2024北京理工大附中高三（上）開學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京理工大附中高三（上）開學(xué)考數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.下列函數(shù)中，值域為且區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.3.若，則下列各式一定成立的是（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)，則的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.5.已知是上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（）A. B. C. D.6.已知，則不等式的解集為（）A. B.C. D.7.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知函數(shù)滿足，對任意，且，都有成立，且，則的解集是（）A. B.C. D.9.某廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時可獲得利潤元，要使生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，該廠應(yīng)選取的生產(chǎn)速度是（）A.2千克/小時 B.3千克/小時C.4千克/小時 D.6千克/小時10.定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是_________．12.已知關(guān)于的不等式的解集為，則的值_________.13.已知函數(shù)，則__________；的最小值為__________.14.已知函數(shù)，.若命題“，不等式恒成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍_________.15.已知函數(shù)，有如下四個結(jié)論：①函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減；②函數(shù)的值域為；③函數(shù)的圖象是中心對稱圖形；④方程有且只有一個實根.其中所有正確結(jié)論的序號是_________.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.已知等差數(shù)列的公差為2，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式及前項和；（2）求數(shù)列前10項和.17.已知二次函數(shù)的最小值為1，且．（1）求的解析式；（2）若在區(qū)間上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；（3）在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，試確定實數(shù)m的取值范圍．18.近年來，我國新能源汽車蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了節(jié)能減排.遙遙計劃在，，，，，這6個國產(chǎn)新能源品牌或在，，，這4個國產(chǎn)燃油汽車品牌中選擇購車.預(yù)計購買新能源汽車比燃油車多花費40000元.據(jù)測算，每行駛5公里，燃油汽車約花費3元，新能源汽車約消耗電1千瓦時.如果購買新能源汽車，遙遙使用國家電網(wǎng)所屬電動汽車公共充電設(shè)施充電，充電價格分為峰時、平時、谷時三類，具體收費標(biāo)準(zhǔn)（精確到0.1元/千瓦時）如表：充電時間段充電價格（元/千瓦時）充電服務(wù)費（元/千瓦時）峰時10：00-15：00和18：00-21：001.00.8平時7：00-10：00，15：00-18：00和21：00-23：000.7谷時當(dāng)日23：00-次日7：000.4（1）若遙遙在6個新能源汽車品牌中選出2個品牌作比較，求品牌被選中的概率；（2）若遙遙選購新能源汽車，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30這12個時間點中隨機(jī)選擇一個時間點給車充電，每次充電30千瓦時（用時不超過半小時）.設(shè)X為遙遙每次充電的費用，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）求新能源汽車在某個時間段充電1千瓦時的平均費用.（4）假設(shè)遙遙一年駕車約行駛30000公里，按新車使用8年計算，如果只考慮購車成本與能源消耗支出，計算說明選擇新能源汽車和燃油汽車哪個的總花費更少.19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求的零點個數(shù).（3）在區(qū)間上有兩個零點，求的范圍?20.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)的極小值為0，求a的值；（3）在（2）的條件下，若對任意的，成立，求實數(shù)k的最小值21.對于有限數(shù)列，，，，定義：對于任意的，，有：（i）；（ii）對于，記.對于，若存在非零常數(shù)，使得，則稱常數(shù)為數(shù)列的階系數(shù).（1）設(shè)數(shù)列的通項公式為，計算，并判斷2是否為數(shù)列的4階系數(shù)；（2）設(shè)數(shù)列的通項公式為，且數(shù)列的階系數(shù)為3，求的值；（3）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，滿足-1，2均為數(shù)列的階系數(shù)，且，求的最大值.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】B【分析】解一元二次不等式求集合B，利用集合交運算求.【詳解】由題設(shè)，或，所以.故選：B2.