǎng)信息中提及“海南”一詞的次數(shù)約48500000次,數(shù)據(jù)48500000科學記數(shù)法表示為()A.485×105B.48.5×106C.4.85×107D.0.485×1082.在“大家跳起來”的鄉(xiāng)村學校舞蹈比賽中,某校10名學生參賽成績統(tǒng)計如圖所示.對于這10名學生的參賽成績,下列說法中錯誤的是()A.眾數(shù)是90 B.中位數(shù)是90 C.平均數(shù)是90 D.極差是153.如圖,從圓外一點引圓的兩條切線,,切點分別為,,如果,,那么弦AB的長是()A. B. C. D.4.下列實數(shù)中,結(jié)果最大的是()A.|﹣3| B.﹣(﹣π) C. D.35.下面四個幾何體:其中,俯視圖是四邊形的幾何體個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.46.-5的相反數(shù)是()A.5 B. C. D.7.關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.8.如圖,在平行四邊形ABCD中,點E在邊DC上,DE:EC=3:1,連接AE交BD于點F,則△DEF的面積與△BAF的面積之比為()A.3:4 B.9:16 C.9:1 D.3:19.一、單選題小明和小張兩人練習電腦打字,小明每分鐘比小張少打6個字,小明打120個字所用的時間和小張打180個字所用的時間相等.設小明打字速度為x個/分鐘,則列方程正確的是()A. B. C. D.10.如圖,點P(x,y)(x>0)是反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象上的一個動點,以點P為圓心,OP為半徑的圓與x軸的正半軸交于點A,若△OPA的面積為S,則當x增大時,S的變化情況是()A.S的值增大 B.S的值減小C.S的值先增大,后減小 D.S的值不變11.圖為小明和小紅兩人的解題過程.下列敘述正確的是()計算:+A.只有小明的正確 B.只有小紅的正確C.小明、小紅都正確 D.小明、小紅都不正確12.如圖,嘉淇同學拿20元錢正在和售貨員對話,且一本筆記本比一支筆貴3元,請你仔細看圖,1本筆記本和1支筆的單價分別為()A.5元,2元 B.2元,5元C.4.5元,1.5元 D.5.5元,2.5元二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13.已知(x、y、z≠0),那么的值為_____.14.三人中有兩人性別相同的概率是_____________.15.一個盒子內(nèi)裝有大小、形狀相同的四個球,其中紅球1個、綠球1個、白球2個,小明摸出一個球不放回,再摸出一個球,則兩次都摸到白球的概率是_______.16.當a<0,b>0時.化簡:=_____.17.已知是銳角,那么cos=_________.18.等腰梯形是__________對稱圖形.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.(6分)如圖1,拋物線y=ax2+(a+2)x+2(a≠0),與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B,在x軸上有一動點P(m,0)(0<m<4),過點P作x軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于點M.(1)求拋物線的解析式;(2)若PN:PM=1:4,求m的值;(3)如圖2,在(2)的條件下,設動點P對應的位置是P1,將線段OP1繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OP2,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<90°),連接AP2、BP2,求AP2+的最小值.20.(6分)矩形ABCD一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得點B落在CD邊上的點P處.(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點O,連接AP、OP、OA.①求證:△OCP∽△PDA;②若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長.(2)如圖2,在(1)的條件下,擦去AO和OP,連接BP.動點M在線段AP上(不與點P、A重合),動點N在線段AB的延長線上,且BN=PM,連接MN交PB于點F,作ME⊥BP于點E.試問動點M、N在移動的過程中,線段EF的長度是否發(fā)生變化?若不變,求出線段EF的長度;若變化,說明理由.21.(6分)漳州市某中學對全校學生進行文明禮儀知識測試,為了解測試結(jié)果,隨機抽取部分學生的成績進行分析,將成績分為三個等級:不合格、一般、優(yōu)秀,并繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖(不完整).請你根據(jù)圖中所給的信息解答下列問題:請將以上兩幅統(tǒng)計圖補充完整;若“一般”和“優(yōu)秀”均被視為達標成績,則該校被抽取的學生中有_▲人達標;若該校學生有1200人,請你估計此次測試中,全校達標的學生有多少人?22.(8分)如圖,D為⊙O上一點,點C在直徑BA的延長線上,且∠CDA=∠CBD.

