2025中考數(shù)學(xué)沖刺搶押秘籍(廣東版)猜押05廣東卷中考數(shù)學(xué)19-21題(統(tǒng)計(jì)的綜合函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題幾何圖形操作探究問題解答題)(解析版)

猜押05廣東卷中考數(shù)學(xué)19-21題（解答題）猜押考點(diǎn)1年成都真題考情分析押題依據(jù)難度統(tǒng)計(jì)的綜合2024年廣東省卷第19題2024年第19題考查平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)，2023年涉及扇形圖分析2025年模擬卷第19題可能設(shè)置“旅游景區(qū)評分計(jì)算”中函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題2024年廣東省卷第20題2024年第20題考查二次函數(shù)的銷售問題，2023年涉及拋物線最值2025年模擬卷第20題可能結(jié)合“新能源汽車銷量預(yù)測”中幾何圖形操作探究問題2024年廣東省卷第21題2024年第21題考查圓錐綜合，2023年涉及圓與相似三角形2025年模擬卷第21題可能結(jié)合“圓的切線與相似三角形”中題型一統(tǒng)計(jì)的綜合1．（2025·廣東·一模）如圖所示，該折線統(tǒng)計(jì)圖為為初三（六）班兩位同學(xué)在校運(yùn)會50米班級選拔賽中的成績，將這兩名同學(xué)記為甲與乙，觀察該折線統(tǒng)計(jì)圖并完成下面的設(shè)問．(1)完成表格學(xué)生平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)極差甲8.68.9乙1.0(2)假定你是班長，請你根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)量，并結(jié)合你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識，從平均成績以及穩(wěn)定性角度出發(fā)，從甲、乙中選拔一個同學(xué)參加校運(yùn)會．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、求中位數(shù)、運(yùn)用方差做決策、求極差【分析】本題主要考查了平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，極差，熟知相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的意義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，極差的定義求解即可；（2）二人平均成績相同，但是甲成績波動大，據(jù)此可得結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意得，乙的平均數(shù)為秒，把甲的成績按照從低到高排列為，處在第3名和第4名的成績?yōu)槊?，秒，∴甲成績的中位?shù)為秒，∵甲成績?yōu)槊氲拇螖?shù)最多，∴甲成績的眾數(shù)為秒；把乙的成績按照從低到高排列為，處在第3名和第4名的成績?yōu)槊?，秒，∴乙成績的中位?shù)為秒，∵乙成績?yōu)槊氲拇螖?shù)最多，∴乙成績的眾數(shù)為秒；甲成績的極差為，乙成績的極差為，填表如下所示：學(xué)生平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)極差甲8.68.98.92.3乙8.68.68.61.0（2）解：從平均成績而言，甲學(xué)生與乙學(xué)生均為8.6秒，而從穩(wěn)定性角度而言，顯然乙同學(xué)波動情況明顯優(yōu)于甲同學(xué)，故綜合平均成績與穩(wěn)定性研判，應(yīng)選擇乙同學(xué)．2．（2025·廣東·一模）神舟十九號航天員乘組于2024年12月17日完成首次出艙活動，用時，刷新了中國航天員單次出艙活動時長紀(jì)錄．某中學(xué)開展“航空航天知識競賽”活動，九年級有甲、乙兩組各10名學(xué)生參加比賽（比賽成績均為整數(shù)，滿分為10分）．甲組學(xué)生的比賽成績：3，6，6，6，6，6，6，9，9，10．乙組學(xué)生的比賽成績條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．甲、乙兩組學(xué)生的比賽成績統(tǒng)計(jì)表如表所示．組別平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差甲6乙－－7(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，統(tǒng)計(jì)表中，；(2)求乙組學(xué)生比賽成績的平均數(shù)；(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為甲、乙兩組學(xué)生在比賽活動中，哪組學(xué)生的比賽成績更好？請說明理由．【答案】(1)見詳解，6，7(2)(3)乙組學(xué)生的比賽成績更好，理由見詳解【知識點(diǎn)】運(yùn)用方差做決策、求中位數(shù)、求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、畫條形統(tǒng)計(jì)圖【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，方差的概念等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上概念．（1）利用總數(shù)減去已知量求出所求量補(bǔ)全條形圖即可，利用眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解即可；（2）利用算術(shù)平均數(shù)的公式或加權(quán)平均數(shù)的公式求解即可；（3）利用平均數(shù)和方差進(jìn)行對比甲乙兩組的成績，然后描述即可．【詳解】（1）解：7分的人數(shù)為：，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖2所示，乙組學(xué)生的比賽成績條形統(tǒng)計(jì)圖甲組數(shù)據(jù)中6出現(xiàn)的次數(shù)最多，，乙組數(shù)據(jù)排序后第5位和第6位數(shù)據(jù)分別為7、7，∴乙組的中位數(shù)為：，故答案為：，；（2）解：；所以，乙組學(xué)生比賽成績的平均數(shù)為；（3）解：乙組學(xué)生的比賽成績更好．理由如下：∵，且甲組學(xué)生比賽成績的方差為乙組學(xué)生比賽成績的方差，∴乙組學(xué)生的比賽成績較為穩(wěn)定，∴乙組學(xué)生的比賽成績更好．3．（2025·廣東江門·一模）中國人有在端午節(jié)這一天吃“粽子”的傳統(tǒng)，某粽子加工廠家為迎接端午的到來，組織了“濃情端午粽葉飄香”員工包粽子比賽，規(guī)定所包粽子質(zhì)量為時都符合標(biāo)準(zhǔn)，其中質(zhì)量為優(yōu)秀產(chǎn)品．現(xiàn)從甲乙兩位員工所包粽子中各隨機(jī)抽取10個進(jìn)行評測，質(zhì)量分別如下（單位：）：甲：157，157，159，159，160，161，161，161，162，163乙：158，158，159，159，159，159，161，162，162，163分析數(shù)據(jù)如表：員工平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲160160.5a3.6乙160b159c根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)_____，_____，_____．(2)若比賽規(guī)則的評判標(biāo)準(zhǔn)里看重所包粽子質(zhì)量是否符合標(biāo)準(zhǔn)以及粽子質(zhì)量的穩(wěn)定性，根據(jù)抽樣所得的粽子質(zhì)量，你覺得哪位員工更加優(yōu)秀？請說明理由．(3)在此次比賽中，甲員工共包了100個粽子，乙員工共包了104個粽子，請你估計(jì)兩位員工各自所包粽子質(zhì)量屬于“優(yōu)秀產(chǎn)品”的個數(shù)？若以優(yōu)秀率作為評判標(biāo)準(zhǔn)請判斷哪位員工更加優(yōu)秀？請說明理由．【答案】(1)，，3(2)乙，見解析(3)甲員工所包粽子質(zhì)量屬于“優(yōu)秀產(chǎn)品”的個數(shù)為個，乙員工所包粽子質(zhì)量屬于“優(yōu)秀產(chǎn)品”的個數(shù)為個，甲員工更加優(yōu)秀，見解析【知識點(diǎn)】求中位數(shù)、求眾數(shù)、求方差、運(yùn)用方差做決策【分析】本題考查了求眾數(shù)、中位數(shù)、方差的應(yīng)用；樣本估計(jì)總體；（1）根據(jù)眾數(shù)的定義求出甲的眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的定義求得乙的中位數(shù)即可，根據(jù)方差的定義求出乙的方差即可；（2）比較兩者方差的大小即可；（3）利用樣本估計(jì)總體求出兩位員工各自所包粽子質(zhì)量屬于“優(yōu)秀產(chǎn)品”的個數(shù)，求出兩位員工各自所包粽子的優(yōu)秀率，即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得，乙的中位數(shù)為第5、6個數(shù)的平均數(shù)，，，故答案為：，，3；（2）解：乙員工更加優(yōu)秀，理由如下：因?yàn)橐业姆讲钚∮诩椎姆讲?