【答案】D【分析】對于A，可以說明它在0,+∞上不是單調(diào)遞增，從而即可判斷；對于BC，可以說明它們的值域并不是R，從而判斷；對于D，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可判斷【詳解】對于A，若，由，則，所以在0,+∞上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，二次函數(shù)的最小值為，值域并不是R，故B錯誤；對于C，冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，但是它的值域是，并不是R，故C錯誤，對于D，當(dāng)時，，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知在0,+∞上單調(diào)遞增，且值域為R，故D正確.故選：D.3.【答案】C【分析】結(jié)合特殊值以及冪函數(shù)的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】AD選項，，則，但，所以AD選項錯誤.B選項，若，則，所以B選項錯誤.C選項，若，由于在上遞增，所以，所以C選項正確.故選：C4.【答案】C【分析】先判斷在是連續(xù)的增函數(shù)，再結(jié)合零點存在性定理可求得結(jié)果.【詳解】因為和在上都是連續(xù)的增函數(shù)，所以在上是連續(xù)的增函數(shù)，所以在上至多有一個零點，因為，，所以，所以唯一的零點所在的區(qū)間為，故選：C5.【答案】C【分析】由在上單調(diào)遞減，確定，以及的范圍，再根據(jù)單調(diào)遞減確定在分段點處兩個值的大小，從而解決問題.【詳解】解：由題意得：是上的減函數(shù)解得：故a的取值范圍是故選：C6.【答案】D【分析】化簡不等式，結(jié)合解方程組以及函數(shù)的圖象確定正確答案.【詳解】的定義域是，AB選項錯誤.①，由解得或，畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，不等式①的解集為.故選：D7.【答案】A【分析】通過基本不等式可得充分性成立，舉出反例說明必要性不成立.【詳解】當(dāng)，時，，則當(dāng)時，有，解得，充分性成立；當(dāng)，時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.【答案】D【分析】由已知條件得到的圖象關(guān)于對稱，從而可知在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且，再畫出折線圖表示出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案.【詳解】因為數(shù)滿足.所以的圖象關(guān)于對稱.因為函數(shù)對任意，且，都有成立，所以在上為增函數(shù).又因為的圖象關(guān)于對稱，，所以在為減函數(shù)，且.用折線圖表示函數(shù)的單調(diào)性，如圖所示：由圖知：fx故選：D.9.【答案】C【分析】生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤為，令，由換元法求二次函數(shù)最大值即可.【詳解】由題意得，生產(chǎn)100千克該產(chǎn)品獲得的利潤為，，令，，則，故當(dāng)時，最大，此時.故選：C10.【答案】A【分析】由得，則的周期為2，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，即可化簡a，b，c，最后根據(jù)單調(diào)性比較大小.【詳解】由得，∴的周期為2，又為偶函數(shù)，則，，∵，在上單調(diào)遞增，∴.故選：A二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳解】解：因為，所以，解得且，故函數(shù)的定義域為；故答案為：12.【答案】3【分析】對原不等式等價變形，分是否等于2進(jìn)行討論，根據(jù)一元二次不等式、方程之間的關(guān)系即可求解.【詳解】，當(dāng)時，原不等式等價于，故不符合題意，當(dāng)時，根據(jù)一元二次不等式解集可得，解得，而當(dāng)時，原不等式等價于或，故符合題意；綜上所述，的值為3.故答案為：3.13.【答案】①.4②.-1【分析】根據(jù)單調(diào)性分別討論分段函數(shù)每段的最小值，再綜合判斷.【詳解】，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故在上無最小值，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故，故答案為：-114.【答案】【分析】結(jié)合開口方向以及判別式求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)恒成立，當(dāng)時，且，解得：，當(dāng)時,成立，所以，命題“，不等式恒成立”是假命題所以的取值范圍為：或．故答案為：15.【答案】③④【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、值域、對稱性以及方程的根等知識確定正確答案.【詳解】的定義域為，，因為在上單調(diào)遞增，且恒成立，所以在上遞增，①錯誤.由于，，所以的值域為?1,1，故②錯誤；由于，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，③正確.由得構(gòu)造函數(shù)，在上單調(diào)遞增，g0所以在上存在唯一零點，也即方程有且只有一個實根，④正確.所以正確結(jié)論的序號是③④.故答案為：③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.【答案】（1），；（2）50【分析】（1）利用等比中項求出，再利用等差數(shù)列的通項公式以及前和公式即可求解.（2）討論值，判斷出數(shù)列從第幾項開始為正，再利用等差數(shù)列的前和公式即可求解.【小問1詳解】等差數(shù)列的公差為，，，，，成等比數(shù)列，則，解得，故等差數(shù)列的首項為，公差為.所以，.綜上所述，，；【小問2詳解】由（1）可得當(dāng)時，，當(dāng)時，..17.