2024北京十二中高二12月月考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京十二中高二12月月考數(shù)學(xué)2024.12命題人：李健鄭曉超審核人：曹德良本試卷共4頁，滿分150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題紙交回.第一部分選擇題（共60分）一、單選題:本題共12小題，每小題5分，共60分.1.在四面體PABC中，（）A. B. C. D.2.圓的圓心的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.3.設(shè)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（）A. B. C. D.104.設(shè)直線的方向向量為，兩個(gè)不同的平面的法向量分別為，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.若，則 B.若，則 C.若，則 D.若，則5.若直線與橢圓交于點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（）A. B. C.2 D.-26.已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（）A.是一個(gè)半徑為的圓 B.是一條與相交的直線C.上的點(diǎn)到的距離均為 D.是兩條平行直線7.已知空間向量滿足，且，則（）A. B. C. D.8.設(shè)點(diǎn)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn).若的面積為，則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.9.由直線上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為()A. B. C. D.10.已知直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)與的交點(diǎn)為，則面積的最大值為()A. B. C.5 D.1011.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)；從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)和，且，則的離心率為()A. B. C. D.12.如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，且分別為棱中點(diǎn).將和分別沿折疊，若滿足平面DEBF，則線段AC的取值范圍為（）A. B. C. D.第二部分非選擇題（共90分）二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.13.已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的斜率為____________．14.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，漸近線為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____________.15.已知，且共面，則_____________.16.若方程表示的曲線為雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________；若此方程表示的曲線為橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.17.在通用技術(shù)教室里有一個(gè)三棱錐木塊如圖所示，，，兩兩垂直，（單位：），小明同學(xué)計(jì)劃通過側(cè)面內(nèi)任意一點(diǎn)將木塊鋸開，使截面平行于直線和，則該截面面積（單位：）的最大值是__________．18.橢圓，左焦點(diǎn)是，過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不同于長軸的端點(diǎn))，已知點(diǎn)則下列說法中正確的是_____________.(寫出所有正確命題的序號(hào))①直線與直線的斜率的和為0；②與的面積之比為;③點(diǎn)到直線的距離等于；④.三、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.19.已知空間向量，，，，.（1）求向量，，的坐標(biāo);（2）求與夾角的余弦值.20.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為PC中點(diǎn)，在棱PB上.（1）求證：平面平面；（2）求B到平面的距離；（3）在平面內(nèi)，求線段的長.21.已知圓C的半徑為3，圓心C在射線上，直線被圓C截得的弦長為（1）求圓C方程;（2）過點(diǎn)的直線l與圓C交于M、N兩點(diǎn)，且的面積是為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程.22.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，且焦距為.（1）求橢圓的方程和離心率；（2）過點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，求的值.23.已知集合中至少有三個(gè)元素，如果，同時(shí)滿足①；②;③為偶數(shù)，那么稱集合具有性質(zhì).已知集合，對(duì)于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，使得均屬于，則稱集合是集合的“期待子集”.（1）若集合，判斷是否具有性質(zhì)；（2）若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的“期待子集”；（3）證明：集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“期待子集”.

