第05講角平分線的性質(zhì)（3大知識點9大典例變式訓(xùn)練過關(guān)檢測）-（暑期銜接課堂）講義

第05講角平分線的性質(zhì)（3大知識點+9大典例+變式訓(xùn)練+過關(guān)檢測）典型例題一根據(jù)角平分線的性質(zhì)求角度典型例題二根據(jù)角平分線的性質(zhì)求長度典型例題三根據(jù)角平分線的性質(zhì)求面積典型例題四角平分線的判定定理典型例題五角平分線的性質(zhì)定理典型例題六角平分線的判定與性質(zhì)綜合應(yīng)用典型例題七角平分線的判定與性質(zhì)多結(jié)論問題典型例題八角平分線的常見輔助線添加典型例題九角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用知識點01角平分線的定義①定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等角的射線，叫做這個角的角平分線。②表示：若射線OC是∠AOB的角平分線，則∠AOC=∠BOC=(1/2)∠AOB。記作：OC平分∠AOB?！炯磿r訓(xùn)練】A． B．C． D．【答案】B故選：B．【即時訓(xùn)練】【答案】13故答案為：13．知識點02三角形中的角平分線定義：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。三角形有三條角平分線。注意：三角形的角平分線是線段，而角的平分線是射線，要注意區(qū)分。重要性質(zhì)：三條交于一點：三角形的三條角平分線相交于一點，這個點叫做三角形的內(nèi)心(Incenter)。內(nèi)心的性質(zhì)：內(nèi)心到三角形三邊的距離都相等（根據(jù)角平分線性質(zhì)定理）。因此，內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心?；緫?yīng)用：利用角平分線性質(zhì)定理和逆定理，可以在三角形中證明線段相等、角相等，或者確定某個點是否在角平分線上?！炯磿r訓(xùn)練】【答案】B【分析】本題主要考查三角形的面積、三角形的角平分線、中線和高等知識點，掌握三角形的高線、角平分線、中線的定義及三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．分別根據(jù)三角形的高線、角平分線、中線的定義及三角形面積公式判斷即可．正確，不符合題意；錯誤，符合題意；故選：B．【即時訓(xùn)練】【答案】①③④故答案為：①③④．知識點03角平分線的性質(zhì)與判定角的平分線的性質(zhì)：角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.2、角的平分線的判定：角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB3、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖步驟：（1）以O(shè)為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.（3）畫射線OC，射線OC即為所求.4、三角形的角平分線：三角形的三個內(nèi)角的角平分線交于一點，且到三邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)別與聯(lián)系：角平分線的性質(zhì)定理中的題設(shè)“在角的平分線上的點”，這個點不是一個點，實際上是指角平分線上的任意一點，或者說是角平分線上的所有點都具有“到角兩邊的距離相等”的性質(zhì)。角平分線的性質(zhì)定理與判定定理是兩個互逆定理，是兩個互逆的真命題。要從題設(shè)、條件與結(jié)論的關(guān)系上角平分線的性質(zhì)定理與判定定理在應(yīng)用時的作用不同。性質(zhì)定理的結(jié)論是確定點到角的兩邊的距離相等的問題。判定定理的結(jié)論是判定點是否在角平分線上的問題。【即時訓(xùn)練】【答案】D故選：D．【即時訓(xùn)練】

【答案】/

故答案為；．【典型例題一根據(jù)角平分線的性質(zhì)求角度】【答案】D故選：D．【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．故選：．【分析】根據(jù)在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上解答．結(jié)合垂直定義以及四邊形內(nèi)角和360度，進行列式計算即可．本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟記在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．

