華師版八年級下冊數(shù)學(xué)19.3 正方形（同步課件）

19.3正方形數(shù)學(xué)（華東師大版）八年級

下冊第19章

矩形、菱形與正方形學(xué)習(xí)目標(biāo)1、探索并證明正方形的性質(zhì)，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；2、探索并證明正方形的判定；3、會(huì)運(yùn)用正方形的性質(zhì)及判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算.

溫故知新觀察下面兩個(gè)圖形，你能說一說它們的名字和定義嗎？矩形菱形有一個(gè)角是直角的平行四邊形有一組鄰邊相等的平行四邊形

導(dǎo)入新課觀察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無處不在.講授新課知識點(diǎn)一

正方形的概念與性質(zhì)矩形變正方形一組鄰邊相等講授新課菱形變正方形一個(gè)角是90°講授新課正方形定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.正方形是矩形或者是菱形嗎？正方形的四條邊都相等，說明正方形既是平行四邊形，又是菱形；正方形的四個(gè)角都是直角，說明正方形是矩形，即正方形不僅是平行四邊形，也是矩形和菱形.歸納總結(jié)講授新課思考：1.正方形的邊、角、對角線有什么特征？請說明理由.2.正方形是軸對稱圖形嗎？如果是，有幾條對稱軸？3.平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么樣的關(guān)系？能用一個(gè)直觀圖進(jìn)行表示嗎？ABCD講授新課正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形與菱形的所有性質(zhì)．邊：角：對角線：對角線互相垂直平分每條對角線平分一組對角對角線相等四個(gè)角都是直角對邊平行四條邊相等ABCD講授新課已知：如圖,四邊形ABCD

是正方形，∠A=90°,AB=AC

.求證：正方形ABCD四邊相等,四個(gè)角都是直角.證明：∵正方形是平行四邊形 ∴正方形是矩形（正方形的定義） 正方形是菱形(正方形的定義) ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°

AB=BC=CD=ADABCD講授新課

正方形的性質(zhì)1:正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等.ABCD符號語言：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD歸納總結(jié)講授新課已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO

證明：∵正方形ABCD是矩形

∴AO=BO=CO=DO ∵正方形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD講授新課

正方形的性質(zhì)2:正方形的對角線相等并且互相垂直平分.歸納總結(jié)ABCDO符號語言：∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD，AC=BD,OA=OB=OC=OD講授新課矩形菱形正方形平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：性質(zhì)：1.正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等.2.正方形的對角線相等且互相垂直平分.歸納總結(jié)講授新課

正方形是中心對稱圖形，對角線的交點(diǎn)是它的對稱中心.

正方形是軸對稱圖形，兩條對角線所在直線，以及過每一組對邊中點(diǎn)的直線都是它的對稱軸.

由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：知識要點(diǎn)ABCD講授新課典例精析【例1】求證:正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO

≌△CDO≌△DAO.講授新課練一練1、如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形，求證：∠EAD＝∠EDA＝15°

.證明：∵

ΔBEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.講授新課2、四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大?。猓寒?dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時(shí)，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.講授新課知識點(diǎn)二

正方形的判定如何判定一個(gè)四邊形是正方形呢？判定一個(gè)四邊形為正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩條：（1）先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等；（2）先證它是菱形，再證它有一個(gè)角為直角.

簡記

：

即是矩形又是菱形就是正方形講授新課準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊，然后展開，折疊部分得到一個(gè)正方形，可量一量驗(yàn)證驗(yàn)證.滿足什么條件的矩形是正方形？講授新課【猜想1】當(dāng)矩形的________________時(shí)，會(huì)變成一個(gè)正方形。一組鄰邊相等【猜想2】當(dāng)矩形的________________時(shí)，會(huì)變成一個(gè)正方形。對角線互相垂直講授新課已知：如圖，在矩形ABCD中，AC,DB是它的兩條對角線，AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.ABCDO證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴四邊形ABCD是正方形.講授新課歸納總結(jié)