參考答案第一部分選擇題（共60分）一、單選題:本題共12小題，每小題5分，共60分.1.【答案】A【分析】利用向量的計(jì)算法則計(jì)算即可.【詳解】由題可知故選：A2.【答案】B【分析】利用圓的一般方程求圓心坐標(biāo)即可.【詳解】由題可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為，故選：B3.【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義求解即可.【詳解】橢圓的長半軸長，所以P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和.故選：C.4.【答案】D【分析】利用空間向量判定空間位置關(guān)系即可.【詳解】對(duì)于A，若兩個(gè)平面的法向量互相垂直，則兩個(gè)平面垂直，即A正確；對(duì)于B，若兩個(gè)不同的平面的法向量互相平行，則兩個(gè)平面互相平行，即B正確；對(duì)于C，若一直線的方向向量與一平面的法向量平行，則該直線垂直于該平面，即C正確；對(duì)于D，若一直線的方向向量與一平面的法向量垂直，則該直線平行于該平面或者在該面內(nèi)，即D錯(cuò)誤.故選：D5.【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則由題易知兩式求差可得，故選：B6.【答案】C【分析】設(shè)，由可得點(diǎn)坐標(biāo)，由在直線上，故可將點(diǎn)代入坐標(biāo)，即可得軌跡，結(jié)合選項(xiàng)即可得出正確答案.【詳解】設(shè)，由，則，由在直線上，故，化簡得，即的軌跡為為直線且與直線平行，上的點(diǎn)到的距離，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C.7.【答案】D【分析】由題可知，然后兩邊同時(shí)平方，代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?得.故選：D8.【答案】D【分析】先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可得弦長，根據(jù)的面積結(jié)合，即可求出a的值，漸近線方程即為.【詳解】設(shè)F1?c,0，將代入可得，所以，則，又，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為，故選：D9.【答案】A【分析】由勾股定理可知當(dāng)直線的點(diǎn)到圓的圓心距離最小時(shí)，此時(shí)切線長最小，然后計(jì)算即可.【詳解】由題可知圓的圓心，半徑，設(shè)直線的動(dòng)點(diǎn)為，切點(diǎn)為則切線長所以要使切線長最小，則最??；顯然的最小值為到直線的距離為所以此時(shí)切線長.故選：A10.【答案】C【分析】先求定點(diǎn)，然后判斷兩個(gè)直線的位置關(guān)系，然后計(jì)算面積，利用基本不等式判斷即可.【詳解】由題可知，,直線，所以,，所以，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C11.【答案】B【分析】利用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)及雙曲線定義，設(shè)，用表示，先在中由求出，再在中由即可求解.【詳解】由題意可知直線CA，DB都過點(diǎn)，如圖，則有，，設(shè)，則，所以，故，所以，因此，在，，即，整理得即，解得，所以，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以的離心率為.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線離心率的三種方法：①定義法，通過已知條件列出方程組，求得a，c的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e；②齊次式法，由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程求解；③特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.12.【答案】A【分析】借助空間直觀想象，折疊前在平面圖形中求出AC的長度，折疊過程中證明平面EAB//平面FDC，面面距離即為AC的最小值，由此得到AC的范圍.【詳解】折疊前，連接AC，BD，由題意，在菱形ABCD中，，，則由余弦定理得，，，故在折疊過程中，，折疊后，平面DEBF，則平面DEBF，則，故D項(xiàng)錯(cuò)誤；折疊前，在菱形ABCD中，，，則是正三角形，由E，F(xiàn)分別為棱中點(diǎn)，，折疊后，則，又平面EAB，所以平面EAB，由E，F(xiàn)分別為棱中點(diǎn)，則，又FC，F(xiàn)D在平面FCD內(nèi)交于點(diǎn)F，所以平面FCD，又，所以平面EAB//平面FCD，則平面EAB與平面FCD的距離即為，由點(diǎn)平面EAB，點(diǎn)平面FCD，則，故B錯(cuò)；在折疊過程中，當(dāng)時(shí)，由，則均為正三角形，可構(gòu)成如圖所示的正三棱柱，滿足平面DEBF，此時(shí).所以AC最小值為，故A正確，C項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A第二部分非選擇題（共90分）二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.13.【答案】【分析】根據(jù)直線的斜率與方向向量之間的關(guān)系可得出直線的斜率.【詳解】由題意可知，直線的斜率為.故答案為：.14.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)，可知焦點(diǎn)在x軸上，且，漸近線為，建立的方程組即可求解.【詳解】由雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)知，，且焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又漸近線方程為，所以，又，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.15.【答案】5【分析】利用向量共面的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題可知，，故答案為：516.【答案】①.②.【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依次建立不等式（組），解之即可求解.【詳解】若方程為雙曲線時(shí)，，解得或，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為；若方程為橢圓時(shí)，，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：；17.