當點Q在點H的右側(cè)時，(2)求的長．(2)【分析】本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)；【答案】(1)見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理：【答案】(1)6(2)【分析】本題考查角平分線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，利用分類討論的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵．（3）根據(jù)題意可分為三種情況，對三種情況分類討論即可得到本題答案．∴點D到和的距離相等，故答案為：6；（3）解：如圖1，，（2）關(guān)于“奇妙互余三角形”，有下列結(jié)論：③“奇妙互余三角形”一定是鈍角三角形．其中，結(jié)論正確的有______．（填寫序號）【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，角平分線性質(zhì)，“奇妙互余三角形”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．（2）根據(jù)“奇妙互余三角形”的概念，對結(jié)論①②③進行辨析，即可解題；故①正確；故②錯誤；三角形中剩下的內(nèi)角大于，“奇妙互余三角形”一定是鈍角三角形．故③正確；綜上所述，正確的有①③，故答案為：①③．分以下兩種情況討論：【典型例題二根據(jù)角平分線的性質(zhì)求長度】【答案】B故選：B．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線段的垂直平分線定理，角平分線性質(zhì)等知識點，添加適當?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，故選：A．③連接．根據(jù)以上作圖，若點P到直線的距離為1，則線段的長為．【答案】故答案為：．【答案】(1)求證：垂直平分；【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定，掌握以上知識的綜合運用是關(guān)鍵．∴垂直平分．3．（2425八年級上·浙江嘉興·期中）王林根據(jù)教材角平分儀模型進行了相關(guān)探究，整理如下．標題角平分儀的相關(guān)應(yīng)用探究素材圖示任務(wù)【分析】本題主要考查三角形全等的判定方法及角平分線的性質(zhì)，能夠熟練運用角平分線的性質(zhì)得到高的長度是解題關(guān)鍵．4．（2025·浙江·模擬預(yù)測）小明和小亮在復(fù)習“三角形的角平分線”的有關(guān)定理時，產(chǎn)生了探究“三角形的角平分線分對邊所得的兩條線段和三角形的另外兩邊的關(guān)系”這一想法，于是決定一起來研究：特例感知猜想驗證（2）兩人猜想：三角形的一個角的平分線將其對邊分為兩段，這兩條線段與該角的兩邊對應(yīng)成比例．于是給出命題：合作分析：兩人發(fā)現(xiàn)結(jié)論是一個比例式，認為可以嘗試用相似三角形來證明，于是便過點A作的平行線，交的延長線于點P，請畫出圖形，并幫他們寫出證明過程．知識應(yīng)用②求的長．【答案】（1），，，=；（2）見解析；（3）①12；②7【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，會利用相似比計算幾何計算；本題證明了角平分線性質(zhì)定理和此定理的運用．故答案為：；；；=；（2）證明：如圖所示．設(shè)與的交點為G．【典型例題三根據(jù)角平分線的性質(zhì)求面積】【答案】B故選：B．A．10 B．15 C．20 D．40【答案】C故選：C．

【答案】24【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)和割補法求三角形面積．熟練掌握角平分線的點到角兩邊的距離相等，是解題的關(guān)鍵．

故答案為：24．【答案】7【分析】本題主要考查了作圖﹣基本作圖、角平分線的性質(zhì)等知識點，掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．故答案為：7．【答案】【答案】(1)見詳解(2)32【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2）解：連接并延長交于H，連接，(2)當時，點P運動到的角平分線上；【答案】(1)矩形(2)8【分析】本題考查矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、角平分線定理、三角形的面積、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識．故答案為：矩形．故答案為：；（3）根據(jù)題意分3種情況討論：①當點在上運動時，②當點在上運動時，③當點在上運動時，①當點在上，且點到與距離一樣時，點到邊的距離為，點到邊的距離也為，【典型例題四角平分線的判定定理】A． B． C． D．【答案】C故選：C．

【答案】A是兩把完全相同的長方形直尺，故選：A．

【答案】【分析】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)和判定，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識點是解題關(guān)鍵．故答案為：．【答案】在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上【詳解】兩把完全相同的長方形直尺寬度相同，故答案為：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．【點睛】本題考查了角平分線的判定，熟知角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【答案】的長為

【答案】見解析3．（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測）定義：對角互補且有一組鄰邊相等的四邊形稱為奇異四邊形．【答案】(1)見解析(2)28【點睛】本題主要考查了新定義“奇異四邊形”、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．4．（2425八年級上·浙江溫州·期末）閱讀下面材料，完成相應(yīng)任務(wù)：尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖是指用無刻度的直尺和圓規(guī)進行作圖．無刻度的直尺不具有度量長度的功能，它用來作經(jīng)過兩點的直線、射線或線段、圓規(guī)用來畫弧、圓規(guī)的兩腳還可以截取線段或兩點之間的長度．尺規(guī)作圖的關(guān)鍵是確定線與線，線與弧，弧與弧的交點，從而構(gòu)造出符合要求的圖形．數(shù)學(xué)課上，在用尺規(guī)作角的平分線時，同學(xué)們自主探究出很多不同于教材的作法．趙老師因勢利導(dǎo)，引導(dǎo)同學(xué)們對各種作法進行研究，感受它們的異同并進行了拓展訓(xùn)練．任務(wù)二：根據(jù)小華的思路完成下列問題：【答案】任務(wù)一：見解析；任務(wù)二：（1）見解析；（2）13【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定定理、全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．任務(wù)二：【典型例題五角平分線的性質(zhì)定理】A．2 B． C． D．不能確定【答案】B故選：B．【答案】A【詳解】解：如圖：∴點H到、的距離相等，∵是邊上的中線，故選：A．【答案】2故答案為：2．