，所以乙所包粽子質(zhì)量質(zhì)量比較穩(wěn)定；（3）解：個，個，甲員工所包粽子質(zhì)量屬于“優(yōu)秀產(chǎn)品”的個數(shù)為個，乙員工所包粽子質(zhì)量屬于“優(yōu)秀產(chǎn)品”的個數(shù)為個，甲員工所包粽子的優(yōu)秀率為，乙員工所包粽子的優(yōu)秀率為，甲員工所包粽子的優(yōu)秀率大于乙員工所包粽子的優(yōu)秀率，甲員工更加優(yōu)秀．4．（2025·廣東惠州·一模）為積極響應(yīng)全民閱讀號召，助力書香社會建設(shè)，同時強(qiáng)化青少年的愛國情懷，某校成功舉辦了以“閱讀紅色經(jīng)典，講好思政故事”為主題的演講活動．活動吸引了30名學(xué)生踴躍參賽．比賽過程中，七位專業(yè)評委依據(jù)演講內(nèi)容、語言表達(dá)、形象風(fēng)度、綜合印象四個維度，對參賽學(xué)生進(jìn)行細(xì)致評分．評分規(guī)則為：去掉一個最高分與一個最低分后，計(jì)算剩余分?jǐn)?shù)的平均值，作為學(xué)生在每個維度的成績（成績單位為分，滿分為100分）．隨后，按照特定比例，對演講內(nèi)容、語言表達(dá)、形象風(fēng)度、綜合印象這四項(xiàng)成績按照3：2：1：4進(jìn)行加權(quán)計(jì)算，從而得出每位學(xué)生的最終成績．現(xiàn)將30名學(xué)生的成績統(tǒng)計(jì)情況公布如下．a(chǎn)．30名學(xué)生最終成績頻數(shù)分布直方圖，b．選手小華和小明的四項(xiàng)成績和最終成績統(tǒng)計(jì)表如下c．七名評委給小明的演講內(nèi)容打分分別為87，82，91，95，91，88，93．請根據(jù)信息，解答下列問題：（每組包含最小值，不包含最大值）學(xué)生四項(xiàng)成績/分最終成績/分演講內(nèi)容語言表達(dá)形象風(fēng)度綜合印象小華97969394小明888380(1)七名評委給小明的演講內(nèi)容打分的這組數(shù)據(jù)中，去掉一個最高分和一個最低分，剩余數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_____分，平均數(shù)是_____分，(2)請計(jì)算小明的最終成績．(3)學(xué)校決定根據(jù)最終成績從高到低設(shè)立一等獎、二等獎、三等獎、優(yōu)秀獎，占比分別為．請你判斷小華和小明分別獲得幾等獎，并說明理由．【答案】(1)91分，90分(2)分(3)小華獲得一等獎，小明獲得優(yōu)秀獎，理由見詳解【知識點(diǎn)】頻數(shù)分布直方圖、求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、求加權(quán)平均數(shù)、求中位數(shù)【分析】本題主要考查了中位數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，加權(quán)平均數(shù)，頻數(shù)直方圖等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)概念．（1）利用中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的概念進(jìn)行求解即可；（2）利用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可；（3）先求出各類獎項(xiàng)的人數(shù)，根據(jù)頻數(shù)直方圖判定出小明和小華的位次范圍即可推出他們獲得的獎項(xiàng)．【詳解】（1）解：去掉一個最高分和一個最低分后的數(shù)據(jù)按序排列為：87，88，91，91，93中位數(shù)為：91分，平均數(shù)為：分故答案為：91分，90分；（2）解：小明的最終成績?yōu)榉郑唬?）解：一等獎人數(shù)：（人），二等獎人數(shù)：（人），三等獎人數(shù)：（人），優(yōu)秀獎人數(shù)：（人），由圖可知，小華的成績分，屬于95-100分這一欄，共2人，小華分?jǐn)?shù)在前兩名，小華獲得一等獎；由圖可知，小明的成績分，屬于80-85分這一欄，比85分高的人數(shù)共有：人，小明的成績處在19至26名之間，小明獲得優(yōu)秀獎，所以，小華獲得一等獎，小明獲得優(yōu)秀獎．5．（2025·廣東惠州·一模）隨著人工智能與各個垂直領(lǐng)域的不斷深入融合，人們也越來越需要具備人工智能的基本知識和應(yīng)用能力．某同學(xué)設(shè)計(jì)了一款機(jī)器人，為了了解它的操作技能情況，對同一設(shè)計(jì)動作與人工進(jìn)行了比賽，機(jī)器人和人工各操作10次，測試成績（百分制）如下：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差機(jī)器人92b958.2人工a90c108.8根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)上述表格中：，；(2)求a的值；(3)根據(jù)數(shù)據(jù)分析，請你分析機(jī)器人和人工操作在技能方面誰更有優(yōu)勢，并說明理由．96，91，95，90，89，95，95，92，88，89100，82，75，87，100，93，71，100，83，99【答案】(1)91.5；100(2)89(3)機(jī)器人操作在技能方面更有優(yōu)勢，理由見解析【知識點(diǎn)】求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、求中位數(shù)、求眾數(shù)、運(yùn)用方差做決策【分析】本題考查了平均數(shù)，方差，中位數(shù)和眾數(shù)，掌握各統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的意義和計(jì)算方法是關(guān)鍵．（1）根據(jù)概念解答即可，中位數(shù)是按順序排列的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）．眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值；（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（3）結(jié)合方差和平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義即可求解．【詳解】（1）解：機(jī)器人技能測試成績排序?yàn)椋?8，89，89，90，91，92，95，95，95，96，中位數(shù)，人工技能測試成績中100分出現(xiàn)的次數(shù)最多，眾數(shù)；故答案為：；100．（2）解：，即的值為89；（3）解：機(jī)器人的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)高于人工，方差較小，可以推斷機(jī)器人操作在技能方面誰更有優(yōu)勢．6．（2025·廣東珠?！ひ荒＃╇S著科技的發(fā)展人工智能漸漸走進(jìn)了人們的生活，現(xiàn)從甲、乙兩款人工智能軟件調(diào)查得分中分別隨機(jī)抽取了20個用戶的得分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（得分用表示），共分為四組，，，，，下面給出了部分信息．甲款人工智能軟件得分?jǐn)?shù)據(jù)：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．乙款人工智能軟件在組內(nèi)的所有得分?jǐn)?shù)據(jù)：85，86，87，88，88，88，90，90．甲、乙兩款人工智能軟件得分統(tǒng)計(jì)表：軟件平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差甲8696.6乙8686.58869.8根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)填空：_______，________，________；(2)若本次調(diào)查有900名用戶對甲款人工智能軟件進(jìn)行了調(diào)查評分，有1200名用戶對乙款人工智能軟件進(jìn)行了評分，估計(jì)其中對甲、乙兩款人工智能軟件非常滿意（）的總用戶數(shù)．(3)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪款人工智能軟件更受用戶歡迎？請說明理由（寫出一條理由即可）；【答案】(1)85.5；85；20(2)510名(3)乙款人工智能軟件更受用戶歡迎，理由見解析（答案不唯一）【知識點(diǎn)】運(yùn)用方差做決策、求中位數(shù)、用樣本的某種“率”估計(jì)總體相應(yīng)的“率”【分析】本題主要考查調(diào)查與統(tǒng)計(jì)的相關(guān)概念及計(jì)算，掌握中位數(shù)，眾數(shù)，百分比的計(jì)算，根據(jù)樣本估算總體數(shù)量的方法，由調(diào)查數(shù)據(jù)作決策的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求出a、b的值，再求出乙款中C組所占的百分比，然后用1分別減去各組所占的百分比得到m的值；（2）通過比較兩款的方差進(jìn)行判斷；（3）用900乘以甲款中D組所占的百分比和1200乘以乙款中D組所占的百分比，然后求它們的和即可．【詳解】（1）解：（1）∵甲款人工智能軟件得分?jǐn)?shù)據(jù)從小到大排列后排在中間的2個數(shù)是85和86，∴中位數(shù)；∵甲款人工智能軟件的所有評分?jǐn)?shù)據(jù)中85出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)，∵乙款人工智能軟件中C組所占的百分比為，∴，即；故答案為：85.5，85，20；（2）∵對甲款人工智能軟件非常滿意的總用戶數(shù)（名）對甲款人工智能軟件非常滿意的總用戶數(shù)（名）∴估計(jì)其中對甲、乙兩款人工智能軟件非常滿意的總用戶數(shù)（名）（3）乙款人工智能軟件更受用戶歡迎．