2024北京一七一中高二10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京一七一中高二10月月考數(shù)學(xué)一、選擇題共10題，每題4分，共40分.在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B. C. D.2.若，，，且三點(diǎn)共線(xiàn)，則()A.－2 B.5 C.10 D.123.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，則（）．A. B. C. D.4.某居民小區(qū)戶(hù)主人數(shù)和戶(hù)主對(duì)住房戶(hù)型結(jié)構(gòu)的滿(mǎn)意率分別如圖1和圖2所示，為了解該小區(qū)戶(hù)主對(duì)戶(hù)型結(jié)構(gòu)的滿(mǎn)意程度，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取的戶(hù)主作為樣本進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù)分別為（）A.400，32 B.400，36 C.480，32 D.480，365.如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，若，，，則等于（）A. B.C. D.6.已知，則“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.若數(shù)據(jù)、、?的平均數(shù)是5，方差是4，數(shù)據(jù)、、?、的平均數(shù)是4，標(biāo)準(zhǔn)差是，則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.，C.， D.，8.如圖，在四棱錐中，平面，，，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（）A. B.C. D.49.如圖所示，在平行六面體中，，，，，，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.10.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，分別是棱上的中點(diǎn).若點(diǎn)為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊）動(dòng)點(diǎn)，且存在使成立，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5題，每題5分，共25分.11.已知空間向量，若，則實(shí)數(shù)___，______.12.直線(xiàn)l、m的方向向量分別為、，則直線(xiàn)l、m的夾角為_(kāi)_____．13.已知空間三點(diǎn)，則在上的投影向量坐標(biāo)為_(kāi)_________.14.已知兩點(diǎn)A（1，﹣2），B（2，1），直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（0，﹣1）與線(xiàn)段AB有交點(diǎn)，則直線(xiàn)l斜率取值范圍為_(kāi)__________．15.如圖，在正方體中，E為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)沿著棱DC從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)，對(duì)于下列三個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)P，使得；②的面積越來(lái)越小；③四面體的體積不變.所有正確的結(jié)論的序號(hào)是_____________.三、解答題共6題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)一般式方程.（2）求過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的一般式方程；（3）求過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距與在軸上的截距之和為2的直線(xiàn)斜率.17.對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出如下頻率分布表和頻率分布直方圖．分組頻數(shù)頻率100.2024nmp20.04合計(jì)M1（1）求出表中M，p及圖中a的值；（2）若該校有高三學(xué)生300人，試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（3）估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)．（保留一位小數(shù)）18.文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱(chēng)號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者，某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿(mǎn)分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：40,50，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；（3）已知落在50,60的平均成績(jī)是54，方差是7，落在60,70的平均成績(jī)?yōu)?6，方差是4，求兩組成績(jī)的總平均數(shù)和總方差.19.如圖，在長(zhǎng)方體中，，和交于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn).（1）求證：∥平面；（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求（i）平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值；（ii）點(diǎn)A到平面CEF的距離.條件①：；條件②：直線(xiàn)與平面所成的角為.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20.已知底面是平行四邊形，平面，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.21.已知集合，對(duì)于，，定義與的差為；與之間的距離為.（1）若，試寫(xiě)出所有可能的，；（2），證明：；（3），三個(gè)數(shù)中是否一定有偶數(shù)？證明你的結(jié)論.