【答案】

∵點為邊的中點，故答案為：．【答案】見解析【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．【答案】(1)見解析(2)3（2）根據(jù)三角形的面積公式即可解決問題．(2)27【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的兩個銳角互余、角平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵；4．（2025·浙江·模擬預(yù)測）在學(xué)習了三角形全等和等腰三角形的相關(guān)知識后，小明同學(xué)進行了更深入的研究，他發(fā)現(xiàn)，三角形一個角的角平分線上的點，如果滿足到另外兩個頂點距離相等，這個三角形有可能是等腰三角形．其解決思路是利用角平分線的性質(zhì)和全等得出結(jié)論．請根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：

∴①，∴④；【答案】(1)見解析【分析】（1）根垂直平分線的作法求解即可；【詳解】（1）如圖所示，

證明如下：如圖所示，當點D在下方時，

如圖所示，當點D在延長線上時，

【點睛】此題考查了尺規(guī)作垂線，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等角對等邊和等邊對等角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．【典型例題六角平分線的判定與性質(zhì)綜合應(yīng)用】A． B． C． D．【答案】C故選：C．【答案】B故選：B．【答案】2故答案為：2．【答案】6故答案為：6．【點睛】本題考查了垂線的基本作圖，角的平分線，直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握作圖與三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【答案】見解析【答案】見解析(2)成立，理由見解析【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可作出判斷；（2）解：成立，理由如下：(1)求證：是的切線；【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，角平分線的性質(zhì)，熟知菱形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵；∵與相切于點，∴點H在上，即是的半徑，∴是的切線；（2）解：如圖所示，連接，∵與相切于點，【典型例題七角平分線的判定與性質(zhì)多結(jié)論問題】【答案】B【分析】本題可根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，對每個選項逐一進行分析判斷．本題主要考查平行線的性質(zhì)（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）、角平分線的定義以及三角形的性質(zhì)（等角對等邊、三邊關(guān)系）．解題的關(guān)鍵在于熟練運用這些性質(zhì)，通過角與角之間的等量代換，以及邊與邊關(guān)系的推導(dǎo)，對每個選項進行準確判斷．【詳解】解：選項A：選項C：故選：B．②點D到三邊的距離相等；上述結(jié)論正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D故①是正確的；則點D到三邊的距離相等；故②是正確的；故③是正確的；∵點D到的距離為n，故④是正確的；故選：D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等角對等邊，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【答案】①②④【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形面積，平行線的判定，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．故④正確；故①②正確；不一定平行，故③不一定正確；綜上，一定正確的結(jié)論是①②④，故答案為：①②④．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【答案】①②④【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和以及角平分線的性質(zhì)，根據(jù)平分線的定義得證①是正確的；運用三角形內(nèi)角和的性質(zhì)列式換算，得證②是正確的；根據(jù)等面積法以及角平分線的性質(zhì)得出④是正確的，據(jù)此即可作答．故①是正確的；故②是正確的；故③是錯誤的；故④是正確的；故答案為：①②④【答案】與互相垂直，理由見解析【詳解】解：與互相垂，理由如下：∴是線段的垂直平分線，∴與互相垂直，（2）【實驗發(fā)現(xiàn)】角的平分線上的點到角的兩邊的距離_______．【答案】（1）見詳解（2）相等（3）3【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形；利用測量法解決問題．（2）由（1）的結(jié)論，即可作答．（3）根據(jù)垂線段最短，作圖，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)，即可作答．本題考查作圖基本作圖，垂線段最短，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．【詳解】解：（1）如圖所示；

（2）由（1）得：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等；故答案為：相等．

則的最小值為線段的長度，∴的最小值為，故答案為：．3．（2425八年級上·河北石家莊·期末）【課本再現(xiàn)】在冀教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第十七章《特殊三角形》中，我們學(xué)習了等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（簡稱“三線合一”）．【定理應(yīng)用】請利用上面等腰三角形的性質(zhì)定理，解決下面問題：【答案】(1)見解析(2)③【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．∴是底邊上的中線，底邊上的高線，故答案為：③．【情境建模】（1）我們知道“等腰三角形底邊上的高線、中線和頂角平分線重合”，簡稱“三線合一”．小明嘗試著逆向思考：【理解內(nèi)化】【拓展應(yīng)用】【答案】（1）證明過程見詳解；（2）證明過程見詳解；（2）證明：如圖2，延長交于點，（3）解：延長交于點，延長交于點，如圖3，【點睛】本題是三角形綜合題，考查了勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．【典型例題八角平分線的常見輔助線添加】A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)輔助線構(gòu)造的條件和三角形全等的判定方法結(jié)合在一起判斷求解．∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC，∴①作法正確；∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC，∴②作法正確；∵取中點，連接，無法證明△ABD≌△ACD，∴③作法不正確；∵作的垂直平分線無法證明點A在其上，∴④作法不正確；故選B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)證明，三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．【答案】C【詳解】解：延長AP交BC于點C，如圖所示，，故選C．【點睛】本題考查了三角形的角平分線和全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運用三角形的角平分線和全等三角形的判定．【例3】（2025八年級上·浙江溫州·專題練習）如圖，D是△ABC的邊BC上的一點，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分線分別與AC、AD相交于點E、F，則圖形中共有對相似三角形．（不添加任何輔助線）