(1)求證:CD是⊙O的切線;

(2)過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E,BC=6,ADBD=223.(8分)我們給出如下定義:順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.如圖1,四邊形ABCD中,點E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點.求證:中點四邊形EFGH是平行四邊形;如圖2,點P是四邊形ABCD內(nèi)一點,且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點,猜想中點四邊形EFGH的形狀,并證明你的猜想;若改變(2)中的條件,使∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變,直接寫出中點四邊形EFGH的形狀.(不必證明)24.(10分)校園手機現(xiàn)象已經(jīng)受到社會的廣泛關(guān)注.某校的一個興趣小組對“是否贊成中學生帶手機進校園”的問題在該校校園內(nèi)進行了隨機調(diào)查.并將調(diào)查數(shù)據(jù)作出如下不完整的整理;看法頻數(shù)頻率贊成5無所謂0.1反對400.8(1)本次調(diào)查共調(diào)查了人;(直接填空)請把整理的不完整圖表補充完整;若該校有3000名學生,請您估計該校持“反對”態(tài)度的學生人數(shù).25.(10分)在等邊三角形ABC中,點P在△ABC內(nèi),點Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ.求證:△ABP≌△CAQ;請判斷△APQ是什么形狀的三角形?試說明你的結(jié)論.26.(12分)解方程:3x2﹣2x﹣2=1.27.(12分)如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC邊的中點,點P在線段AD上,過P作PF⊥AE于F,設PA=x.(1)求證:△PFA∽△ABE;(2)當點P在線段AD上運動時,設PA=x,是否存在實數(shù)x,使得以點P,F(xiàn),E為頂點的三角形也與△ABE相似?若存在,請求出x的值;若不存在,請說明理由;(3)探究:當以D為圓心,DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個公共點時,請直接寫出x滿足的條件:.

參考答案一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)1、C【解析】

依據(jù)科學記數(shù)法的含義即可判斷.【詳解】解:48511111=4.85×117,故本題選擇C.【點睛】把一個數(shù)M記成a×11n(1≤|a|<11,n為整數(shù))的形式,這種記數(shù)的方法叫做科學記數(shù)法.規(guī)律:(1)當|a|≥1時,n的值為a的整數(shù)位數(shù)減1;(2)當|a|<1時,n的值是第一個不是1的數(shù)字前1的個數(shù),包括整數(shù)位上的1.2、C【解析】

由統(tǒng)計圖中提供的數(shù)據(jù),根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、極差的定義分別列出算式,求出答案:【詳解】解:∵90出現(xiàn)了5次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,∴眾數(shù)是90;∵共有10個數(shù),∴中位數(shù)是第5、6個數(shù)的平均數(shù),∴中位數(shù)是(90+90)÷2=90;∵平均數(shù)是(80×1+85×2+90×5+95×2)÷10=89;極差是:95﹣80=1.∴錯誤的是C.故選C.3、C【解析】

先利用切線長定理得到,再利用可判斷為等邊三角形,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解.【詳解】解:,PB為的切線,,,為等邊三角形,.故選C.【點睛】本題考查切線長定理,掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵.4、B【解析】

正實數(shù)都大于0,負實數(shù)都小于0,正實數(shù)大于一切負實數(shù),兩個負實數(shù)絕對值大的反而小,據(jù)此判斷即可.【詳解】根據(jù)實數(shù)比較大小的方法,可得<|-3|=3<-(-π),所以最大的數(shù)是:-(-π).故選B.【點睛】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法,及判斷無理數(shù)的范圍,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是要明確:正實數(shù)>0>負實數(shù),兩個負實數(shù)絕對值大的反而?。?、B【解析】試題分析:根據(jù)俯視圖是分別從物體上面看,所得到的俯視圖是四邊形的幾何體有正方體和三棱柱,故選B.考點:簡單幾何體的三視圖6、A【解析】由相反數(shù)的定義:“只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)”可知-5的相反數(shù)是5.故選A.7、A【解析】

