學(xué)習(xí)要點(diǎn)：平均數(shù)

1/4學(xué)習(xí)要點(diǎn)：平均數(shù)1．算術(shù)平均數(shù)一般地，對于n個(gè)數(shù)x1，x2，x3，…，xn，我們把eq\f(1,n)(x1＋x2＋x3＋…＋xn)叫做這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù)，記作eq\x\to(x).平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，它是一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的基準(zhǔn)．如果需要了解一組數(shù)據(jù)的平均水平時(shí)，可計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．談重點(diǎn)確定平均數(shù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是唯一的，與數(shù)列的排列順序無關(guān)；另外平均數(shù)要帶單位，它的單位與原數(shù)據(jù)單位一致．【例1】某油桃種植戶今年喜獲豐收，他從采摘的一批總質(zhì)量為900kg的油桃中隨機(jī)抽取了10個(gè)油桃，稱得其質(zhì)量(單位：g)分別為：106,99,100,113,111,97,104,112,98,110.(1)估計(jì)這批油桃中每個(gè)油桃的平均質(zhì)量；(2)若質(zhì)量不小于110g的油桃可定為優(yōu)級(jí)，估計(jì)這批油桃中，優(yōu)級(jí)油桃占油桃總數(shù)的百分之幾？達(dá)到優(yōu)級(jí)的油桃有多少千克？分析：隨機(jī)抽取的部分個(gè)體的平均數(shù)約等于總體的平均數(shù)．解：(1)eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(106＋99＋100＋113＋111＋97＋104＋112＋98＋110)＝105(g)，由此估計(jì)這一批油桃中，每個(gè)油桃的平均質(zhì)量為105g；(2)eq\f(4,10)×100%＝40%,900×40%＝360(kg)，估計(jì)這一批油桃中優(yōu)級(jí)油桃占總數(shù)的40%，其質(zhì)量為360kg.2．加權(quán)平均數(shù)如果n個(gè)數(shù)中，x1出現(xiàn)f1次，x2出現(xiàn)f2次，…，xk出現(xiàn)fk次(這里f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么，根據(jù)平均數(shù)的定義，這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)可以表示為eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)，這樣求得的平均數(shù)叫做加權(quán)平均數(shù)．其中f1，f2，…，fk叫做權(quán)．點(diǎn)評：各個(gè)數(shù)據(jù)對應(yīng)的權(quán)，表示這個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度，權(quán)越大表示越重要．【例2】在“心系災(zāi)區(qū)”自愿捐款活動(dòng)中，某班30名同學(xué)的捐款情況如下表：捐款(元)51015202530人數(shù)1196211(1)這個(gè)班級(jí)捐款總數(shù)是多少元？(2)求出這30名同學(xué)捐款的平均數(shù)．分析：計(jì)算平均數(shù)時(shí)，要先看看使用哪一個(gè)公式，帶有權(quán)的問題應(yīng)該用加權(quán)平均數(shù)公式．解：(1)5×11＋10×9＋15×6＋20×2＋25×1＋30×1＝330(元)．(2)330÷30＝11(元)．所以這個(gè)班級(jí)捐款總數(shù)是330元；這30名同學(xué)捐款的平均數(shù)為11元．3．求平均數(shù)的三種方法平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，它是一組數(shù)據(jù)的“重心”，是度量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的最重要的因素．如果要了解一組數(shù)據(jù)的平均水平，就需要計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，常用的方法有以下三種：(1)定義法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn比較分散時(shí)，一般選用定義公式：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋x3＋…＋xn)計(jì)算平均數(shù)．(2)新數(shù)據(jù)法：當(dāng)所給的數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)a的上下波動(dòng)時(shí)，一般選用簡化公式：eq\x\to(x)＝eq\x\to(x)′＋a(xi＝x′i＋a，其中i＝1,2，…，n)，其中，常數(shù)a通常取接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的較“整”的數(shù)．(3)加權(quán)平均數(shù)法：當(dāng)所給數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，一般選用加權(quán)平均數(shù)公式eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)，其中f1＋f2＋…＋fk＝n.【例3】公交508路總站設(shè)在一居民小區(qū)附近．為了了解高峰時(shí)段從總站乘車出行的人數(shù)，隨機(jī)抽查了10個(gè)班次的乘車人數(shù)，結(jié)果如下：20232625292830252123(1)計(jì)算這10個(gè)班次乘車人數(shù)的平均數(shù)；(2)如果在高峰時(shí)段從總站共發(fā)車60個(gè)班次，根據(jù)上面的計(jì)算結(jié)果，估計(jì)在高峰時(shí)段從總站乘該路車出行的乘客共有多少人？解：(1)取a＝25，則相應(yīng)新數(shù)據(jù)為：－5，－2,1,0,4,3,5,0，－4，－2.∵新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)′＝eq\f(－5－2＋1＋0＋4＋3＋5＋0－4－2,10)＝0，∴eq\x\to(x)＝eq\x\to(x)′＋a＝25.(2)∵25×60＝1500，∴乘該路車出行的乘客共有1500人．析規(guī)律靈活求平均數(shù)同學(xué)們在解決有關(guān)平均數(shù)問題時(shí)，應(yīng)該根據(jù)所給數(shù)據(jù)的特征，靈活選用這三種方法求解．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少的數(shù)據(jù)重復(fù)時(shí)，可以使用加權(quán)平均數(shù)公式來計(jì)算平均數(shù)，其中尤其應(yīng)注意各“權(quán)”之和等于各數(shù)據(jù)之和．[4．平均數(shù)的應(yīng)用平均數(shù)是數(shù)據(jù)的典型代表，它能刻畫一組數(shù)據(jù)的“平均水平”，在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，也是中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一．(1)由一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，求另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(2)利用加權(quán)平均數(shù)進(jìn)行決策．各項(xiàng)成績的權(quán)不同，說明各項(xiàng)成績的重要程度不同．(3)用平均數(shù)進(jìn)行估算．統(tǒng)計(jì)中常用樣本來估計(jì)總體的方法獲得對總體的認(rèn)識(shí)，在實(shí)際生活中也常用樣本平均數(shù)來估計(jì)總體平均數(shù)．實(shí)際問題中，一組數(shù)據(jù)中的各個(gè)數(shù)據(jù)的“重要程度”未必相同．因而，在計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)，往往給每個(gè)數(shù)據(jù)一個(gè)“權(quán)”，反映數(shù)據(jù)的相對“重要程度”，即通過選用不同的權(quán)重計(jì)算出平均數(shù)，來評價(jià)某一具體問題．【例4】某公司對應(yīng)聘者進(jìn)行面試，按專業(yè)知識(shí)、工作經(jīng)驗(yàn)、儀表形象給應(yīng)聘者打分，這三個(gè)方面的重要性之比為6∶3∶1.對應(yīng)聘的王麗、張瑛兩人的打分如下：王麗張瑛專業(yè)知識(shí)1418工作經(jīng)驗(yàn)1616儀表形象1812如果兩人中只錄取一人，若你是人事主管，你會(huì)錄用__________．解析：專業(yè)知識(shí)、工作經(jīng)驗(yàn)、儀表形象的重要性之比為6∶3∶1.則王麗的平均成績?yōu)閑q\f(14×6＋16×3＋18×