理由如下：∵甲款和乙款的平均數(shù)相同，乙款的方差小于甲款的方差，∴乙款人工智能軟件比較穩(wěn)定，∴乙款人工智能軟件更受用戶歡迎．．7．（2025·山東濟(jì)南·一模）近年來，人工智能浪潮席卷全球，我國抓住這一機(jī)遇迎潮而上，成果豐碩．為了提升學(xué)生的信息素養(yǎng)，某校特組織七、八年級全體學(xué)生開展“靈動數(shù)據(jù)·智匯AI”信息技術(shù)知識競賽，為了解競賽成績，現(xiàn)從該校七、八年級中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的競賽成績x進(jìn)行整理，共分成A，B，C，D四個等級，成績在90以上（含90分）為優(yōu)秀．【信息整理】信息1：等級ABCD成績信息2：信息3：七年級B，C兩組同學(xué)的成績分別為：94，92，92，92，92，89，88，86，85；八年級C組同學(xué)的成績分別為：89，89，89，89，89，88，87，86．【數(shù)據(jù)分析】七、八年級抽取學(xué)生的競賽成績統(tǒng)計(jì)表如下：年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率七年級88a95八年級888935%(1)填空：______；______，______；(2)根據(jù)成績統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為在此次競賽中哪個年級的學(xué)生對當(dāng)前信息技術(shù)的了解情況更好？請說明理由（寫出一條理由即可）；(3)若該校七年級學(xué)生有420人，八年級學(xué)生有580人，請估計(jì)該校七、八年級成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有多少人．【答案】(1)87，89，40(2)七年級學(xué)生對當(dāng)前信息技術(shù)的了解情況更好，理由見解析(3)估計(jì)這兩個年級競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生有人．【知識點(diǎn)】求眾數(shù)、求中位數(shù)、條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖信息關(guān)聯(lián)、由樣本所占百分比估計(jì)總體的數(shù)量【分析】本題考查眾數(shù)、中位數(shù)、用樣本估計(jì)及總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．（1）根據(jù)題意和統(tǒng)計(jì)圖中的信息，可以分別計(jì)算出a、b、m的值；（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以解答本題；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出這兩個年級競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)．【詳解】（1）解：∵A，B兩組人數(shù)共有人，∴七年級抽取學(xué)生的競賽成績中位數(shù)為86與88的平均數(shù)，由條形統(tǒng)計(jì)圖可得：，由八年級C組同學(xué)的分?jǐn)?shù)可知：89出現(xiàn)的次數(shù)最多，所占的百分比為，∴，，故答案為：87，89，；（2）解：七年級學(xué)生對當(dāng)前信息技術(shù)的了解情況更好，理由：由表格可知，七八年級的平均數(shù)相同，七年級學(xué)生對當(dāng)前信息技術(shù)的了解的優(yōu)秀率高于八年級學(xué)生對當(dāng)前信息技術(shù)的了解的優(yōu)秀率；（3）解：由題意可得，（人），答：估計(jì)這兩個年級競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生有人．8．（2025·廣東湛江·一模）為促進(jìn)中學(xué)生對傳統(tǒng)年俗文化知識的了解，重慶某中學(xué)在八年級和九年級開展了“傳統(tǒng)年俗文化知識競賽”，并從八年級和九年級的學(xué)生中分別隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的競賽成績（百分制），通過收集、整理、描述和分析（得分用x表示，共分為四組：A.，B.，C.，D．），得到如下不完全的信息：八、九年級所抽學(xué)生競賽成績統(tǒng)計(jì)表年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)八年級86.6m86九年級86.688.5n八年級抽取的競賽成績在B組中的數(shù)據(jù)為：89，88，86，86，86，86．九年級抽取的所有學(xué)生競賽成績數(shù)據(jù)為：99，98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，82，81，77，77，76，73，66．請根據(jù)以上信息完成下列問題：(1)填空：，，并補(bǔ)全八年級的成績條形統(tǒng)計(jì)圖；(2)規(guī)定在90分及其以上的為優(yōu)秀等級，該校八年級和九年級參加知識競賽的學(xué)生共有1600名，請你估計(jì)八年級和九年級參加此次知識競賽的學(xué)生中獲得優(yōu)秀等級的共有多少人？【答案】(1)87，88；補(bǔ)全八年級的成績條形統(tǒng)計(jì)圖見解析(2)八年級和九年級參加此次知識競賽的學(xué)生中獲得優(yōu)秀等級的共有680人【知識點(diǎn)】求眾數(shù)、求中位數(shù)、畫條形統(tǒng)計(jì)圖、有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】此題考查條形統(tǒng)計(jì)圖，求中位數(shù)，眾數(shù)，（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)定義解答，求出D組人數(shù)并補(bǔ)充條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）用優(yōu)秀人數(shù)除以樣本數(shù)據(jù)，再乘以總?cè)藬?shù)即可【詳解】（1）解：根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和B組數(shù)據(jù)可知，第10個數(shù)為88，第11個數(shù)為86，∴八年級的中位數(shù)為∴；由九年級取的所有學(xué)生競賽成績數(shù)據(jù)可知，出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)為88，∴九年級的眾數(shù)為88，∴．故答案為：87，88；∵八年級抽查的學(xué)生人數(shù)為20人，∴（人），∴D組人數(shù)為2人，補(bǔ)全八年級的成績條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：（2）解：（人）答：八年級和九年級參加此次知識競賽的學(xué)生中獲得優(yōu)秀等級的共有680人．9．（2025·廣東珠?！ひ荒＃┠承F(tuán)委在八、九年級各抽取名團(tuán)員開展知識競賽，為便于統(tǒng)計(jì)成績，制定了取整數(shù)的計(jì)分方式，滿分分．成績?nèi)鐖D所示：眾數(shù)中位數(shù)方差八年級競賽成績九年級競賽成績(1)請通過計(jì)算說明哪個年級成績的平均數(shù)比較好？(2)請根據(jù)圖表中的信息，回答下列問題．①表中的，；②現(xiàn)要給成績突出的年級頒獎，如果分別從眾數(shù)和方差兩個角度來分析，你認(rèn)為應(yīng)該給哪個年級頒獎？(3)若規(guī)定成績分獲一等獎，分獲二等獎，分獲三等獎，則哪個年級的獲獎率高？【答案】(1)一樣好(2)①，；②見解析(3)九年級的獲獎率高【知識點(diǎn)】求加權(quán)平均數(shù)、求中位數(shù)、求眾數(shù)、運(yùn)用方差做決策【分析】（）利用加權(quán)平均數(shù)公式求出兩個年級的平均成績即可判斷求解；（）①根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義解答即可求解；②根據(jù)眾數(shù)和方差的意義解答即可求解；（）分別求出兩個年級的獲獎率即可判斷求解；本題考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差，掌握平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差的意義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：八年級成績的平均數(shù)分，九年級成績的平均數(shù)分，∴兩個年級成績的平均數(shù)一樣好；（2）解：①由折線統(tǒng)計(jì)圖可知，，，故答案為：，；②如果從眾數(shù)角度看，八年級的眾數(shù)為分，九年級的眾數(shù)為分，所以應(yīng)該給九年級頒獎；如果從方差角度看，八年級的方差為，九年級的方差為，又因?yàn)閮蓚€年級的平均數(shù)相同，九年級的成績的波動小，所以應(yīng)該給九年級頒獎；（3）解：八年級的獲獎率，九年級的獲獎率，∵，∴九年級的獲獎率高．10．