根據(jù)一元二次方程的根的判別式,建立關(guān)于m的不等式,求出m的取值范圍即可.【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根,∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×m>0,∴m<,故選A.【點睛】本題考查了根的判別式,解題的關(guān)鍵在于熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系,即:(1)△>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根;(3)△<0?方程沒有實數(shù)根.8、B【解析】

可證明△DFE∽△BFA,根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案.【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴DC∥AB,∴△DFE∽△BFA,∵DE:EC=3:1,∴DE:DC=3:4,∴DE:AB=3:4,∴S△DFE:S△BFA=9:1.故選B.9、C【解析】

解:因為設小明打字速度為x個/分鐘,所以小張打字速度為(x+6)個/分鐘,根據(jù)關(guān)系:小明打120個字所用的時間和小張打180個字所用的時間相等,可列方程得,故選C.【點睛】本題考查列分式方程解應用題,找準題目中的等量關(guān)系,難度不大.10、D【解析】

作PB⊥OA于B,如圖,根據(jù)垂徑定理得到OB=AB,則S△POB=S△PAB,再根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得到S△POB=|k|,所以S=2k,為定值.【詳解】作PB⊥OA于B,如圖,則OB=AB,∴S△POB=S△PAB.∵S△POB=|k|,∴S=2k,∴S的值為定值.故選D.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義:在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點,過這一個點向x軸和y軸分別作垂線,與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|.11、D【解析】

直接利用分式的加減運算法則計算得出答案.【詳解】解:=﹣+=﹣+==,故小明、小紅都不正確.故選:D.【點睛】此題主要考查了分式的加減運算,正確進行通分運算是解題關(guān)鍵.12、A【解析】

可設1本筆記本的單價為x元,1支筆的單價為y元,由題意可得等量關(guān)系:①3本筆記本的費用+2支筆的費用=19元,②1本筆記本的費用﹣1支筆的費用=3元,根據(jù)等量關(guān)系列出方程組,再求解即可.【詳解】設1本筆記本的單價為x元,1支筆的單價為y元,依題意有:,解得:.故1本筆記本的單價為5元,1支筆的單價為2元.故選A.【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用,關(guān)鍵是正確理解題意,找出題目中的等量關(guān)系設出未知數(shù),列出方程組.二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)13、1【解析】解:由(x、y、z≠0),解得:x=3z,y=2z,原式===1.故答案為1.點睛:本題考查了分式的化簡求值和解二元一次方程組,難度適中,關(guān)鍵是先用z把x與y表示出來再進行代入求解.14、1【解析】分析:由題意和生活實際可知:“三個人中,至少有兩個人的性別是相同的”即可得到所求概率為1.詳解:∵三人的性別存在以下可能:(1)三人都是“男性”;(2)三人都是“女性”;(3)三人的性別是“2男1女”;(4)三人的性別是“2女1男”,∴三人中至少有兩個人的性別是相同的,∴P(三人中有二人性別相同)=1.點睛:列出本題中所有的等可能結(jié)果是解題的關(guān)鍵.15、【解析】

首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次都摸到白球的情況,再利用概率公式即可求得答案.【詳解】畫樹狀圖得:

∵共有12種等可能的結(jié)果,兩次都摸到白球的有2種情況,

∴兩次都摸到白球的概率是:=.

故答案為:.【點睛】本題考查用樹狀圖法求概率,解題的關(guān)鍵是掌握用樹狀圖法求概率.16、【解析】分析:按照二次根式的相關(guān)運算法則和性質(zhì)進行計算即可.詳解:∵,∴.故答案為:.點睛:熟記二次根式的以下性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵:(1);(2)=.17、【解析】

根據(jù)已知條件設出直角三角形一直角邊與斜邊的長,再根據(jù)勾股定理求出另一直角邊的長,由三角函數(shù)的定義直接解答即可.【詳解】由sinα==知,如果設a=x,則c=2x,結(jié)合a2+b2=c2得b=x.∴cos==.故答案為.【點睛】本題考查的知識點是同角三角函數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是熟練的掌握同角三角函數(shù)的關(guān)系.18、軸【解析】