參考答案一、選擇題共10題，每題4分，共40分.在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】D【分析】利用斜率和傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角.【詳解】設(shè)斜率為，傾斜角為，∵，∴，．故選：D．2.【答案】C【分析】由三點(diǎn)共線(xiàn)可得直線(xiàn)的斜率存在并且相等求解即可.【詳解】解：由題意，可知直線(xiàn)的斜率存在并且相等，即，解得10.故選：C.3.【答案】C【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)空間兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算可得；【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以；故選：C4.【答案】A【分析】根據(jù)圖（1）及分層抽樣可得樣本容量及抽取的四居室戶(hù)主人數(shù)，再結(jié)合圖（2）可得抽取的戶(hù)主對(duì)四居室滿(mǎn)意的人數(shù).【詳解】由圖（1）得該小區(qū)戶(hù)主總?cè)藬?shù)為人，所以樣本容量為人，其中四居室戶(hù)主有人，由圖（2）得抽取的戶(hù)主中對(duì)四居室滿(mǎn)意的有人，故選：A.5.【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的基底表示.【詳解】在三棱錐中，是的中點(diǎn)，則.故選：C6.【答案】A【分析】當(dāng)時(shí)，判斷兩直線(xiàn)是否垂直，由此判斷充分性，當(dāng)兩直線(xiàn)垂直時(shí)，根據(jù)兩直線(xiàn)垂直的性質(zhì)求出的值，由此判斷必要性，從而得到答案【詳解】充分性：當(dāng)時(shí)，兩條直線(xiàn)分別為：與此時(shí)兩條直線(xiàn)垂直必要性：若兩條直線(xiàn)垂直，則，解得故“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”的充分不必要條件故選【點(diǎn)睛】本題是一道有關(guān)充分條件和必要條件的題目，需要分別從充分性和必要性?xún)煞矫娣治觯瑢儆诨A(chǔ)題．7.【答案】D【分析】先設(shè)出數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，利用平均數(shù)的定義求解A，B，利用標(biāo)準(zhǔn)差和方差的關(guān)系求解C，D即可.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,標(biāo)準(zhǔn)差為，數(shù)據(jù)、、?、的平均數(shù)是4,則，解得而數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5,可得，由方差公式可得，，，解得，故D正確.故選：D.8.【答案】A【分析】利用空間距離的向量求法，建立坐標(biāo)系寫(xiě)出向量代入公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，故點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.故選：A.9.【答案】C【分析】根據(jù)向量線(xiàn)性運(yùn)算，利用向量表示，再根據(jù)向量的模的性質(zhì)，數(shù)量積的運(yùn)算律求，由此可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，，，，，所以所?故選：C10.【答案】C【分析】根據(jù)向量共面判斷出平面，由面面平行得到P點(diǎn)的軌跡，在直角三角形中求出邊長(zhǎng)即可.【詳解】因?yàn)槌闪?，所以共面，即平面，如圖，取中點(diǎn)，連接、、，根據(jù)正方體的性質(zhì)得，，，且，，所以平面平面，所以點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段，因?yàn)?，，由勾股定理得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面與平面平行的判斷及性質(zhì)，求點(diǎn)的軌跡的問(wèn)題，考查了推理能力.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5題，每題5分，共25分.11.【答案】①.②.【分析】根據(jù)空間向量平行的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)，則即，解得故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.12.【答案】60°##【分析】求出，根據(jù)直線(xiàn)夾角的定義即可求解．【詳解】∵，∴，又∵兩直線(xiàn)夾角范圍是[0°，90°]，∴直線(xiàn)l、m的夾角為60°．故答案為：60°．13.【答案】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由三點(diǎn)，可得，則，則在上的投影向量坐標(biāo)為.故答案為：.14.【答案】【分析】根據(jù)斜率的公式，數(shù)形結(jié)合分析臨界條件求解即可.【詳解】如圖所示，直線(xiàn)PA的斜率為，直線(xiàn)PB的斜率為．由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB有交點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)l的斜率．故答案為：.15.【答案】①②③【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表達(dá)出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出（），選項(xiàng)①，列出方程，求出m的值；選項(xiàng)②，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離的向量公式表達(dá)出P到直線(xiàn)距離，表達(dá)出的面積，進(jìn)而得到答案；③把作為底，高為點(diǎn)P到上底面的距離，可以判斷四面體的體積不變.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，設(shè)（），則，，令，解得：，存在點(diǎn)P，使得，①正確；，，，，設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)距離為，則所以，因?yàn)椋瑒?dòng)點(diǎn)沿著棱DC從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)，即從0逐漸變到2，隨著的變大，變小，的面積越來(lái)越小，②正確；以為底，高為點(diǎn)P到上底面的距離，因?yàn)椤蔚酌?，所以h不變，所以四面體的體積不變，③正確.故答案為：①②③三、解答題共6題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.【答案】（1）；（2）；（3）或.