專題1.5空間向量的應(yīng)用（一）用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系（舉一反三講義）數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性

專題1.5空間向量的應(yīng)用（一）：用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（舉一反三講義）【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1求平面的法向量】 2【題型2利用空間向量證明線線平行】 4【題型3利用空間向量證明線面平行】 6【題型4利用空間向量證明面面平行】 9【題型5利用空間向量證明線線垂直】 14【題型6利用空間向量證明線面垂直】 18【題型7利用空間向量證明面面垂直】 23【題型8平行、垂直綜合的向量證明】 28【題型9空間中位置關(guān)系的探索性問題】 32知識(shí)點(diǎn)1空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1．空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示(1)空間中點(diǎn)的位置向量：如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))來表示．我們把向量eq\o(OP,\s\up6(→))稱為點(diǎn)P的位置向量．(2)空間中直線的向量表示式：直線l的方向向量為a，且過點(diǎn)A.如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))②，①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．(3)平面的法向量定義：【注】一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量.已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量.【題型1求平面的法向量】【例1】（2425高二上·浙江杭州·期末）已知A(0,4,0),B(3,0,0),C(0,0,2)，則平面ABC的一個(gè)法向量可以為（

）A．(4,3,6) B．(?4,3,6) C．(4,?3,6) D．(4,3,?6)【解題思路】由題設(shè)AB=(3,?4,0)，AC【解答過程】由題設(shè)AB=(3,?4,0)，AC若m=(x,y,z)是平面ABC的一個(gè)法向量，則m取y=3，則m=(4,3,6)故選：A.【變式11】（2425高二上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）已知點(diǎn)A0,0,0、B0,0,1、C1,1,0在平面α內(nèi)，則下列向量為平面αA．n=0,1,0 C．n=1,1,0 【解題思路】設(shè)平面α的法向量為n=x,y,z，根據(jù)法向量的定義可得出n?【解答過程】設(shè)平面α的法向量為n=x,y,z，由題意可得AB=則n?AB=z=0n?故選：B.【變式12】（2425高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知點(diǎn)A(?1,?0,?0),?A．(0,0,0) B．(?2,2,2)C．(1,1,?1) D．(?1,?1,1)【解題思路】由法向量定義求出一個(gè)法向量，與它平行的向量即可．【解答過程】設(shè)法向量為m=(x,y,z)由已知AB=(1,0,1),則m?AB=x+z=0m?只有B選項(xiàng)中向量與m平行，可表示為?2m故選：B．【變式13】（2425高二上·陜西銅川·階段練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，以A．1,1,1 B．?1,1,1C．1,?1,1 D．1,1,?1【解題思路】根據(jù)法向量的求解方法求解即可.【解答過程】由題意，A11,0,1，B1,1,0∴A1C設(shè)n=x,y,z是平面則有A1C1?n=?x+y=0B∴n故選：A.知識(shí)點(diǎn)2用空間向量研究直線、平面的平行關(guān)系1．空間中直線、平面的平行(2)線面平行的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.2．利用向量證明線線平行的思路：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．3．證明線面平行問題的方法：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)．4．證明面面平行問題的方法：(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明．【題型2利用空間向量證明線線平行】【例2】（2425高二上·河南·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知A1,2,3，B?2,?1,6，C3,2,1，D4,3,0，則直線AB與CD的位置關(guān)系是（A．異面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直【解題思路】利用給定的坐標(biāo)，求出向量AB,【解答過程】由A1,2,3，B?2,?1,6，C3,2,1得AB=?3,?3,3，CD=1,1,?1，則而AC=(2,0,?2)，顯然向量AB,AC不共線，即點(diǎn)C所以直線AB與CD平行．故選：B.【變式21】（2425高二上·吉林松原·階段練習(xí)）已知Ax,1,2,B3,y,0，若直線l的方向向量v=?1,?2,2與直線ABA．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】求出AB，再利用AB//v，解得得到關(guān)于【解答過程】因?yàn)锳x,1,2,B3,y,0由已知AB//v，所以3?x?1=y?1?2=所以x+y=5.故選：D.【變式22】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點(diǎn)，N為DE的中點(diǎn)，DM=14DB,DA=DP=1,CD=2【解題思路】證法一：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DP所在直線分別為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出AP,證法二：由空間向量的線性表示可得答案.【解答過程】證法一：由題意知，直線DA,DC,DP兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DP所在直線分別為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則D0,0,0所以AP=(?1,0,1),所以MN=14AP，又證法二：由題意可得MN=14BD又M?AP，所以MN//