（2025·廣東佛山·一模）某射擊隊(duì)進(jìn)行選手選拔，對甲、乙、丙三名隊(duì)員連續(xù)射擊10次的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：①甲、乙兩名隊(duì)員射擊成績的頻數(shù)直方圖：②丙隊(duì)員射擊成績?yōu)椋?，7，7，7，8，8，9，9，9，10③三名隊(duì)員命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和中位數(shù)如下：甲乙丙平均數(shù)88中位數(shù)88根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)填空：，；(2)從甲、乙兩名隊(duì)員射擊成績的頻數(shù)直方圖可知，隊(duì)員發(fā)揮的穩(wěn)定性更好；（填“甲”或“乙”）(3)如果教練需要推薦一名隊(duì)員參加比賽，甲、乙、丙三名隊(duì)員中，你認(rèn)為應(yīng)該推薦哪位隊(duì)員？請說明理由．【答案】(1)8，8(2)乙(3)推薦乙，理由見解析【知識點(diǎn)】求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、求中位數(shù)、運(yùn)用方差做決策【分析】本題考查平均數(shù)、方差，中位數(shù)以及頻數(shù)直方圖，理解中位數(shù)、平均數(shù)以及方差的定義，掌握中位數(shù)、平均數(shù)以及方差的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)算術(shù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義進(jìn)行分析即可；（2）甲、乙兩位選手成績，計(jì)算出方差進(jìn)行判斷即可；（3）根據(jù)選手的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：甲選手的10次測試成績分別為6，6，6，7，8，8，9，10，10，10，則，丙隊(duì)員射擊成績?yōu)椋?，7，7，7，8，8，9，9，9，10，則，故答案為：8，8；（2）∵，，∴，則隊(duì)員乙發(fā)揮的穩(wěn)定性更好；故答案為：乙；（3）推薦乙，理由是：三位選手的平均成績一樣，但乙發(fā)揮更穩(wěn)定，推薦乙獲勝的把握更大．題型二函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題11．（2025·廣東廣州·一模）在氣象觀測實(shí)踐課中，同學(xué)們利用AI控制器精準(zhǔn)地將甲和乙兩個智能探空氣球按照設(shè)定的速度勻速豎直升降．氣球甲從地面以m米/秒的速度上升，氣球乙從距離地面高10米的觀測臺同時上升，9秒時氣球乙到達(dá)預(yù)定高度并暫停上升，開始采集大氣數(shù)據(jù)（持續(xù)一定時間），完成后按原速繼續(xù)上升．最終兩氣球同時到達(dá)距離地面100米的空中進(jìn)行了n秒的聯(lián)合觀測，觀測完畢后兩氣球釋放部分氣體，以相同速度降落至地面．甲，乙兩探空氣球所在的位置距離地面的高度y（米）與氣球飛行的時間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，請結(jié)合圖象解答下列問題：(1)__________米/秒，__________秒；(2)求線段所在直線的函數(shù)解析式（不要求寫出x的取值范圍）；(3)甲，乙兩個智能探空氣球飛行到多少秒時，它們之間的豎直高度的差為16米？（直接寫出答案即可）【答案】(1)4；15(2)(3)6秒或秒或秒【知識點(diǎn)】從函數(shù)的圖象獲取信息、求一次函數(shù)解析式、行程問題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)【分析】本題主要考查求一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形計(jì)算即可求解；（2）先求得氣球乙勻速從55米到100米所用時間為9秒，得到，利用待定系數(shù)法即可求解；（3）利用待定系數(shù)法分別求得線段、線段、線段所在直線的函數(shù)解析式，再分三種情況討論，列式計(jì)算即可求解詳解．【詳解】（1）解：由題意得氣球甲的速度為（米/秒），（秒．故答案為：4，15；（2）解：由圖象知，，氣球乙的速度為（米秒），∴氣球乙勻速從55米到100米所用時間為（秒），∵（秒），∴，設(shè)線段所在直線的函數(shù)解析式為，將，代入得：，解得，線段所在直線的函數(shù)解析式為；（3）解：如圖所示：由題意，，設(shè)直線所在直線的解析式為，∴，解得∴線段所在直線的函數(shù)解析式為，設(shè)線段所在直線的函數(shù)解析式為，把，代入，得，解得，線段所在直線的函數(shù)解析式為；線段所在直線的函數(shù)解析式為，當(dāng)時，由題意得，解得或（舍去）；當(dāng)時，由題意得，解得或，當(dāng)時，由題意得，解得（舍去）或（舍去），綜上，甲，乙兩個智能探空氣球飛行到6秒或秒或秒時，它們之間的豎直高度的差為16米．12．（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測）2025年春節(jié)檔，電影《哪吒之魔童鬧?！废破鹩^影熱潮，影片通過粒子水墨技術(shù)、動態(tài)水墨渲染引擎等技術(shù)，將傳統(tǒng)水墨畫意境融入動畫，打造出兼具古典神韻與現(xiàn)代視覺沖擊力的場景，形成獨(dú)特的文化辨識度，向全球展示了“既古老又充滿活力的中國形象”．影片將封神神話中的角色（如哪吒、敖丙）賦予現(xiàn)代價值觀，使傳統(tǒng)文化符號與當(dāng)代人民心理形成共振．某文創(chuàng)店果斷訂購了印有“哪吒”圖案和“敖丙”圖案的兩種書簽．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，訂購30張“哪吒”書簽與20張“敖丙”書簽，成本共計(jì)430元；而訂購45張“哪吒”書簽和25張“敖丙”書簽，則需花費(fèi)605元．(1)求“哪吒”、“敖丙”兩種書簽每張的進(jìn)價分別是多少元？(2)該文創(chuàng)店計(jì)劃購進(jìn)“哪吒”、“敖丙”兩種書簽共90張，“哪吒”種書簽的購進(jìn)數(shù)量不超過“敖丙”種書簽數(shù)量，已知“哪吒”、“敖丙”兩種書簽的銷售單價分別為15元和12元，如何規(guī)劃購買方案，才能使文具店在這批書簽全部售出后獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】(1)“哪吒”、“敖丙”兩種書簽每張的進(jìn)價分別是9、8元(2)當(dāng)購進(jìn)“哪吒”書簽40張，“敖丙”書簽50張時，獲得最大利潤，最大利潤是440元【知識點(diǎn)】銷售、利潤問題(二元一次方程組的應(yīng)用)、最大利潤問題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是列出利潤與購買“哪吒”書簽的數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)確定購買方案．（1）設(shè)“哪吒”、“敖丙”兩種書簽每張的進(jìn)價分別是x、y元，根據(jù)兩種不同的購買方案所需要的費(fèi)用列方程組求解即可；（2）設(shè)購進(jìn)“哪吒”書簽m張，“敖丙”書簽張，設(shè)這批書簽全部售出后獲利W元，可以得到所獲利潤與購買“哪吒”書簽的數(shù)量之間的一次函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)確定購買方案即可．【詳解】（1）解：設(shè)“哪吒”、“敖丙”兩種書簽每張的進(jìn)價分別是x、y元，由題意知：，解得，答：“哪吒”、“敖丙”兩種書簽每張的進(jìn)價分別是9元，8元．（2）解：設(shè)購進(jìn)“哪吒”書簽m張，“敖丙”書簽張，由題意知：，解得：，設(shè)這批書簽全部售出后獲利W元，則，∵，∴W隨m的增大而增大，∴當(dāng)時，，W有最大值，元．答：當(dāng)購進(jìn)“哪吒”書簽40張，“敖丙”書簽50張時，獲得最大利潤，最大利潤是440元．13．（2025·廣東江門·一模）如圖，學(xué)校在教學(xué)樓后搭建了兩個簡易矩形自行車車棚，一邊利用教學(xué)樓長60m的后墻，其他的邊用總長70m的不銹鋼柵欄圍成．左右兩側(cè)各開一個1m的出口后，不銹鋼柵欄狀如“山”字形．另外，在距離后墻8m外，還規(guī)劃有機(jī)動車停車位．(1)若設(shè)車棚寬度AB為xm，則車棚長度BC為______m；(2)設(shè)自行車車棚面積為，車棚寬度AB為，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；(3)學(xué)校調(diào)研教職工及學(xué)生的需求后，現(xiàn)決定對車棚進(jìn)行擴(kuò)建．在不對后墻進(jìn)行改造的情況下，若希望擴(kuò)建后車棚面積不小于405m，是否有必要改動機(jī)動車停車位的位置規(guī)劃？