通過矩形判定正方形：判定方法1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形。符號語言：∵四邊形ABCD是矩形，AB=AD，所以四邊形ABCD是正方形。判定方法2：對角線互相垂直的矩形是正方形。符號語言：∵四邊形ABCD是矩形，AC⊥BD，所以四邊形ABCD是正方形。ABCDO講授新課滿足什么條件的菱形是正方形？【猜想1】當(dāng)菱形的________________時(shí)，會(huì)變成一個(gè)正方形。一個(gè)角是直角【猜想2】當(dāng)菱形的________________時(shí)，會(huì)變成一個(gè)正方形。對角線相等講授新課已知：如圖，在菱形ABCD中，AC,DB是它的兩條對角線，AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.ABCDO證明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形對角線互相垂直）又∵AC=BD

，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定義）.講授新課

通過菱形判定正方形：判定方法1：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。符號語言：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=90°，所以四邊形ABCD是正方形。判定方法2：對角線相等的菱形是正方形。符號語言：∵四邊形ABCD是菱形，AC=BD，所以四邊形ABCD是正方形。ABCDO歸納總結(jié)講授新課

1.定義法：2.矩形法：一鄰邊相等一個(gè)直角++平行四邊形=正方形3.菱形法：一鄰邊相等+矩形=正方形一個(gè)直角+菱形=正方形對角線互相垂直+矩形=正方形對角線相等+菱形=正方形正方形判定方法講授新課典例精析【例2】在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.分析：由已知可證△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四邊形EFMN是菱形，再證有一個(gè)角是直角即可.講授新課在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，

∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.講授新課練一練證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB

，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四邊形EDFC是矩形.過點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線DE⊥AC，DG⊥AB，∴DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴矩形EDFC是正方形.1、如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D.DE⊥AC，DF⊥AB.求證:四邊形CEDF為正方形.ABCDEFG講授新課2、

如圖，正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF=AE．（1）求證：BF=DE；（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)(其他條件都保持不變)，問四邊形AFBE是什么特殊四邊形？說明理由．（1）證明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠DAE＝∠BAF，AE＝AF

,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；講授新課（2）解：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)四邊形AFBE是正方形，理由：∵點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴四邊形AFBE為平行四邊形，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴平行四邊形AFBE是正方形．當(dāng)堂檢測1．平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是

()A．對角線互相平分

B．對角線相互垂直C．對角線相等

D．對角線互相垂直平分且相等2．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，則以AC為邊長的正方形ACEF的周長為

()A．14

B．15

C．12

D．17ACABCDEF60°當(dāng)堂檢測3．在正方形ABC中,∠ADB=

,∠DAC=

,∠BOC=

.45°90°45°ADBCOADBCOE第3題圖第4題圖4.在正方形ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是

.22.5°當(dāng)堂檢測5.如圖，在正方形ABCD

中，對角線AC

與BD

相交于點(diǎn)O，圖中有多少個(gè)等腰三角形？解：圖中共有8個(gè)等腰三角形.△OAB、△OBC、△OCD、△ODA、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB當(dāng)堂檢測6.如圖，四邊形ABCD是正方形，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AO＝2，求正方形的周長與面積．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周長為4AD＝，面積為AD2＝8.當(dāng)堂檢測7.如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于E，

PF⊥DC于F.試說明：AP=EF.ABCDPEF解:連接PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°,AC垂直平分BD,∴四邊形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF.當(dāng)堂檢測8、如圖，在四邊形ABCD中,

AB=BC

,對角線BD平分

ABC

,

P是BD上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PM

AD

,

PN

CD

,垂足分別為M、N.(1)求證：

ADB=

CDB;(2)若

ADC=90

,求證：四邊形MPND是正方形.CABDPMN證明：（1）∵BD平分∠ABC.∴∠1=∠2.

又∵AB=BC,∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.

（2）∵PM⊥AD,PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°.12

又∵∠ADC=90°，

∴四邊形NPMD是矩形.∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB=45°.∴∠MPD=∠NPD=45°.

∴DM=PM,DN=PN.∴四邊形NPM