【變式23】（2425高二下·江蘇·課后作業(yè)）已知棱長為1的正方體OABC-?O1A1B1C【解題思路】由圖中的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，證明DE=GF，可得【解答過程】因?yàn)檎襟w的棱長為1，D,E,F,G分別為棱O1所以有D12,0,1，E1,1所以DE=12,12,0【題型3利用空間向量證明線面平行】【例3】（2425高二上·上?！るA段練習(xí)）若直線l的方向向量為r，平面α的法向量為n，能使l//α的是（

）A．r=1,?C．r=0,?【解題思路】根據(jù)給定條件，逐項(xiàng)計(jì)算r?【解答過程】對(duì)于A，r?對(duì)于B，r?n=1×0?2×3+3×2=0對(duì)于C，r?對(duì)于D，r?故選：B.【變式31】（2425高二上·四川遂寧·期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，AH=λHP，CG=GP，若GH∥平面EFCA．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a(a>0)，根據(jù)法向量的求法可求得平面EFC的法向量n，由HG⊥【解答過程】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP正方向?yàn)閤，設(shè)AD=a(a>0)，則A(0,0,0),P(0,0,a),C(a,a,0),E(0,a2,所以EF=(a2,?a2,0)設(shè)平面EFC的法向量n=(x,y,z)則EF?n=a2x?a2y=0由CG=GP可得G是PC的中點(diǎn)，由AH=λHP可得所以GH=因?yàn)镚H//平面EFC，所以GH?n=?故選：C.【變式32】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=22，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．求證：PQ//平面BCD【解題思路】以BD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，表示各點(diǎn)坐標(biāo)，利用AQ=3QC表示點(diǎn)Q坐標(biāo)，根據(jù)直線PQ的方向向量與平面BCD的法向量垂直可得結(jié)果.【解答過程】如圖，取BD的中點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OP所在射線分別為y軸、z軸的正半軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系Oxyz．由題意知，A(0,2,2)，B(0,?2設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,因?yàn)锳Q=3所以AQ=所以Q34因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，所以M(0,2因?yàn)镻為BM的中點(diǎn)，所以P0,0,1所以PQ=因?yàn)槠矫鍮CD的一個(gè)法向量為a=(0,0,1)所以PQ?因?yàn)镻Q?平面BCD，所以PQ//平面BCD．【變式33】（2425高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，在長方體ABCD?A1B(1)求平面ACD(2)線段B1C中點(diǎn)為點(diǎn)P，求證A1【解題思路】（1）以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)法向量與平面垂直即可求出法向量；（2）證明直線的方向向量與平面的法向量垂直即可得證.【解答過程】（1）如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A3,0,0故AC=設(shè)平面ACD1的法向量為則有n?AC=?3x+4y=0n?所以n=所以平面ACD1的法向量為（2）A13,0,2,故A1因?yàn)閚?所以n⊥又A1P?平面所以A1P//【題型4利用空間向量證明面面平行】【例4】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點(diǎn)．求證：(1)MN//平面PAD；(2)平面QMN//平面PAD．【解題思路】（1）由已知可證得AB,AD,AP兩兩垂直，所以以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明；（2）證明QN平行于平面，結(jié)合面面平行判定定理證明結(jié)論.【解答過程】（1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB,AD?平面ABCD，所以PA⊥AB,PA⊥AD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AB⊥AD，所以AB,AD,AP兩兩垂直，所以以A為原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)B(b,0,0)，D(0,d,0)，P(0,0,d).則C(b,d,0)，因?yàn)镸，N，Q分別是PC，AB，CD的中點(diǎn)，所以Mb2,d2所以MN=因?yàn)槠矫鍼AD的一個(gè)法向量為m=(1,0,0)所以MN?m=0又因?yàn)镸N?平面PAD，所以MN//平面PAD.（2）因?yàn)镼N=(0,?d,0)所以QN?m=0又QN?平面PAD，所以QN//平面PAD.又因?yàn)镸N∩QN=N，MN,QN?平面MNQ，所以平面MNQ//平面PAD.【變式41】（2025高二·全國·專題練習(xí)）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)，求證：平面EFG//平面PBC．【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量即可求解.【解答過程】因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0所以PB=(2,0,?2)，F(xiàn)E=(0,?1,0)，F(xiàn)G=(1,1,?1)設(shè)n1=(x則n1⊥FE，n1⊥令z1=1，則x1=1，設(shè)n2=(x由n2⊥PB，n2⊥令z2=1，則x2=1，所以n1//n2，所以平面【變式42】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA【解題思路】先根據(jù)直棱柱及DM⊥CD建立空間直角坐標(biāo)系由向量關(guān)系得出線線平行，再應(yīng)用面面平行判定定理得證．【解答過程】因?yàn)锳B=4，BC=CD=2，F(xiàn)是棱AB的中點(diǎn)，所以BF=BC=CF，所以△BCF為正三角形．因?yàn)锳BCD為等腰梯形，AB=4，BC=CD=2，所以∠BAD=∠ABC=60°．取AF的中點(diǎn)M，連接DM，則DM⊥AB，所以DM⊥CD．以D為原點(diǎn)，DM所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系

