2024北京育才學(xué)校高二12月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京育才學(xué)校高二12月月考數(shù)學(xué)一.選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A.雙曲線 B.雙曲線左支C.雙曲線右支 D.一條射線2.原點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.3.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.24 C. D.484.雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.5.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線方程為（）A. B. C. D.6.將4張座位編號(hào)分別為1，2，3，4的電影票全部分給三人，每人至少1張．如果分給同一人的2張電影票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是（）A.24 B.18 C.12 D.67.已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1,F2離心率為，過(guò)F2的直線l交C與A,B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為，則C的方程為A. B. C. D.8.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l平行于雙曲線C的一條漸近線，與另一條漸近線交于點(diǎn)P，與雙曲線C交于點(diǎn)Q，若Q為線段的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.9.過(guò)點(diǎn)的直線與圓有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.10.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，到的距離記為，若，則點(diǎn)在底面正方形內(nèi)的軌跡的長(zhǎng)度為（）A.2 B. C. D.二、填空題：本大題共5題，每小題5分，共25分11.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)焦點(diǎn)在軸，且以為漸近線方程的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程____________.12.直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)__13.圓與圓相切、求實(shí)數(shù)的值_______14.若，則_______15.拋物線的準(zhǔn)線l的方程為_(kāi)_________．若點(diǎn)P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，l與y軸交于點(diǎn)A，則（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為_(kāi)_________．三、解答題：本大題共6小題，共85分.16.某次文藝晚會(huì)上計(jì)劃演出7個(gè)節(jié)目，其中2個(gè)歌曲節(jié)目，3個(gè)舞蹈節(jié)目，2個(gè)小品節(jié)目，需要制作節(jié)目單：（1）唱歌節(jié)目排在兩頭，有多少種排法?（2）三個(gè)舞蹈節(jié)目相鄰且不排兩端，有多少種排法?（3）唱歌節(jié)目、舞蹈節(jié)目相鄰，兩個(gè)個(gè)小品節(jié)目不相鄰，有多少種排法?（4）由于特殊原因，需要在定好的節(jié)目單上加上兩個(gè)新節(jié)目：一個(gè)育才師生的詩(shī)歌朗誦《育才賦》和一個(gè)快板節(jié)目，但是不能改變?cè)瓉?lái)節(jié)目的相對(duì)順序，有多少種排法?

17.如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，，AA1=4，AB⊥AC，BE⊥AB1交AA1于點(diǎn)E，D為CC1的中點(diǎn).（1）求證：BE⊥平面AB1C；（2）求二面角C—AB1—D的余弦值.18.已知橢圓，直線過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）設(shè)為的中點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△面積等于時(shí)，求直線的斜率.

19.矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為，點(diǎn)在邊所在直線上．（I）求邊所在直線的方程；（II）求矩形外接圓的方程；（III）若動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與矩形的外接圓外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程．

20.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，平面平面，為中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小；（3）求四面體的體積.21.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，焦距為.（1）求橢圓的方程，并求其短軸長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)且不與軸重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，其中為原點(diǎn).設(shè)直線的斜率為，求的最大值.

參考答案一.選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.1.【答案】C【分析】根據(jù)表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之差為2，再結(jié)合雙曲線的定義求解.【詳解】解：因?yàn)榈膸缀我饬x是動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與的距離之差為2，又因?yàn)椋杂呻p曲線的定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是雙曲線右支．故選：C2.【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得所求的距離.【詳解】由點(diǎn)到直線距離可知所求距離.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.3.【答案】B【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為求出，將的值代入通項(xiàng)求出展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)．【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為故選：B4.【答案】C【分析】由方程可得，即可得離心率.【詳解】由題可得.則.故選：C5.【答案】A【分析】根據(jù)互相垂直兩直線斜率之間的關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，圓心坐標(biāo)為，由，所以直線的斜率為，因此直線的垂直垂直平分線的斜率為，所以直線的垂直垂直平分線方程為：，故選：A6.【答案】B【分析】首先將張一份的電影票編號(hào)連續(xù)，列出所有可能的分法，再將三份電影票分給三個(gè)人，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；【詳解】解：將4張電影票分成三份，其中2張一份的電影票編號(hào)連續(xù)，則有12，3，4；1，23，4；1，2，34三種分法，然后將三份電影票分給三個(gè)人，有種分法，所以不同的分法種數(shù)為．故選：B．7.【答案】A【詳解】若△AF1B的周長(zhǎng)為4,由橢圓的定義可知,,,,，所以方程為，故選A.考點(diǎn)：橢圓方程及性質(zhì)8.【答案】C【分析】首先根據(jù)題意得到直線，與另一條漸近線聯(lián)立得到，根據(jù)為線段的中點(diǎn)得到，再代入雙曲線方程求解即可.【詳解】由題知：，平行的一條漸近線為，則直線，，即.因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以.把代入得：，化簡(jiǎn)得，即，則.故選：C9.【答案】D【分析】根據(jù)直線的斜率分兩種情況，直線的斜率不存在時(shí)求出直線的方程，即可判斷出答案；直線的斜率存在時(shí)，由點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，根據(jù)直線和圓有公共點(diǎn)的條件：圓心到直線的距離小于或等于半徑，列出不等式求出斜率的范圍，可得傾斜角的范圍．【詳解】解：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程是，此時(shí)直線與圓相離，沒(méi)有公共點(diǎn)，不滿足題意；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，直線和圓有公共點(diǎn)，圓心到直線的距離小于或等于半徑，則，解得，直線的傾斜角的取值范圍是，故選：D．10.【答案】B【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由，可得點(diǎn)在底面正方形內(nèi)的軌跡方程，據(jù)此可得答案.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，其中，則.又因平面，則到的距離等于，則，其中.則點(diǎn)在底面正方形內(nèi)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓在底面正方形內(nèi)的弧.如圖，設(shè)圓弧與DC，DA交于E，F(xiàn)點(diǎn)，因，則，則相應(yīng)軌跡對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)為.故選：B二、填空題：本大題共5題，每小題5分，共25分11.【答案】（只要滿足就行）【分析】首先設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)漸近線方程求滿足條件的一組，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，由題意可知，，滿足條件的一組解為，所以滿足條件的一個(gè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：12.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算得.【詳解】圓的圓心為，半徑，點(diǎn)到直線的距離，所以所求弦長(zhǎng)為.故答案為：13.【答案】和.【分析】首先計(jì)算圓心距，再根據(jù)兩圓內(nèi)切和外切兩種情況，列式求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為2，圓心距為若兩圓相外切，則圓心距，即，若兩圓相內(nèi)切，則圓心距，即，所以實(shí)數(shù)的值為和.故答案為：和.14.【答案】【分析】令，可得，再令，可得，據(jù)此可得答案.【詳解】令，可得，又令，可得，則.故答案為：15.【答案】①.；②.【分析】由定義直接求準(zhǔn)線方程；由導(dǎo)數(shù)法求出拋物線過(guò)點(diǎn)A的切線方程，即可求得切線傾斜角，此時(shí)取最大值.【詳解】拋物線即的準(zhǔn)線l的方程為；

