2025年歐幾里得競(jìng)賽解析幾何專項(xiàng)突破模擬試卷（坐標(biāo)與向量）-坐標(biāo)與向量在解析幾何中的核心問(wèn)題解析

2025年歐幾里得競(jìng)賽解析幾何專項(xiàng)突破模擬試卷（坐標(biāo)與向量）-坐標(biāo)與向量在解析幾何中的核心問(wèn)題解析一、坐標(biāo)與點(diǎn)的關(guān)系要求：掌握點(diǎn)在坐標(biāo)系中的表示方法，以及坐標(biāo)與點(diǎn)的關(guān)系，能夠熟練運(yùn)用坐標(biāo)進(jìn)行點(diǎn)的位置描述。1.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，-2），請(qǐng)描述點(diǎn)A的位置。2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-5，7），請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中找到點(diǎn)B的位置。二、向量的表示與運(yùn)算要求：掌握向量的表示方法，包括坐標(biāo)表示法，以及向量的運(yùn)算，如向量加法、減法、數(shù)乘等。3.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，向量$\vec=(3,-4)$，求向量$\vec{a}+\vec$。4.已知向量$\vec{c}=(-2,5)$，向量$\vecsea2gsm=(4,-3)$，求向量$\vec{c}-\vece2uqu2q$。5.設(shè)向量$\vec{e}=(-3,2)$，若向量$\vec{f}$與向量$\vec{e}$平行，且$\vec{f}$的模長(zhǎng)為5，求向量$\vec{f}$的坐標(biāo)。三、坐標(biāo)與向量在解析幾何中的應(yīng)用要求：掌握坐標(biāo)與向量在解析幾何中的應(yīng)用，如直線方程、圓方程等。6.已知直線l過(guò)點(diǎn)A（2，3）且斜率為2，請(qǐng)寫出直線l的方程。7.已知圓心C（-1，2），半徑為3的圓，請(qǐng)寫出該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。8.已知直線m的方程為$y=2x+1$，圓O的方程為$x^2+y^2=16$，求直線m與圓O的交點(diǎn)坐標(biāo)。9.已知直線n與圓O（$x^2+y^2=9$）相切于點(diǎn)P，且直線n過(guò)點(diǎn)Q（2，3），求直線n的方程。10.設(shè)點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B（-3，4），求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。11.已知點(diǎn)P（x，y）在直線l上，且點(diǎn)P到點(diǎn)A（3，4）的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)B（-2，1）的距離，求點(diǎn)P的軌跡方程。12.已知直線m的方程為$y=-\frac{1}{2}x+3$，圓O的方程為$x^2+y^2=25$，求直線m與圓O的交點(diǎn)坐標(biāo)。13.已知直線n與圓O（$x^2+y^2=16$）相切于點(diǎn)P，且直線n過(guò)點(diǎn)Q（-4，3），求直線n的方程。14.設(shè)點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)B（-1，-4），求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。15.已知點(diǎn)P（x，y）在直線l上，且點(diǎn)P到點(diǎn)A（-1，2）的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)B（3，-1）的距離，求點(diǎn)P的軌跡方程。四、解析幾何中的角度與距離要求：掌握解析幾何中角度和距離的計(jì)算方法，能夠運(yùn)用這些方法解決實(shí)際問(wèn)題。16.已知直線l的方程為$y=3x+1$，求直線l與x軸正半軸所成的銳角θ的正切值。17.已知點(diǎn)A（-2，3）和點(diǎn)B（4，-1），求線段AB的長(zhǎng)度。18.圓O的方程為$x^2+y^2=16$，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0），求點(diǎn)P到圓心O的距離。19.已知直線m的方程為$y=-\frac{1}{3}x+2$，求直線m與x軸所成的角的余弦值。20.設(shè)點(diǎn)A（2，2），點(diǎn)B（-3，-1），求線段AB的斜率。五、解析幾何中的方程與曲線要求：掌握解析幾何中方程的構(gòu)建方法，能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題寫出相應(yīng)的方程，并分析曲線的性質(zhì)。21.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，-1）和點(diǎn)B（3，5），求直線l的截距式方程。22.圓心在原點(diǎn)，半徑為5的圓，其方程為$x^2+y^2=25$，求該圓上與直線$y=3x+2$相切的切點(diǎn)坐標(biāo)。23.已知直線m的方程為$y=x+4$，求直線m與曲線$y=\sqrt{x}$的交點(diǎn)坐標(biāo)。24.圓O的方程為$x^2+y^2=4$，直線l的方程為$y=-2x+1$，求圓O上到直線l距離最短的點(diǎn)C的坐標(biāo)。25.設(shè)點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)B（-1，-2），求線段AB的垂直平分線的方程。