則D0,0,0，D10,0,2，A3,?1,0，F(xiàn)所以DD1=0,0,2，DA=所以DD1//CC1又因?yàn)镃C1?平面FCC1，DD1因?yàn)镈A//CF，CF?平面FCC1，DA?平面FCC1，所以又DD1∩DA=D，DD1,DA?平面【變式43】（2425高二·全國·課后作業(yè)）如圖，已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，(1)MN//平面C(2)平面MNP//平面C【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)正方體性質(zhì)可知DA為平面CC1D（2）證明DA也是平面MNP的一個(gè)法向量即可.【解答過程】（1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1的方向分別為x，y，設(shè)正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．

由正方體的性質(zhì)，知AD⊥平面CC所以DA=(2,0,0)為平面C由于MN=(0,1,?1)則MN?所以MN⊥又MN?平面CC所以MN//平面C（2）證明：因?yàn)镈A=(2,0,0)為平面C由于MP=(0,2,0)，MN則MP·即DA=(2,0,0)也是平面MNP所以平面MNP//平面C知識(shí)點(diǎn)3用空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系1．空間中直線、平面的垂直(2)線面垂直的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.2．證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．3．用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟：(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．4．證明面面垂直的兩種方法：(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．【題型5利用空間向量證明線線垂直】【例5】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CA．平行 B．垂直 C．異面垂直 D．異面不垂直【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解判斷即可.【解答過程】以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體ABCD?A則A12,0,2，M0,1,0，D∴A1M∴A1M又DN?平面DCC1D1，A1M?平面DCC∴直線A1M與故選：C．【變式51】（2425高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）如圖，在下列各正方體中，l為正方體的一條體對(duì)角線，M、N分別為所在棱的中點(diǎn)，則滿足MN⊥l的是（

）【解題思路】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷即得.【解答過程】在正方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，令棱長為2，體對(duì)角線l的端點(diǎn)為B,D對(duì)于A，B(2,2,0),D1(0,0,2),M(1,2,2),N(2,1,0)，直線l

MN=(1,?1,?2)，顯然MN?a=4≠0，直線對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，直線l的方向向量a=(2,2,?2)，M(0,1,2),N(2,0,1)

則MN?=(2,?1,?1),顯然MN?a=4≠0對(duì)于C，由選項(xiàng)A知，直線l的方向向量a=(2,2,?2)，M(0,2,1),N(1,0,0)

則MN=(1,?2,?1),顯然MN?a對(duì)于D，由選項(xiàng)A知，直線l的方向向量a=(2,2,?2)，M(2,0,1),N(1,2,0)