根據(jù)軸對稱圖形的概念,等腰梯形是軸對稱圖形,且有1條對稱軸,即底邊的垂直平分線.【詳解】畫圖如下:結(jié)合圖形,根據(jù)軸對稱的定義及等腰梯形的特征可知,等腰梯形是軸對稱圖形.故答案為:軸【點睛】本題考查了關(guān)于軸對稱的定義,運用定義會進行判斷一個圖形是不是軸對稱圖形.三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19、(1);(2)m=3;(3)【解析】

(1)本題需先根據(jù)圖象過A點,代入即可求出解析式;(2)由△OAB∽△PAN可用m表示出PN,且可表示出PM,由條件可得到關(guān)于m的方程,則可求得m的值;(3)在y軸上取一點Q,使,可證的△P2OB∽△QOP2,則可求得Q點坐標,則可把AP2+BP2轉(zhuǎn)換為AP2+QP2,利用三角形三邊關(guān)系可知當A、P2、Q三點在一條線上時,有最小值,則可求出答案.【詳解】解:(1)∵A(4,0)在拋物線上,∴0=16a+4(a+2)+2,解得a=﹣,∴拋物線的解析式為y=;(2)∵∴令x=0可得y=2,∴OB=2,∵OP=m,∴AP=4﹣m,∵PM⊥x軸,∴△OAB∽△PAN,∴,∴,∴,∵M在拋物線上,∴PM=+2,∵PN:MN=1:3,∴PN:PM=1:4,∴,解得m=3或m=4(舍去);(3)在y軸上取一點Q,使,如圖,由(2)可知P1(3,0),且OB=2,∴,且∠P2OB=∠QOP2,∴△P2OB∽△QOP2,∴,∴當Q(0,)時,QP2=,∴AP2+BP2=AP2+QP2≥AQ,∴當A、P2、Q三點在一條線上時,AP2+QP2有最小值,∵A(4,0),Q(0,),∴AQ==,即AP2+BP2的最小值為【點睛】本題考查了拋物線解析式的求法,拋物線與相似三角形的問題,坐標系里表示三角形的面積及線段和最小值問題,要求會用字母代替長度,坐標,會對代數(shù)式進行合理變形,難度相對較大.20、(1)①證明見解析;②10;(2)線段EF的長度不變,它的長度為25..【解析】試題分析:(1)先證出∠C=∠D=90°,再根據(jù)∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°,得出∠2=∠3,即可證出△OCP∽△PDA;根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1:4,得出CP=12(2)作MQ∥AN,交PB于點Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根據(jù)ME⊥PQ,得出EQ=12PQ,根據(jù)∠QMF=∠BNF,證出△MFQ≌△NFB,得出QF=12QB,再求出EF=12試題解析:(1)如圖1,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴∠1+∠3=90°,∵由折疊可得∠APO=∠B=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠3,又∵∠D=∠C,∴△OCP∽△PDA;∵△OCP與△PDA的面積比為1:4,∴OPPA=CPDA=14(2)作MQ∥AN,交PB于點Q,如圖2,∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP=∠MQP,∴MP=MQ,∵BN=PM,∴BN=QM.∵MP=MQ,ME⊥PQ,∴EQ=12PQ.∵MQ∥AN,∴∠QMF=∠BNF,在△MFQ和△NFB中,∵∠QFM=∠NFB,∠QMF=∠BNF,MQ=BN,∴△MFQ≌△NFB(AAS),∴QF=12QB,∴EF=EQ+QF=12PQ+12QB=12PB,由(1)中的結(jié)論可得:PC=4,BC=8,∠C=90°,∴PB=82+42考點:翻折變換(折疊問題);矩形的性質(zhì);相似形綜合題.21、(1)見解析;(2)1;(3)估計全校達標的學生有10人【解析】

