北京市第十八中學(xué)11-12學(xué)年上學(xué)期高二期中考試（數(shù)學(xué)理）

北京市第十八中學(xué)11-12學(xué)年上學(xué)期高二期中考試（數(shù)學(xué)理）一、選擇題1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$，則$f(x)$的極值點(diǎn)為：A.$x=1$，$x=2$B.$x=-1$，$x=2$C.$x=1$，$x=-1$D.$x=-2$，$x=1$2.設(shè)復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|+|z+i|=2$，則$z$在復(fù)平面上的軌跡方程為：A.$x^2+y^2=1$B.$x^2+y^2=2$C.$x^2+y^2=4$D.$x^2+y^2=3$3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2+2n$，則該數(shù)列的首項(xiàng)$a_1$為：A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$4.設(shè)函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$，則$f'(x)$的值為：A.$\frac{1}{x+1}$B.$\frac{1}{x}$C.$\frac{1}{x-1}$D.$\frac{1}{x+2}$5.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(3,2,1)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為：A.$14$B.$10$C.$8$D.$6$二、填空題6.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}$，則$f(x)$的定義域?yàn)開_____。7.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-2$，則$f'(x)$的表達(dá)式為______。8.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=4n^2+3n$，則該數(shù)列的公差$d$為______。9.已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec=(3,2,1)$，則$\vec{a}\times\vec$的值為______。10.設(shè)復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|+|z+i|=2$，則$z$的實(shí)部為______。三、解答題11.（1）已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}$，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。（2）已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2n$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$。12.（1）設(shè)復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|+|z+i|=2$，求$z$在復(fù)平面上的軌跡方程。（2）設(shè)函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$，求$f'(x)$在區(qū)間$(0,1)$上的取值范圍。四、證明題要求：證明下列等式成立。證明：設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-2$，證明$f(x)$在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無零點(diǎn)。五、應(yīng)用題要求：根據(jù)下列條件，求解相關(guān)參數(shù)。已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=4n^2+3n$，求該數(shù)列的第10項(xiàng)$a_{10}$。六、綜合題要求：綜合運(yùn)用所學(xué)知識，解決實(shí)際問題。已知函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$，求證在區(qū)間$(0,1)$上，$f(x)$的值域?yàn)?(-\infty,0)$。同時(shí)，求出使得$f(x)$取得最大值的$x$值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$，解得$x=0$和$x=2$，通過一階導(dǎo)數(shù)的符號變化，可以確定$x=1$是極大值點(diǎn)，$x=2$是極小值點(diǎn)。2.A解析：由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，可以知道$|z-1|+|z+i|$表示點(diǎn)$z$到點(diǎn)$1$和點(diǎn)$i$的距離之和，這個(gè)和等于2，說明$z$在復(fù)平面上形成的軌跡是一個(gè)以點(diǎn)$1$和點(diǎn)$i$為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為$x^2+y^2=1$。3.A解析：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$S_n=3n^2+2n$，解得$a_1=1$。4.A解析：求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x+1}$。5.D解析：向量的點(diǎn)積定義為$\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，代入向量坐標(biāo)得$1*3+2*2+3*1=6+4+3=13$。二、填空題6.$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$解析：由于根號下的$x$必須非負(fù)，且分母不能為零，所以$x$的取值范圍是負(fù)無窮到0的開區(qū)間，以及0到正無窮的閉區(qū)間。7.$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：對多項(xiàng)式函數(shù)求導(dǎo)，按照冪函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則進(jìn)行。8.$d=4$解析：等差數(shù)列的公差$d$可以通過任意相鄰兩項(xiàng)的差來求得，$d=a_{n+1}-a_n=4n^2+3n-(4(n-1)^2+3(n-1))=4$。9.$\vec{a}\times\vec=(2-6)i-(3-6)j+(1-2)k=-4i+3j-k$解析：向量的叉積定義為$\vec{a}\times\vec=(a_2b_3-a_3b_2)i+(a_3b_1-a_1b_3)j+(a_1b_2-a_2b_1)k$。10.實(shí)部為$1$解析：由于$|z-1|+|z+i|=2$，可以知道$z$到點(diǎn)$1$和點(diǎn)$i$的距離之和為2，因此$z$的實(shí)部為1。三、解答題11.（1）單調(diào)區(qū)間為$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$解析：求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，通過一階導(dǎo)數(shù)的符號變化，可以確定$x=1$是函數(shù)的拐點(diǎn)，因此單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,1)$和$(1,+\infty)$。（2）$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=2$解析：由于$a_{n+1}=a_n+2n$，可以得到$\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac{2n}{a_n}$，隨著$n$的增大，$\frac{2n}{a_n}$趨向于2，因此極限值為2。12.（1）軌跡方程為$(x-1)^2+(y-1)^2=1$解析：由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，可以得到$(z-1)(\bar{z}-1)+(z+i)(\bar{z}-i)=4$，化簡得到$(x-1)^2+(y-1)^2=1$。（2）$f'(x)$在區(qū)間$(0,1)$上的取值范圍為$(-\infty,0)$解析：求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x+1}$，在區(qū)間$(0,1)$上，$x+1$總是正的，因此$f'(x)$總是負(fù)的，所以取值范圍是$(-\infty,0)$。四、證明題證明：設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-2$，證明$f(x)$在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無零點(diǎn)。解析：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=2$，通過一階導(dǎo)數(shù)的符號變化，可以確定$x=2$是函數(shù)的極值點(diǎn)，且$f(2)=2^3-3*2^2+4*2-2=2$，因此$f(x)$在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無零點(diǎn)。五、應(yīng)用題已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=4n^2+3n$，求該數(shù)列的第10項(xiàng)$a_{10}$。解析：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$S_n=4n^2+3n$，當(dāng)$n=10$時(shí)，$a_{10}=4*10^2+3*10-(4*9^2+3*9)=400+30-(324+27)=400+30-351=79$。六、綜合題已知函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$，求證在區(qū)間$(0,1)$上，$f(x)$的值域?yàn)?(-\infty,0)$。同時(shí)，求出使得$f(x)$取得最大值的$x$值。解析：$f(