六、解析幾何中的應(yīng)用問(wèn)題要求：能夠運(yùn)用解析幾何的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，包括幾何圖形的構(gòu)造、面積和體積的計(jì)算等。26.在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-2，3）和點(diǎn)B（4，-1），求以AB為直徑的圓的面積。27.設(shè)點(diǎn)P（x，y）在直線$y=-\frac{1}{2}x+3$上，求點(diǎn)P到點(diǎn)Q（1，2）的距離的平方表達(dá)式。28.圓O的方程為$x^2+y^2=9$，直線l的方程為$y=x$，求由直線l和圓O所圍成的圖形的面積。29.設(shè)點(diǎn)A（0，0），點(diǎn)B（3，4），求由線段AB和x軸所圍成的三角形的面積。30.圓O的方程為$x^2+y^2=16$，求圓O內(nèi)接于正方形的最大面積。本次試卷答案如下：一、坐標(biāo)與點(diǎn)的關(guān)系1.點(diǎn)A位于第二象限，橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為-2，即在x軸正方向3個(gè)單位，y軸負(fù)方向2個(gè)單位的位置。2.點(diǎn)B位于第二象限，橫坐標(biāo)為-5，縱坐標(biāo)為7，即在x軸負(fù)方向5個(gè)單位，y軸正方向7個(gè)單位的位置。二、向量的表示與運(yùn)算3.向量$\vec{a}+\vec=(1+3,2-4)=(4,-2)$。4.向量$\vec{c}-\vecsi4uoa6=(-2-4,5-(-3))=(-6,8)$。5.由于向量$\vec{f}$與向量$\vec{e}$平行，$\vec{f}$可以表示為$\vec{f}=k\vec{e}$，其中k是比例系數(shù)。因?yàn)?\vec{f}$的模長(zhǎng)為5，所以$5^2=k^2(-3)^2+2^2$，解得$k=\pm\frac{5}{\sqrt{9}}=\pm\frac{5}{3}$。因此，$\vec{f}=\pm\left(-\frac{5}{3}\right)(-3,2)=\left(\pm5,\pm\frac{10}{3}\right)$。三、坐標(biāo)與向量在解析幾何中的應(yīng)用6.直線l的方程為$y-3=2(x-2)$，即$y=2x-1$。7.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$(x+1)^2+(y-2)^2=9$。8.將直線m的方程代入圓O的方程中，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{7}{5},\frac{31}{5})$和$(-\frac{15}{5},-\frac{11}{5})$。9.直線n的方程為$y=2x-1$。10.線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為$\left(\frac{1-3}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(-1,3)$。11.點(diǎn)P的軌跡方程為$x^2+y^2-2x-2y+5=0$。12.直線m與圓O的交點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{7}{5},\frac{31}{5})$和$(-\frac{15}{5},-\frac{11}{5})$。13.直線n的方程為$y=2x-1$。14.線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為$\left(\frac{2-1}{2},\frac{3-(-4)}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)$。15.點(diǎn)P的軌跡方程為$x^2+y^2-6x-2y+5=0$。四、解析幾何中的角度與距離16.角θ的正切值為直線l的斜率，即$\tan\theta=3$。17.線段AB的長(zhǎng)度為$\sqrt{(-2-4)^2+(3-(-1))^2}=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。18.點(diǎn)P到圓心O的距離為$\sqrt{(4-0)^2+(0-0)^2}=4$。19.直線m與x軸所成的角的余弦值為$\cos\theta=-\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$。20.線段AB的斜率為$\frac{-1-2}{-3-2}=\frac{3}{5}$。五、解析幾何中的方程與曲線21.直線l的截距式方程為$\frac{x}{1}+\frac{y}{-1}=1$，即$x-y=1$。22.切點(diǎn)坐標(biāo)為$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$。23.直線m與曲線$y=\sqrt{x}$的交點(diǎn)坐標(biāo)為$(1,1)$。24.點(diǎn)C的坐標(biāo)為$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$。25.線段AB的垂直平分線的方程為$y-3=-\frac{1}{2}(x+1)$，即$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$。六、解析幾何中的應(yīng)用問(wèn)題26.以AB為直徑的圓的面積為$\pi\left(\frac{2\sqrt{13}}{2}\right)^2=\frac{13\pi}{2}$。27.點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離的平方表