則MN=(?1,2,?1),顯然MN?a=4≠0，直線故選：C.【變式52】（2425高二上·北京·階段練習(xí)）如圖所示，MA⊥平面ABCD，底面ABCD邊長為1的正方形，MA=2，P是MC上一點(diǎn)，且CP=(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并求點(diǎn)P坐標(biāo)；(2)求證：MB⊥DP.【解題思路】（1）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由條件列式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算證明MB?【解答過程】（1）因?yàn)镸A⊥平面ABCD，且AB,AD?平面ABCD，所以，AM⊥AB,AM⊥AD，在正方形ABCD中，AB⊥AD，所以,AB,AD,AM兩兩垂直，如圖，以A為原點(diǎn)，AB,AD,AM方向?yàn)閤、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，因?yàn)榈酌鍭BCD邊長為1的正方形，MA=2，則C(1,1,0),M(0,0,2),B(1,0,0),D(0,1,0)，CM=(?1,?1,2)設(shè)P(x,y,z)，由CP=15解得x=45,y=（2）因?yàn)镸B=(1,0,?2),所以，MB?DP=所以，MB⊥DP.【變式53】（2425高二上·北京·期中）直三棱柱ABC?A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2(1)求BN的坐標(biāo)及BN的長；(2)求證：A1【解題思路】（1）根據(jù)坐標(biāo)系標(biāo)點(diǎn)，即可得向量坐標(biāo)和模長；（2）由（1）求A1【解答過程】（1）由題意可知：A1,0,0則BN=1,?1,1，可得所以BN的長為3.（2）由（1）可得：A1因?yàn)锳1B?【題型6利用空間向量證明線面垂直】【例6】（2425高二上·江蘇無錫·期中）已知u=3,a+b,a?ba,b∈R是直線l的方向向量，n=1,2,3是平面α的法向量，若l⊥α，則A．152 B．?32 C．6【解題思路】分析可知，u//n，根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于a、b的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出【解答過程】因?yàn)閡=3,a+b,a?ba,b∈R是直線l的方向向量，n=1,2,3則u//n，則31=a+b2=因此，a+2b=15故選：D.【變式61】（2425高二下·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知直線l是正方體體對(duì)角線所在直線，P,Q,R為其對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則下列正方體的圖形中滿足l⊥平面PQR的是（

）A．（1）（2） B．（1）（3）C．（1）（4） D．（2）（4）【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來判斷出正確答案.【解答過程】設(shè)正方體的邊長為2，對(duì)于圖（1），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P2,1,0，Q2,2,1，R1,2,0，直線lPQ=0,1,1，因?yàn)閙?PQ=0所以l⊥PR，l⊥PQ，PR∩PQ=P，PR,PQ?平面PQR，所以l⊥平面PQR，故圖（1）正確；對(duì)于圖（2），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P2,1,0，Q0,1,2，R1,2,0，直線l則PQ=?2,0,2，因?yàn)閙?PQ=?4≠0所以l與平面PQR不垂直，故圖（2）錯(cuò)誤；對(duì)于圖（3），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P2,1,0，Q1,0,2，R0,2,1，PR直線l的方向向量為m=1,1,1，因?yàn)閙?所以l⊥PR，l⊥PQ，PR∩PQ=P，PR,PQ?平面PQR，所以l⊥平面PQR，故圖（3）正確；對(duì)于圖（4），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P2,1,0，R1,2,0，Q0,0,1直線l的方向向量為m=1,1,1，因?yàn)樗詌與PQ不垂直，所以l與平面PQR不垂直，故圖（4）正確.綜上，正確的有圖（1）（3）.故選：B.【變式62】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在直四棱柱ADD1A1?BCC1B1中，底面ADD1【解題思路】以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出FG和平面A1BE的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，可得FG與平面A1BE的法向量共線，則得直線【解答過程】由題意知，以A為原點(diǎn)，AB,AD,AA1所在直線分別為

則A10,0,1，BE=設(shè)平面A1BE的一個(gè)法向量為則BE?n=0令x=1，則n=所以FG=12n，故直線【變式63】（2425高二下·全國·課堂例題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E為PC的中點(diǎn)，EF⊥BP于點(diǎn)F．求證：PB⊥平面EFD．【解題思路】DA，DC，DP兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，法一：由PB?DE=0，得PB⊥DE，又由PB⊥EF，由線面垂直的判定證明PB⊥平面EFD；法二：設(shè)Fx,y,z，由EF⊥PB得EF?PB=0，結(jié)合PF//PB，求得F【解答過程】因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DA,DC?平面ABCD，所以PD⊥DA,PD⊥DC，又因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以DA⊥DC，所以DA，DC，DP兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，如圖，