(1)成績一般的學生占的百分比=1-成績優(yōu)秀的百分比-成績不合格的百分比,測試的學生總數(shù)=不合格的人數(shù)÷不合格人數(shù)的百分比,繼而求出成績優(yōu)秀的人數(shù).(2)將成績一般和優(yōu)秀的人數(shù)相加即可;(3)該校學生文明禮儀知識測試中成績達標的人數(shù)=1200×成績達標的學生所占的百分比.【詳解】解:(1)成績一般的學生占的百分比=1﹣20%﹣50%=30%,測試的學生總數(shù)=24÷20%=120人,成績優(yōu)秀的人數(shù)=120×50%=60人,所補充圖形如下所示:(2)該校被抽取的學生中達標的人數(shù)=36+60=1.(3)1200×(50%+30%)=10(人).答:估計全校達標的學生有10人.22、(1)證明見解析;(2)BE=5【解析】試題分析:連接OD.根據(jù)圓周角定理得到∠ADO+∠ODB=90°,而∠CDA=∠CBD,∠CBD=∠BDO.于是∠ADO+∠CDA=90°,可以證明是切線.(2)根據(jù)已知條件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性質(zhì)得到CDBD=ADBD.試題解析:(1)連接OD.∵OB=OD,∴∠OBD=∠BDO.∵∠CDA=∠CBD,∴∠CDA=∠ODB.又∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠ADO+∠ODB=90°,∴∠ADO+∠CDA=90°,即∠CDO=90°,∴OD⊥CD.∵OD是⊙O的半徑,∴CD是⊙O的切線;(2)∵∠C=∠C,∠CDA=∠CBD,∴△CDA∽△CBD,CD∵ADBD=2∵CE,BE是⊙O的切線,∴BE=DE,BE⊥BC,∴BE2+BC2=EC2,即BE2+62=(4+BE)2,解得BE=.23、(1)證明見解析;(2)四邊形EFGH是菱形,證明見解析;(3)四邊形EFGH是正方形.【解析】

(1)如圖1中,連接BD,根據(jù)三角形中位線定理只要證明EH∥FG,EH=FG即可.(2)四邊形EFGH是菱形.先證明△APC≌△BPD,得到AC=BD,再證明EF=FG即可.(3)四邊形EFGH是正方形,只要證明∠EHG=90°,利用△APC≌△BPD,得∠ACP=∠BDP,即可證明∠COD=∠CPD=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明.【詳解】(1)證明:如圖1中,連接BD.∵點E,H分別為邊AB,DA的中點,∴EH∥BD,EH=BD,∵點F,G分別為邊BC,CD的中點,∴FG∥BD,F(xiàn)G=BD,∴EH∥FG,EH=GF,∴中點四邊形EFGH是平行四邊形.(2)四邊形EFGH是菱形.證明:如圖2中,連接AC,BD.∵∠APB=∠CPD,∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,即∠APC=∠BPD,在△APC和△BPD中,∵AP=PB,∠APC=∠BPD,PC=PD,∴△APC≌△BPD,∴AC=BD.∵點E,F(xiàn),G分別為邊AB,BC,CD的中點,∴EF=AC,F(xiàn)G=BD,∵四邊形EFGH是平行四邊形,∴四邊形EFGH是菱形.(3)四邊形EFGH是正方形.證明:如圖2中,設AC與BD交于點O.AC與PD交于點M,AC與EH交于點N.∵△APC≌△BPD,∴∠ACP=∠BDP,∵∠DMO=∠CMP,∴∠COD=∠CPD=90°,∵EH∥BD,AC∥HG,∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,∵四邊形EFGH是菱形,∴四邊形EFGH是正方形.考點:平行四邊形的判定與性質(zhì);中點四邊形.24、(1)50;(2)見解析;(3)2400.【解析】

(1)用反對的頻數(shù)除以反對的頻率得到調(diào)查的總?cè)藬?shù);(2)求無所謂的人數(shù)和贊成的頻率即可把整理的不完整圖表補充完整;(3)根據(jù)題意列式計算即可.【詳解】解:(1)觀察統(tǒng)計表知道:反對的頻數(shù)為40,頻率為0.8,故調(diào)查的人數(shù)為:40÷0.8=50人;故答案為:50;(2)無所謂的頻數(shù)為:50﹣5﹣40=5人,贊成的頻率為:1﹣0.1﹣0.8=0.1;看法頻數(shù)頻率贊成50.1無所謂50.1反對400.8統(tǒng)計圖為:(3)0.8×3000=2400人,答:該校持“反對”態(tài)度的學生人數(shù)是2400人.【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖的綜合運用,讀懂統(tǒng)計圖,從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù).25、(1)證明見解析;(2)△APQ是等邊三角形.【解析】

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