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合，求得，即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題意，得到不等式，即可求解；（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的最小值為，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)題意，二次函數(shù)滿足，可得函數(shù)的對稱軸為，因為函數(shù)的最小值為，可設(shè)，又因為，可得，解得，所以函數(shù)的解析式為.【小問2詳解】解：由函數(shù)，其對稱軸為，要使得函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則滿足，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.【小問3詳解】解：由函數(shù)，若在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，則由在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，設(shè)，其對稱軸為，則在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為，則有，所以實數(shù)m的取值范圍為．18.【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為48元.（3）1.5元（4）新能源汽車花費更少.【分析】（1）利用超幾何分布概率計算；（2）根據(jù)題意求概率，列分布列，再計算數(shù)學(xué)期望；（3）分別確定各種可能的費用以及概率即可求解；（4）計算兩種汽車的花費，比較大小即可求解.【小問1詳解】記事件品牌被選中，則.【小問2詳解】由題，在18：00-21：00有6個時間點，充電價格為1.0元/千瓦時，在21：00-23：00有4個時間點，充電價格為0.7元/千瓦時，在23：00，23：30有2個時間點，充電價格為0.4元/千瓦時，可能的取值有，則分布列如下：544536所以元.【小問3詳解】充電1千瓦時的費用為1.8元的概率為，充電1千瓦時的費用為1.5元的概率為，充電1千瓦時的費用為1.2元的概率為，所以充電1千瓦時的平均費用為元.【小問4詳解】若選擇新能源汽車，則需要的能源消耗支出為元，若選擇新燃油汽車，則需要的能源消耗支出為元，結(jié)合購車成本有，所以新能源汽車花費更少.19.【答案】（1）的單調(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，（2）1個（3）【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)與原函數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）結(jié)合(1)問的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，結(jié)合零點存在定理即可求解.（3）將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題，求出在區(qū)間上的值域即可求解.【小問1詳解】由題可得：，令，解得：或，令f'x<0令，解得：或；所以的單調(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，【小問2詳解】因為的單調(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，，由于，則在上無零點；由于，則在上無零點；由于，則在上存在唯一零點；綜上，函數(shù)在上存在唯一零點.【小問3詳解】若在區(qū)間上有兩個零點，則函數(shù)與在區(qū)間上有兩個交點；由(1)知，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；，，，所以函數(shù)與在區(qū)間上有兩個交點，則，即在區(qū)間上有兩個零點，則的范圍為20.【答案】（1）（2）（3）1【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)點斜式求解切線方程，（2）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定原函數(shù)單調(diào)性，即可由極值求解，（3）將問題轉(zhuǎn)化為對任意的，，構(gòu)造函數(shù)，即可結(jié)合分類討論求解函數(shù)的單調(diào)性求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，故，又，故y=fx在點處的切線方程為【小問2詳解】，故當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取極小值，故，故【小問3詳解】由（2）知，故，故對任意的，成立，只需要對任意的，，記，則，①時，此時，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取極小值也是最小值，故，不符合題意，②當(dāng)時，此時，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故，符合題意，③當(dāng)時，此時，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故，不符合題意，④當(dāng)時，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故，不符合題意，綜上可得，所以實數(shù)的最小值為12.21.【答案】（1）30；2是數(shù)列的4階系數(shù)．（2）26（3）26【分析】（1）根據(jù)階系數(shù)的定義進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)4階系數(shù)的定義列出相應(yīng)的等量關(guān)系，進(jìn)行求解；（3）根據(jù)階系數(shù)的定義建立方程，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到不等式組，進(jìn)行求解．【小問1詳解】因數(shù)列通項公式為，所以數(shù)列為等比數(shù)列，且，