但機(jī)動車停車位EF向外最多移動2m，如有必要，請給出具體方案；如無必要，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)有必要改動機(jī)動車停車位的位置規(guī)劃，機(jī)動車停車位向外移動1m【知識點(diǎn)】與圖形有關(guān)的問題(一元二次方程的應(yīng)用)、用一元一次不等式解決幾何問題、圖形問題(實(shí)際問題與二次函數(shù))【分析】本題考查用代數(shù)式表示式，一元二次方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意列出正確的不等式是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題干條件可得自行車車棚由三條寬和一條長構(gòu)成，且左右兩條寬邊需要開出一個的出口，然后根據(jù)自行車車棚不銹鋼柵欄總長減去三條寬邊長即可得出長邊的長；（2）根據(jù)（1）結(jié)果即可列出自行車車棚面積為關(guān)于車棚寬度AB為的一次函數(shù)，再求出自變量的取值范圍即可；（3）根據(jù)題意可得到不等式組，解不等式組，再結(jié)合實(shí)際需要進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：搭建自行車車棚為矩形，車棚寬度為，左右兩側(cè)各開一個的出口，不銹鋼柵欄總長，不銹鋼柵欄狀如“山”字形，（），故答案為：；（2）解：由（1）可得，車棚面積為：，由題意得到解得，∴（3）解：不能，理由如下：由（1）可得：，即整理得到，∴即或解得，當(dāng)時，∴機(jī)動車停車位向外移動1m；答：有必要改動機(jī)動車停車位的位置規(guī)劃，機(jī)動車停車位向外移動1m14．（2025·廣東河源·一模）如圖①中的板凳又叫“四腳八叉凳”，是中國傳統(tǒng)家具，其榫卯結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了古人含蓄內(nèi)斂的審美觀．榫眼的設(shè)計(jì)很有講究，木工一般用鉛筆畫出凳面的對稱軸，以對稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長度，確定榫眼的位置，如圖②所示．板凳的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．某學(xué)習(xí)小組收集了一些板凳并進(jìn)行了測量．設(shè)以對稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長度為，凳面的寬度為，記錄如下：以對稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長度4346.349.652.956.2凳面的寬度248264.5281297.5314請你幫助小組解決下列問題：(1)已知y是x的函數(shù)，求出該函數(shù)關(guān)系式．(2)經(jīng)研究表明，最舒適的凳面寬度為，其中是傳統(tǒng)工藝與現(xiàn)代人體工學(xué)的理想折中點(diǎn)．現(xiàn)要加工一張凳面寬度為的“四腳八叉凳”，榫眼的位置怎么確定？請說明理由．【答案】(1)(2)榫眼的位置為對稱軸兩側(cè)處【知識點(diǎn)】其他問題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題意，正確進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得到y(tǒng)的變化是勻速的，判斷是一次函數(shù)，采用待定系數(shù)法求解即可；（2）把代入函數(shù)關(guān)系式，求解即可．【詳解】（1）解：由表格可得，x每增加3.3，y增加16.5，是一個勻速變化的過程，因此y是x的一次函數(shù)．設(shè)該函數(shù)關(guān)系式為，∵當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴，解得，∴該函數(shù)的解析式為．（2）解：當(dāng)?shù)拭鎸挾葹?，即時，，解得，∴榫眼的位置為對稱軸兩側(cè)處．15．（2025·山西大同·一模）綜合與實(shí)踐問題情境：為迎接學(xué)校運(yùn)動會，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)研究了每位同學(xué)擲實(shí)心球的訓(xùn)練情況，下面是對小宇同學(xué)某次擲球的研究．建模分析：第一步：根據(jù)實(shí)心球運(yùn)動的路線，發(fā)現(xiàn)其行進(jìn)路線是拋物線的一部分；第二步：如圖，以過點(diǎn)O水平方向的直線為x軸，過點(diǎn)O豎直方向的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．第三步：記錄數(shù)據(jù)，實(shí)心球運(yùn)動的高度與水平距離的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：124672.252.6732.672.25第四步：成績分析．問題解決：(1)求實(shí)心球運(yùn)動的高度與水平距離的函數(shù)表達(dá)式；（不要求寫自變量的取值范圍）(2)求實(shí)心球起點(diǎn)處的坐標(biāo)；(3)當(dāng)實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離超過時，得分為滿分．請通過計(jì)算說明小宇在此次擲球中是否得滿分．【答案】(1)(2)(3)不得滿分【知識點(diǎn)】投球問題(實(shí)際問題與二次函數(shù))【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）將代入，求解即可得出答案；（3）令．則，求解后再比較即可得出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意、得拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，且點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．設(shè)實(shí)心球運(yùn)動的高度與水平距離的函數(shù)表達(dá)式為．將代入，得．解得．∴實(shí)心球運(yùn)動的高度與水平距離的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：當(dāng)時，．∴實(shí)心球起點(diǎn)處的坐標(biāo)為；（3）解：令，則，解得（不合題意，舍去）．∵，小宇在此次擲球中不得滿分．16．（2025·河南駐馬店·一模）擲實(shí)心球是中招體育考試的選考項(xiàng)目，如圖①是一名女生擲實(shí)心球，實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，擲出時起點(diǎn)處高度為，當(dāng)水平距離為時，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)處．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)根據(jù)中招體育考試評分標(biāo)準(zhǔn)（女生），投擲過程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于，此項(xiàng)考試得分為滿分10分，該女生在此項(xiàng)考試中是否得滿分，請說明理由．(3)在擲出的實(shí)心球行進(jìn)路線的形狀和對稱軸都完全不變的情況下，提高擲出點(diǎn)，可提高成績．當(dāng)擲出點(diǎn)的高度至少達(dá)到多少時，可得滿分．【答案】(1)(2)沒有得滿分，見解析(3)當(dāng)擲出點(diǎn)的高度至少達(dá)到時，可得滿分【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、投球問題(實(shí)際問題與二次函數(shù))【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的解法，關(guān)鍵是理解題意把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題．（1）根據(jù)題意設(shè)出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績就是實(shí)心球落地時的水平距離，令，解方程即可；（3）把，代入得解析式，求出，再令即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，把代入上式得，解得．∴關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：該女生在此項(xiàng)考試中沒有得滿分．理由如下：當(dāng)時，即：，解得，（舍去），∵，∴該女生在此項(xiàng)考試中沒有得滿分．（3）解：可設(shè)．把，代入得，，求出．∴．∴答：當(dāng)擲出點(diǎn)的高度至少達(dá)到時，可得滿分．17．（2025·安徽六安·一模）綜合實(shí)踐：投籃研究活動背景：學(xué)校組織班級間籃球比賽，九年級（2）班小玫發(fā)現(xiàn)自己投籃命中率較低，特請本班數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)拍攝自己投籃圖片（圖1），并測量相應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究．模型建立：如圖2所示，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系，籃球運(yùn)動軌跡可以看作是拋物線的一部分．信息整理：素材1：籃球（P）出手時離地面的高度為米，籃筐中心離地面的高度米，籃球出手位置與籃筐中心的水平距離米，籃球距地面的最大高度米，此時離籃球出手位置的水平距離米．素材2：當(dāng)籃球（P）恰好經(jīng)過籃筐中心點(diǎn)A時，我們稱此次進(jìn)球?yàn)椤翱招那颉?；由于籃球的直徑大約是籃筐直徑的一半，因此當(dāng)籃球到達(dá)籃筐中心的水平位置時，籃球的高度（n米）滿足時，籃球即可命中籃筐；籃球運(yùn)動軌跡由投籃方向和出手速度決定，小玫在投籃過程中始終保持投籃方向和出手速度不變．解決問題：在初次投籃時，小玫在點(diǎn)O處起跳，數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)測得相關(guān)數(shù)據(jù)為：米，米，米，米．