【分析】（1）（2）根據(jù)給定條件，設(shè)出直線(xiàn)方程，再利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)方程.（3）根據(jù)給定條件，利用直線(xiàn)方程的截距式，再利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)的橫縱截距，進(jìn)而求出直線(xiàn)的斜率.【詳解】（1）設(shè)與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)方程為，又該直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以所求直線(xiàn)方程為.（2）設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)方程為，又該直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以所求直線(xiàn)方程為.（3）顯然直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)其方程為，則，整理得，即，因此，解得，而直線(xiàn)，即，其斜率為，所以所求直線(xiàn)的斜率為或.17.【答案】（1），，（2）144（3），18.1，18.3【分析】（1）借助頻數(shù)、頻率與總數(shù)之間的關(guān)系計(jì)算即可得；（2）以所得頻率估計(jì)概率計(jì)算即可得；（3）借助眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的定義計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】由分組對(duì)應(yīng)的頻數(shù)是10，頻率是0.20，知，所以，所以，解得，所以，；【小問(wèn)2詳解】估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為；【小問(wèn)3詳解】估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的眾數(shù)是．因?yàn)?，所以估?jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)x滿(mǎn)足：，解得，所以該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)約為18.1，由，所以估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的平均數(shù)是18.3.18.【答案】（1）（2）84（3）總平均數(shù)為；總方差為【分析】（1）根據(jù)每組小矩形的面積之和為1即可求解；（2）由頻率分布直方圖求第百分位數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（3）利用分層抽樣的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槊拷M小矩形的面積之和為1，所以，則.【小問(wèn)2詳解】成績(jī)落在內(nèi)的頻率為，落在內(nèi)的頻率為，設(shè)第75百分位數(shù)為m，由，得，故第75百分位數(shù)為84.【小問(wèn)3詳解】由圖可知，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，成績(jī)?cè)诘氖忻袢藬?shù)為，故這兩組成績(jī)的總平均數(shù)為，由樣本方差計(jì)算總體方差公式可得總方差為：.19.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（?。áⅲ?【分析】（1）利用空間中直線(xiàn)與平面平行的判定定理，結(jié)合三角形中位線(xiàn)即可證明；（2）若選條件①，利用，通過(guò)推理論證得到，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面法向量，再根據(jù)面面夾角的向量公式及點(diǎn)到面的距離公式運(yùn)算求解；若選條件②，利用與平面所成角為，通過(guò)推理論證得到，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面法向量，再根據(jù)面面夾角的向量公式及點(diǎn)到面的距離公式運(yùn)算求解．【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，，.因?yàn)殚L(zhǎng)方體中,∥且，所以四邊形為平行四邊形.所以為的中點(diǎn)，在中，因?yàn)?，分別為和的中點(diǎn)，所以∥.因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平?【小問(wèn)2詳解】選條件①：.(ⅰ)連接.因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，所以.在中,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)殚L(zhǎng)方體中,，則，，，，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，可得.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以.設(shè)平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.(ⅱ)因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為.選條件②：與平面所成角為.連接.因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，平面，平面，所以.所以為直線(xiàn)與平面所成角，即.所以為等腰直角三角形.因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，所以.所以.以下同選條件①.20.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，或.【分析】（1）由，得到，再由平面，證得，進(jìn)而證得平面，結(jié)合，得到平面，利用面面垂直的判定定理，即可證得平面平面.（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得向量和平面的一個(gè)法向量為，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：在中，，，，則，可得，所以，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】是平行四邊形，平面，，，，且.假設(shè)線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值是，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，所以，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角的大小為，故，整理得，解得或，所以或.21.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）一定有偶數(shù)，理由見(jiàn)解析【分