【答案】【分析】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作分別交于，在平面內(nèi)，過作交于，在平面內(nèi)，過作交于，連接，進(jìn)而根據(jù)題意，∽，設(shè)其相似比為，則，再證明四邊形是矩形，再結(jié)合相似比和二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作分別交于，在平面內(nèi)，過作交于，在平面內(nèi)，過作交于，連接，作圖如下，因?yàn)椋瑒t，所以∽，設(shè)其相似比為，則，因?yàn)?，所以在中，，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，則，所以，，即，因?yàn)椋?，即，同理∽，即，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗砸驗(yàn)?，所以∽，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以四邊形是矩形，即，所以，由二次函?shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，有最大值.故答案為：.18.【答案】①②④【分析】設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，Bx2,y2，將其與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，①證明【詳解】由題意知，，設(shè)直線的方程為，Ax1,y1，聯(lián)立，得，顯然，，，①，即①正確；②，直線和直線的傾斜角互補(bǔ)，即，，，，即②正確；③橢圓的左準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由橢圓的第二定義知，，，即點(diǎn)到直線的距離等于，即③錯(cuò)誤；④，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即④正確，故答案為：①②④．三、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.19.【答案】（1），，（2）【分析】（1）由已知根據(jù)，的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；（2）由（1）可得與的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，，所以，所以，，所以，，因?yàn)?，，所以，所以，所以；【小?詳解】，，所以，，，設(shè)與夾角為，所以，所以與夾角的余弦值為.20.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）由面面垂直的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)到面的距離公式即可求解；（3）設(shè)，由，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，，，所以，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小?詳解】因?yàn)槠矫?，，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，所以，，所以，所以B到平面的距離；【小問3詳解】設(shè)，，，，所以，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，在平面OAE內(nèi)，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以線段的長為.21.【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意設(shè)圓心，則圓的方程為，由垂徑定理結(jié)合弦長即可求解；（2）分斜率存在與不存在兩種情況結(jié)合三角形面積求解即可【小問1詳解】設(shè)圓心，則圓的方程為，或舍去圓的方程為【小問2詳解】①當(dāng)斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線l方程為，原點(diǎn)到直線的距離為，令代入圓方程得或，，滿足題意.此時(shí)方程為②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，圓心到直線l的距離，原點(diǎn)O到直線l的距離，整理，得，此時(shí)k無解．綜上所述，所求的直線的方程為22.【答案】（1）橢圓的方程為，離心率為（2）【分析】（1）根據(jù)題意建立等式求解即可；（2）根據(jù)題意假設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到關(guān)于的表示，進(jìn)而化簡求得值，從而得解.【小問1詳解】由題可知，，所以橢圓的方程為，離心率為.【小問2詳解】由（1）可知，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，顯然，得，易知，所以.因?yàn)?，得，所?23.【答案】（1）具有性質(zhì)，不具有性質(zhì)；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定的定義條件，分別判斷集合.（2）由性質(zhì)P確定集合B，再根據(jù)“期待子集”的定義，確定集合是集合的“期待子集”.（3）由存在三個(gè)互不相同的，使得均屬于，證明滿足性質(zhì)P的三個(gè)條件；再證明集合具有性質(zhì)，集合是集合的“期待子集”即可.【小問1詳解】集合具有性質(zhì)，理由如下：取，滿足，，是偶數(shù)，因此集合具有性質(zhì)；集合不具有性質(zhì)，理由如下：若取，為奇數(shù)，不滿足條件③；若取或或，均有，不滿足條件②，所以不具有性質(zhì).【小問2詳解】由是偶數(shù)，得實(shí)數(shù)是奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，由，得，即，因?yàn)椴皇桥紨?shù)，所以不合題意.當(dāng)時(shí)，由，得，即，或，因?yàn)槭桥紨?shù)，不是偶數(shù)，所以不合題意.所以集合，令，解得，顯然，所以集合是集合的“期待子集”.【小問3詳解】先證充分性：當(dāng)集合是集合的“期待子集”時(shí)，存在三個(gè)互不相同的，使得均屬于，不妨設(shè)，令，，，則，即滿足條件①，因?yàn)?，所以，即滿足條件②，因?yàn)?，所以為偶?shù)，即滿足條件③，所以當(dāng)集合是集合的“期待子集”時(shí)，集合具有性質(zhì).再證必要性：當(dāng)集合具有性質(zhì)，則中存在，同時(shí)滿足①；②；③為偶數(shù)，令，，，則由條件①得，由