(1)計(jì)算說明小玫初次投籃時能否命中籃筐；(2)該班數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)對小玫的初次投籃數(shù)據(jù)進(jìn)行研究后，讓小玫同學(xué)在原來位置向前走了t米后再次投籃，發(fā)現(xiàn)此次正好投進(jìn)一個“空心球”，求t的值（保留根號）．【答案】(1)小玫初次投籃時不能命中籃筐(2)【知識點(diǎn)】投球問題(實(shí)際問題與二次函數(shù))、二次函數(shù)圖象的平移【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．（1）先設(shè)拋物線的解析式為，再將點(diǎn)代入求出拋物線的解析式，然后求出當(dāng)時，的值，由此即可得；（2）先求出向前走了米后拋物線的表達(dá)式為，再將點(diǎn)代入計(jì)算，結(jié)合即可得的值．【詳解】（1）解：由題意得：小玫初次投籃時拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)，∵這個拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，∴，當(dāng)時，，所以小玫初次投籃時不能命中籃筐．（2）解：向前走了米后拋物線的表達(dá)式為，∵此次正好投進(jìn)一個“空心球”，即此時拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得或，當(dāng)時，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，此時，不符合題意，舍去，答：的值為．18．（2025·廣東·模擬預(yù)測）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】項(xiàng)目主題：人工智能視覺識別項(xiàng)目背景：視覺識別技術(shù)是人工智能領(lǐng)域的一個重要分支，它讓計(jì)算機(jī)能夠“看懂”圖象，目標(biāo)矩形是視覺識別技術(shù)的一個重要概念，它在計(jì)算機(jī)視覺的多個領(lǐng)域中都有應(yīng)用，如目標(biāo)檢測、圖象分割、物體跟蹤等目標(biāo)矩形是一種用于表示圖象中目標(biāo)物體位置和大小的矩形框，在常規(guī)的目標(biāo)檢測任務(wù)中，如圖，一般使用邊與軸平行的矩形框．概念學(xué)習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的目標(biāo)矩形定義如下：矩形的兩組對邊分別平行于軸，軸，圖形的所有點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊上，且矩形的面積最小設(shè)矩形的豎直邊與水平邊的比為，我們稱常數(shù)為圖形的縱橫比舉例：如圖，矩形為菱形藍(lán)寶石的目標(biāo)矩形，縱橫比．任務(wù)一：如圖，足球經(jīng)過計(jì)算機(jī)識別后的圖形為圓，其目標(biāo)矩形的縱橫比______．如圖，鉛筆經(jīng)過計(jì)算機(jī)識別后的圖形為線段，表達(dá)式為，其目標(biāo)矩形的縱橫比______．任務(wù)二：如圖和圖，排橋經(jīng)過計(jì)算機(jī)識別后的圖形為拋物線，該拋物線關(guān)于軸對稱，最高點(diǎn)與水面的距離為米，其目標(biāo)矩形的縱橫比，求拋物線的表達(dá)式不必寫出自變量的取值范圍．任務(wù)三：如圖和圖，高速公路經(jīng)過計(jì)算機(jī)識別后的圖形為雙曲線，表達(dá)式為，其中點(diǎn)，其目標(biāo)矩形的縱橫比，直接寫出的值為______．【答案】任務(wù)一：①，②；任務(wù)二：；任務(wù)三：【知識點(diǎn)】根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、圖形問題(實(shí)際問題與二次函數(shù))、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，熟練掌握反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．任務(wù)一：①根據(jù)新定義得到；②根據(jù)目標(biāo)矩形的縱橫比的定義，得到線段的目標(biāo)矩形縱橫比；任務(wù)二：由題意得到，再用待定系數(shù)法求出解析式即可；任務(wù)三：求出，根據(jù)題意得到，得到，即可得到答案．【詳解】解：任務(wù)一：足球經(jīng)過計(jì)算機(jī)識別后的圖形為圓，其目標(biāo)矩形的長和寬都為圓的直徑，目標(biāo)矩形的縱橫比；故答案為：；根據(jù)目標(biāo)矩形的縱橫比的定義，線段的目標(biāo)矩形縱橫比；故答案為：；任務(wù)二：如圖：最高點(diǎn)與水面的距離為米，，拋物線目標(biāo)矩形的縱橫比，，，拋物線關(guān)于軸對稱，，，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，把代入得：，解得，；任務(wù)三：如圖：根據(jù)題意，，目標(biāo)矩形的縱橫比，，解得舍去或，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解；的值為；故答案為：．19．（2025·廣西柳州·一模）［綜合探究］運(yùn)用二次函數(shù)來研究植物幼苗葉片的生長狀況．在大自然里，有很多數(shù)學(xué)的奧秘．圖1是一片美麗的心形葉片，圖2是一棵生長的幼苗都可以看作把一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成．【探究一】確定心形葉片的形狀（1）如圖3建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分，已知圖像過原點(diǎn)，求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；【探究二】研究心形葉片的寬度：（2）如圖3，在（1）的條件下，心形葉片的對稱軸，即直線與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，拋物線與軸交于另一點(diǎn)，點(diǎn)，是葉片上的一對對稱點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．求葉片此處的寬度；【探究三】探究幼苗葉片的長度（3）小李同學(xué)在觀察幼苗生長的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作是二次函數(shù)圖象的一部分；如圖4，幼苗葉片下方輪廓線正好對應(yīng)探究一中的二次函數(shù)．已知直線（點(diǎn)為葉尖）與水平線的夾角為，求幼苗葉片的長度．【答案】（1），頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）；（3）【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、其他問題(實(shí)際問題與二次函數(shù))、已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離【分析】（1）把原點(diǎn)代入解析式，求得值，將拋物線化成頂點(diǎn)式即可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，再求出的解析式為：．然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，最后求出結(jié)果即可；（3）作拋物線的對稱軸于點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，得出，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，列出方程，得出點(diǎn)的坐標(biāo)為，最后求出即可．【詳解】解：（1）拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，．解得：．拋物線的解析式為：．頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）取，，解得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，心形葉片的對稱軸是直線，點(diǎn)，是葉片上的一對對稱點(diǎn)，設(shè)的解析式為：．經(jīng)過點(diǎn)，．解得：．的解析式為：．，解得：點(diǎn)的坐標(biāo)為．．．（3）作拋物線的對稱軸于點(diǎn)，則，直線與水平線的夾角為，．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線的對稱軸為直線，．頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．點(diǎn)在拋物線上，．解得：．點(diǎn)的坐標(biāo)為．．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，對稱思想，兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．20．（2025·山西太原·一模）太原市婁煩縣屬溫帶大陸性氣候，適宜種植馬鈴薯．