l與y軸交于點(diǎn)A，則有，則當(dāng)AP與拋物線相切時(shí)最大，設(shè)切點(diǎn)為，，∴切線方程為，切線過(guò)點(diǎn)A，則，解得.∴切線斜率為，即傾斜角為或，故的最大值為.故答案為：；.三、解答題：本大題共6小題，共85分.16.【答案】（1）240（2）432（3）144（4）72【分析】（1）先排唱歌節(jié)目，再排其他節(jié)目，由乘法原理可得答案；（2）將三個(gè)舞蹈節(jié)目看成整體，先排剩下4個(gè)節(jié)目，再把三個(gè)舞蹈節(jié)目放入不含兩端的3個(gè)空中，據(jù)此可得答案；（3）將舞蹈，歌曲看成整體并優(yōu)先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整體排布產(chǎn)生的空中可得答案.（4）將新增兩個(gè)節(jié)目放入7個(gè)節(jié)目排布產(chǎn)生的空中，分放入同一個(gè)空和放入兩個(gè)不同的空兩種情況，據(jù)此可得答案.【小問(wèn)1詳解】先排唱歌節(jié)目，有2種排法，再將剩下的5個(gè)節(jié)目全排列，有種方法，故共有種排法；【小問(wèn)2詳解】將3個(gè)舞蹈節(jié)目看成整體，優(yōu)先排布，有種排法.再將剩下4個(gè)節(jié)目全排列，有種排法.最后，將舞蹈節(jié)目整體放入剩下4個(gè)節(jié)目排布時(shí)產(chǎn)生的不含兩端的3個(gè)空中，有3種排法，故共有種排法；【小問(wèn)3詳解】將舞蹈，歌曲看成整體并優(yōu)先安排，有種排法再將小品分放入排布舞蹈，歌曲時(shí)產(chǎn)生的三個(gè)空中，有種排法.則共有種排法.【小問(wèn)4詳解】將新增兩個(gè)節(jié)目放入7個(gè)節(jié)目排布產(chǎn)生的8個(gè)空中.若兩個(gè)節(jié)目放入同一個(gè)空，有種排法，若兩個(gè)節(jié)目不放入同一個(gè)空，有種排法，故共有種排法.17.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可得，，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)得到，即可證明；（2）由（1）知兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面，又平面，所?因?yàn)?，，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】由（1）知兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，?所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，所以所以即令，則，所以平面的一個(gè)法向量為.所以.由已知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.18.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可求出的坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出答案；（2）易知直線斜率存在，可表示出的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，進(jìn)而求出的表達(dá)式，及點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式，結(jié)合，可求出直線的斜率.【詳解】（1）因?yàn)橹本€l過(guò)，斜率為，所以：.聯(lián)立，得到.由韋達(dá)定理，有，設(shè)，則，，所以，.（2）由題意，可知直線斜率存在，設(shè)斜率為，則為：，聯(lián)立，得到，由韋達(dá)定理，有，O到直線l的距離為，.則.所以，化簡(jiǎn)得，解得，所以直線：或.19.【答案】（I）邊所在直線的方程為（II）矩形外接圓的方程為（III）動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為【詳解】解：（I）因?yàn)檫吽谥本€的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為．又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以邊所在直線的方程為．．（II）由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)榫匦蝺蓷l對(duì)角線的交點(diǎn)為．所以為矩形外接圓的圓心．又．從而矩形外接圓的方程為．（III）因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)點(diǎn)，所以是該圓的半徑，又因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，所以，即．故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支．因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng)，半焦距．所以虛半軸長(zhǎng)．從而動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為20.【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）通過(guò)證明（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與平面所成角的大小.（3）先求得到平面的距離，進(jìn)而求得四面體的體積.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，由于平面平面且交線為，平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?，，所以平面，平面，所以，而平面，平面，所以，由此以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，由于，所以，所以直線與平面所成角的大小為.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離，由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以四面體的體積.21.【答案】（1），4（2）【分析】（1）由題意根據(jù)長(zhǎng)軸