設(shè)DC=PD=1，則P0,0,1，A1,0,0，D0,0,0，B所以PB=1,1,?1，DE=法一：因?yàn)镻B?DE=1,1,?1?又因?yàn)镻B⊥EF，EF∩DE=E，EF,DE?平面EFD，所以PB⊥平面EFD．法二：設(shè)Fx,y,z，則PF=x,y,z?1因?yàn)镋F⊥PB，所以即x+y?z=0．①又因?yàn)镻F//PB，可設(shè)PF=λPB0≤λ≤1，所以x=λ由①②可知，x=13，y=13，設(shè)n=x1則有n?EF=0n?DE=0，即1所以PB//n，所以PB⊥平面【題型7利用空間向量證明面面垂直】【例7】（2425高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖所示，△ABC是一個(gè)正三角形，EC⊥平面ABC，BD//CE，且CE=CA=2BD=2(1)求平面DEA的法向量；(2)求證：平面DEA⊥平面ECA．【解題思路】（1）以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)法向量與平面垂直求出法向量即可；（2）證明兩平面的法向量垂直即可.【解答過程】（1）因?yàn)镋C⊥平面ABC，CB?平面ABC，所以EC⊥CB，以C為原點(diǎn)，CB,CE所在的直線分別為y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0),A(3所以EA=(設(shè)平面DEA的一個(gè)法向量是n=(a,b,c)則n→?EA=3所以平面DEA的一個(gè)法向量為(3（2）設(shè)平面ECA的一個(gè)法向量是m=(x,y,z)則m?EA=3x+y?2z=0因?yàn)閙?n→所以平面DEA⊥平面ECA.【變式71】（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知四棱錐P?ABCD底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，側(cè)面PBC⊥底面(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.【解題思路】（1）先證明PO⊥底面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算BD?（2）取PA的中點(diǎn)M，連接DM，利用向量法先證明DM⊥平面PAB，從而可得面面垂直.【解答過程】（1）取BC的中點(diǎn)O，連接PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC為等邊三角形，平面PBC∩底面ABCD=BC，PO?平面PBC，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.不妨設(shè)CD=1，則AB=BC=2,PO=3∴A1,?2,0∴BD=?2,?1,0，∵BD?∴PA⊥BD，∴（2）取PA的中點(diǎn)M，連接DM，則M1∵DM=32,0,3∴DM⊥PB，即∵DM?∴DM⊥PA，即又∵PA∩PB=P,PA,∴DM⊥平面PAB.∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.【變式72】（2425高二上·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長為2，E為棱(1)求棱CC(2)證明：平面BCD1⊥【解題思路】（1）根據(jù)正四棱柱ABCD?A1B1C1D1，可得EC⊥平面（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面BCD1與平面【解答過程】（1）因?yàn)檎睦庵鵄BCD?A1B1C且四邊形BCFB1為直角梯形，設(shè)所以VE?BCF解得?=22，即C（2）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，直線DA,DC,DD1分別為由題意可得C0,2,0所以CB=設(shè)平面BCD1的法向量為則n?CB=2x1設(shè)平面B1EF的法向量為則m?EF=y2因?yàn)閚?所以平面BCD1⊥【變式73】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)面ABB1(1)求EF?(2)用向量法證明：平面BEA⊥平面A1【解題思路】（1）由題意可得，A1B1⊥BB1,A（2）通過證明平面BEA與平面A1B1【解答過程】（1）在直三棱柱ABC?A1B又BE⊥A1B所以A1B1⊥平面建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B1則B0,0,2所以EF=所以EF?（2）由（1）知A2,0,2AE=設(shè)平面BEA的法向量為n=x1,y則BE?n=0AE?n=0A1B令z2=1，則m=所以平面BEA⊥平面A1【題型8平行、垂直綜合的向量證明】【例8】（2425高二上·河南·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1DA．BD1⊥平面B1EF C．A1C1∥平面B1EF【解題思路】以DA,DC,【解答過程】