當(dāng)?shù)胤N植的馬鈴薯品質(zhì)優(yōu)、口感好，擁有良好的市場口碑．某農(nóng)業(yè)合作社與農(nóng)戶建立合作關(guān)系，集中收購、儲存、銷售馬鈴薯．信息收集：素材1：該合作社以64000元的成本收購了80噸馬鈴薯；素材2：這批馬鈴薯按一定方式儲存，每星期會損失2噸；素材3：經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這批馬鈴薯的銷售價格與儲存星期數(shù)之間的變化規(guī)律如下圖所示：建立模型：（1）根據(jù)素材3中的信息可知，銷售價格（元/噸）是儲存星期數(shù)（個）的___________函數(shù)（選填“一次”“二次”“反比例”），與之間的函數(shù)關(guān)系式為___________；問題解決：（2）若要使這批馬鈴薯全部售完的銷售總額最大，應(yīng)儲存多少個星期？（提示：銷售總額銷售價格銷售量）；（3）已知該合作社儲存馬鈴薯過程中，每星期還需額外支付各種費(fèi)用元．若這批馬鈴薯全部售完后，所獲得的最大利潤為35600元，求的值及相應(yīng)的儲存星期數(shù)．【答案】（1）一次；；（2）儲存8個星期；（3）的值是400，相應(yīng)的存儲星期數(shù)為6星期【知識點(diǎn)】求一次函數(shù)解析式、銷售問題(實(shí)際問題與二次函數(shù))、實(shí)際問題與反比例函數(shù)【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．（1）根據(jù)題意得y隨x的增加而均勻增加，y是x的一次函數(shù)，設(shè)出一次函數(shù)解析式，任意取兩對數(shù)值代入即可求得相應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）銷售量儲存星期數(shù)x，進(jìn)而根據(jù)銷售總額銷售價格銷售量，列出相應(yīng)的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的開口方向和對稱軸求得儲存的星期數(shù)即可；（3）利潤銷售總額成本額外支付各種費(fèi)用，進(jìn)而根據(jù)最大利潤為35600元求得合適的k及x的值即可．【詳解】解：（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得銷售價格y（元/噸）隨儲存星期數(shù)x的增加而均勻增加可得銷售價格y（元/噸）是儲存星期數(shù)x（個）的一次函數(shù)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：，∴，解得：，∴，故答案為：一次；；（2）設(shè)銷售總額為元，由題意，得，根據(jù)題意，且，所以．因?yàn)?，所以有最大值，?dāng)時，銷售總額最大答：若要使這批馬鈴薯全部售完的銷售總額最大，應(yīng)儲存8個星期；（3）設(shè)全部售完的銷售利潤為元，由題意，得，根據(jù)題意，且，所以，因?yàn)?，所以有最大值，由題意，得當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，解得，，?dāng)時，，當(dāng)時，（不符合題意，舍去），所以，，，答：的值是400，相應(yīng)的存儲星期數(shù)為6星期．題型三幾何圖形操作探究問題21．（2025·廣東珠?！ひ荒＃締栴}情境】在綜合實(shí)踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含的三角板開展數(shù)學(xué)探究活動，兩塊三角板分別記作和，，，．【操作探究】如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)過程中保持不動，連接（如圖2）．(1)當(dāng)時，求的長度；(2)如圖3，當(dāng)時，求的度數(shù)；(3)取的中點(diǎn)O，點(diǎn)P是平面內(nèi)某個定點(diǎn)，連接，在運(yùn)動過程中的長是個定值，點(diǎn)P的位置是______，這個定值為______，運(yùn)動開始后______．【答案】(1)2(2)；(3)的中點(diǎn)；1；【知識點(diǎn)】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、90度的圓周角所對的弦是直徑、同弧或等弧所對的圓周角相等、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)題意可得，從而得到當(dāng)時，點(diǎn)共線，點(diǎn)A，D，C共線，可證得是等邊三角形，即可求解；（2）過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，，從而得到，進(jìn)而得到，，即可求解；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到點(diǎn)O的運(yùn)動軌跡為以為直徑的圓，進(jìn)而得到點(diǎn)P的位置是的中點(diǎn)，這個定值為，再由，可得點(diǎn)D在為直徑的圓上，然后圓周角定理，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，∵，，∴，∴當(dāng)時，點(diǎn)共線，點(diǎn)A，D，C共線，∵，∴是等邊三角形，∴；故答案為：2;（2）解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，，∴，即，∴點(diǎn)O的運(yùn)動軌跡為以為直徑的圓，如圖，∵運(yùn)動過程中的長是個定值，∴點(diǎn)P的位置是的中點(diǎn)，且這個定值為，∵，∴點(diǎn)D在為直徑的圓上，∴，故答案為：的中點(diǎn)；1，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，第（3）問得到點(diǎn)O的運(yùn)動軌跡為以為直徑的圓是解題的關(guān)鍵．22．（24-25九年級上·廣東清遠(yuǎn)·期末）綜合與實(shí)踐【主題】探究頂角為的等腰三角形【實(shí)踐操作】步驟1：如圖1，在白紙上剪一個頂角為的等腰三角形；步驟2：如圖2，沿圖中虛線對折，點(diǎn)恰好與上的點(diǎn)重合；步驟3：如圖3，沿著虛線折疊，點(diǎn)恰好落在上．【實(shí)踐探索】(1)證明：．(2)證明：．(3)若，請直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【知識點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、折疊問題、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)相似三角形的判定定理得到結(jié)論；（2）由（1）知，得到，由（1）知，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，得到，由（）知，，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，，沿圖中虛線對折，點(diǎn)恰好與上的點(diǎn)重合，，，，，，；（2）證明：由（1）知，，由（1）知，，，，，，，；（3）解：沿著虛線折疊，點(diǎn)恰好落在上，，，，，，，，，設(shè)，，，由（2）知，，∴，或(不合題意舍去)，，故的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．23．（2025·廣東江門·一模）綜合與實(shí)踐【主題】黃金矩形【素材】素材一：矩形就是長方形．四個角都是，兩組對邊平行且相等．素材二：寬與長的比是（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形．世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)．素材三：黃金矩形是可以通過折紙折疊出來的?！静僮鞑襟E】【第一步】在一張矩形紙片的一端，利用圖1所示的方法折出一個正方形，然后把紙片展平．【第二步】如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平．【第三步】折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線，并把折到圖3中所示的處．【第四步】展平紙片，按照所得的點(diǎn)折出，矩形（圖4）就是黃金矩形．【問題解決】設(shè)．(1)求證：矩形是黃金矩形．(2)求證：矩形MNDE也是黃金矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算、用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題、正方形折疊問題【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、翻折變換、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，理解黃金矩形定義，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)、翻折變換、矩形的性質(zhì)以及勾股定理得到、，再根據(jù)黃金矩形的定義即可證得結(jié)論；（2）由（1）可求得，再根據(jù)黃金矩形的定義即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：根據(jù)題意可得，，，∴，根據(jù)勾股定理可得，∴∴∴∴矩形是黃金矩形．（2）證明：由（1）知，，，∴，∴，故矩形是黃金矩形．24．（2025·河北·一模）【情境】部分圖形通過剪拼后能夠得到矩形．【操作1】嘉嘉將如圖1所示的平行四邊形通過裁剪拼成了矩形．（1）若，拼接時應(yīng)將沿平移______．【操作2】淇淇將如圖2所示的三角形通過裁剪拼成了矩形．（2）依據(jù)圖中呈現(xiàn)的操作方法，可知與的數(shù)量關(guān)系為______，與的位置關(guān)系為______．【操作3】淇淇將如圖3所示的四邊形通過操作2中的方法裁剪拼成了矩形．（3）請?jiān)趫D3中補(bǔ)全剪拼過程和剪拼后的圖形．（直接在原圖形上畫圖，裁剪線用虛線，矩形用實(shí)線）【操作4】嘉淇將如圖4所示的菱形沿剪開，將箏形（有兩組鄰邊分別相等的四邊形）沿剪開，之后通過旋轉(zhuǎn)平移等操作拼成了矩形．（4）若，，求的長．【答案】（1）10；（2），；（3）見解析；（4）的長為．【知識點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)求線段長、三角形中位線的實(shí)際應(yīng)用、用勾股定理解三角形【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可求解；（2）由拼接知：是的中位線，，據(jù)此求解即可；（3）根據(jù)（2）的方法拼接即可；（4）連接，由拼接知，根據(jù)菱形的性質(zhì)求得，，，在中，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）嘉嘉將如圖1所示的平行四邊形通過裁剪拼成了矩形，若，拼接時應(yīng)將沿平移；故答案為：10；（2），，由拼接知：，，∴是的中位線，∴；∵拼接圖形是矩形，∴，由拼接知：，∴，故答案為：，；（3）如圖，矩形即為所作；（4）連接，由拼接知，設(shè)與相交于點(diǎn)，∵菱形，∴，，，在中，，∴，∴，∴，∴的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，圖形的拼接，三角形中位線定理，勾股定理，菱形的性質(zhì)．靈活運(yùn)用中位線定理和構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．25．（2025·河南平頂山·模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐正方形紙片的邊長為6，對正方形紙片進(jìn)行以下操作．【操作一】如圖1，將正方形紙片對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，再將正方形紙片展開，得到折痕．【操作二】如圖2，E為邊上的一個動點(diǎn)，將正方形展開后沿直線折疊，使點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)落在上，連接，則的形狀為_______，______，【操作三】如圖3，將正方形展開，當(dāng)動點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時，沿折疊，得到點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)，延長交于點(diǎn)P，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【操作四】如圖4，將沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)E的位置不同時點(diǎn)Q的位置也隨之改變，連接．若點(diǎn)Q恰好落在的邊上，直接寫出的長．【答案】[操作二]等邊三角形，；[操作三]，見解析；[操作四]或【知識點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長、勾股定理與折疊問題、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】[操作二]由題意得為正方形的對稱軸，得出，，，，，由折疊的性質(zhì)可得，從而推出，即可得出為等邊三角形，得到，由勾股定理得出的長即可得解；[操作三]連接，由題意得為正方形的對稱軸，得出，，由折疊的性質(zhì)可得，，證明得出，設(shè)，則，，由勾股定理得：，求出的值即可得解；[操作四]分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在上時；當(dāng)點(diǎn)在上時；分別利用正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形求解即可得出答案．【詳解】解：[操作二]由題意得：為正方形的對稱軸，，，，，，，由折疊的性質(zhì)可得，，為等邊三角形，，，；[操作三]，證明如下：如圖，連接，，由題意得：為正方形的對稱軸，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，，，，設(shè)，則，，由勾股定理得：，，解得：，，，；[操作四]如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時，，在正方形中，，，由折疊的性質(zhì)可得：，，，，；如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時，

，由折疊的性質(zhì)可得：，，，，，，，由折疊的性質(zhì)可得：，，，，，，，，綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．26．（2025·山東日照·一模）綜合與實(shí)踐[問題背景]：如圖1，在四邊形中，，，，連接，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，且．（1）求證：．[操作探究]：如圖2，將沿直線方向向右平移一定距離，點(diǎn)，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，且點(diǎn)與點(diǎn)重合．（2）①連接，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②求出平移的距離．[拓展創(chuàng)新]：如圖3，在（2）的條件下，將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，在旋轉(zhuǎn)的過程中，記直線分別與邊，交于點(diǎn)，．（3）當(dāng)時，請求出的長．【答案】（1）證明見解析；（2）①四邊形為菱形，理由見解析；②；（3）【知識點(diǎn)】證明四邊形是菱形、利用平移的性質(zhì)求解、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定等知識點(diǎn)，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）利用“”證明，即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)和菱形的判定即可求解；②先證明，由相似三角形的性質(zhì)得到，再由勾股定理求出長度，即可求解；（3）先證明，再通過三角形的面積求出的長，設(shè)，則，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴．又∵，∴．∴；

（2）①四邊形是菱形．理由：由平移的性質(zhì)，得，．∴四邊形是平行四邊形．由（1），得．∴四邊形是菱形；②∵，∴．∴，在中，．∴，解得．∴平移的距離為；（3）解：∵，∴，．∵，∴，，由旋轉(zhuǎn)得，∴，∴．∴．∵，∴．∴．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，．設(shè)，則．在中，根據(jù)勾股定理，．解得．∴．27．（2025·廣東汕頭·一模）綜合與實(shí)踐【動手操作】將一張矩形紙片按如下步驟折疊：第一步：在矩形紙片的一端，利用圖1所示的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步：如圖2，把這個正方形沿折成兩個全等的矩形，再把紙片展平；第三步：如圖3，折出內(nèi)側(cè)矩形的對角線，并把折到處．(1)求的值；【類比操作】(2)在第二步的基礎(chǔ)上，把沿著對折得到，請利用圖2畫出相應(yīng)的圖形，并求證：的延長線經(jīng)過點(diǎn)C．【答案】(1)(2)見解析【知識點(diǎn)】用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題【分析】本題考查了矩形與折疊問題、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，利用矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)表示出、的長，即可求解；（2）先根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，令的延長線交于點(diǎn)G，連接，由折疊可知，，推出，進(jìn)而證出四邊形是平行四邊形，得到，則點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，即可證明．【詳解】（1）解：設(shè)，則．∴，．在中，，∴．由折疊可知，∴．∴．（2）解：畫出相應(yīng)的圖形如圖：證明：令的延長線交于點(diǎn)G，連接．由折疊可知，，∴，．∴．∴．∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∴．∴點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，即的延長線經(jīng)過點(diǎn)C．28．（2025·廣東東莞·模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐．【主題】用三角形紙片折菱形．【素材】一張銳角三角形紙片