以DA,DC,則B1所以EF=?1,1,0,設(shè)平面B1EF的一個(gè)法向量為m=取x=2，則m=(2,2,?1)因?yàn)?22=?22≠2?1，所以BD1因?yàn)?2=22≠0?1，所以DB因?yàn)锳1C1?m=0，且線在面外，所以因?yàn)镈A1?m=2≠0故選：C.【變式81】（2025·上海浦東新·三模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，A．MN與CC1垂直 B．MN與平面C．MN與DC平行 D．MN與平面BDA【解題思路】以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，利用向量法逐一判斷即可.【解答過程】如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，則AM1,2,1對(duì)于A，MN=則MN?CC對(duì)于B，AC=?2,2,0，則MN?又AC∩CC1=C,AC,C所以MN⊥平面ACC對(duì)于C，DC=若MN與DC平行，則存在唯一實(shí)數(shù)λ使得DC=λ所以0=?λ2=?λ所以MN與DC不平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，DB=設(shè)平面BDA1的法向量則有n?DB=2x+2y=0因?yàn)镸N?n=?1+1+0=0，且MN?所以MN//平面BD故選：C.【變式82】（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)用向量法證明：平面A1BD//平面(2)用向量法證明：MN⊥平面A1【解題思路】（1）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，表示各點(diǎn)坐標(biāo)，求兩個(gè)平面的法向量，利用法向量平行可證平面平行.（2）求直線MN的方向向量和平面的法向量，利用向量平行可得線面垂直.【解答過程】（1）如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則A12,0,2，B2,2,0，B12,2,2，C故DA1=2,0,2，DB=設(shè)平面A1BD的法向量為則DA1?n1=0DB設(shè)平面B1CD則B1C?n2=0B所以n1=n2，即n1（2）由M，N是線段AB，B1C中點(diǎn)得，M2,1,0所以MN=由MN=?n→所以MN⊥平面A1【變式83】（2425高二上·四川綿陽·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面PAD；(2)平面PCD⊥平面PBC．【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，先通過線面垂直的判定定理說明向量AB為平面PAD的一個(gè)法向量，再利用BE?（2）分別求出平面PCD和平面PBC的法向量，利用法向量垂直可證得面面垂直.【解答過程】（1）依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則B1,0,0，C2,2,0，D0,2,0由E為棱PC的中點(diǎn)，得E1,1,1因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA,AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以向量AB=1,0,0為平面PAD的一個(gè)法向量，而所以BE⊥AB，又BE?平面PAD，所以BE//平面PAD．（2）設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n=x,y,z則n?PD不妨令y=1，可得n=0,1,1為平面設(shè)平面PBC的法向量m=x,y,z，又向量PB=則m?PB=0不妨令x=2，可得m=2,?1,1為平面因?yàn)閚?m=所以平面PBC⊥平面PCD．【題型9空間中位置關(guān)系的探索性問題】【例9】（2025高三下·全國·專題練習(xí)）如圖，等邊三角形ABC與直角梯形ABDE所在的平面垂直，BD∥AE,BD=2AE,AE⊥AB．(1)若F為CD的中點(diǎn)，求證：EF⊥平面BCD；(2)在線段AC上是否存在點(diǎn)N，使CD//平面BEN?若存在，求ANNC【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷位置關(guān)系；（2）設(shè)AN=λNC，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，求出平面【解答過程】（1）設(shè)ED的中點(diǎn)為H，AB的中點(diǎn)為O，連接OH，OC，由題意知OH//AE．因?yàn)槠矫鍭BDE⊥平面ABC，AE?平面ABDE，AE⊥AB，平面ABDE∩平面ABC=AB，所以AE⊥平面ABC，所以HO⊥平面ABC，則HO⊥AB，HO⊥OC，又△ABC為等邊三角形，所以O(shè)C⊥AB．故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OC，OB，OH分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz．設(shè)AE=1,AB=2a，則A(0,?a,0),B(0,a,0),C(3∴EF=3∴EF?BC所以EF⊥BC,EF⊥BD.又因?yàn)锽C∩BD=B,BC,BD?平面BCD，所以EF⊥平面BCD．（2）設(shè)存在點(diǎn)N，使CD//平面BEN，設(shè)AN=λNC，Nm,n,pN3所以BN=由（1）知，BE=(0,?2a,1)，CD設(shè)平面BEN的法向量為n=(x,y,z)由n?得x=λ+23λyz=2ay由CD//平面BEN，得n⊥所以n?CD=所以當(dāng)ANNC=12時(shí)，【變式91】（2425高二上·貴州·期中）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=CB=12AA1(1)設(shè)平面A1BQ∩平面ABC=l，若P為A1(2)設(shè)BP=λBA1，問線段A1B上是否存在點(diǎn)P，使得【解題思路】（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為E，連接PE,PQ,CE，易證四邊形PECQ為平行四邊形，可得PQ//EC，進(jìn)而得到PQ//（2）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量及AP⊥平面A1【解答過程】（1）證明：設(shè)AB的中點(diǎn)為E，連接PE,PQ,CE，因?yàn)镻為A1B的中點(diǎn)，Q為所以PE//A1A，在直三棱柱ABC?A1B1C所以A1A//所以四邊形PECQ為平行四邊形，則PQ//EC，又PQ?平面ABC，EC?平面所以PQ//平面ABC又平面A1BQ∩平面ABC=l，PQ?平面所以PQ//（2）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，故可以C為原點(diǎn)