【答案】3【分析】由已知條件和有兩個角對應(yīng)相等的三角形相似即可完成．【詳解】在△ABC與△DBA中，∵∠ABD＝∠ABD，∠BAD＝∠C，∴△ABC∽△DBA，在△ABF與△CBE中，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBE，又∠BAF＝∠BCE，∴△ABF∽△CBE．同理可證得：△ABE∽△DBF，所以圖形中共有3對相似三角形．故答案為：3．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，角平分線的定義，根據(jù)條件尋找相似三角形是本題的難點．可設(shè)AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，由三角形三邊關(guān)系可知，【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【分析】本題綜合考查了角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；2．（2425八年級上·浙江湖州·期中）綜合與實踐（2）如圖2，請你回答老師的提問，并證明．（3）請你解答興趣小組提出的問題．【答案】（1）見解析；（2）成立，見解析；（3）2【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，并熟練應(yīng)用角平分線的性質(zhì)解決問題．（2）成立．

延長交于點F．[探究]

【答案】探究一：角的平分線上的點到角的兩邊距離相等；探究二：AD＝CD；理由見解析；[結(jié)論]：AD＝CD；[拓展]：見解析．【分析】探究一：根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答；[理論]根據(jù)探究結(jié)果得到答案；理由是：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，故答案為：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（理解應(yīng)用）①圖中全等三角形有________對．（不添加輔助線）②猜想，，之間的關(guān)系為________．（拓展延伸）【分析】（1）PE=PF，利用條件證明△PEM≌△PFN即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OP=PG=PH，證明△GPE≌△OPF（ASA），△EPO≌△FPH，△GPO≌△OPH，得到答案；②根據(jù)勾股定理，全等三角形的性質(zhì)解答；（3）作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，證明△PGE≌△PHF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【詳解】（1）如圖2，過點P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵OC是∠AOB的平分線，∴PM=PN，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE=PF，故答案為：=；（2）①∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=45°，∵GH⊥OC，∴∠OGH=∠OHG=45°，∴OP=PG=PH，∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，∴∠GPE=∠OPF，在△GPE和△OPF中，∴△GPE≌△OPF（ASA），同理可證明△EPO≌△FPH，∴△GPO≌△OPH（SAS），∴全等三角形有3對，故答案為：3；②GE2+FH2=EF2，理由如下：∵△GPE≌△OPF，∴GE=OF，∵△EPO≌△FPH，∴FH=OE，在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，∴GE2+FH2=EF2，故答案為：GE2+FH2=EF2；（4）如圖，作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H，在△OPG和△OPH中，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH，∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=120°，∵∠EPF=120°，∴∠GPH=∠EPF，∴∠GPE=∠FPH，在△PGE和△PHF中，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF．【點睛】本題考查幾何變換綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．【典型例題九角平分線性質(zhì)的實際應(yīng)用】【例1】（2425八年級上·浙江嘉興·階段練習）如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（

）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【答案】D【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握其概念，作圖分析是關(guān)鍵．根據(jù)角平分線上點到角兩邊的距離相等，作圖分析即可求解．【詳解】解：如圖所示，∴可供選擇的地址有4個，故選：D．【例2】（2425八年級上·浙江溫州·期中）如圖，是一塊三角形草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息．若要使涼亭到草坪三條邊的距離都相等，則涼亭應(yīng)建在三角形草坪（

）A．三條角平分線的交點處 B．三條中線的交點處C．三條高線的交點處 D．以上都不對【答案】A【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：因為角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以涼亭的位置應(yīng)為三角形的三條角平分線的交點．故選：A．【答案】36【詳解】解：如圖，過點分別作、的垂線交、于點、點，連接，故答案為：．

【答案】【分析】根據(jù)題意可得，點是角平分線的交點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得點到三邊的距離都相等，設(shè)點到三邊的距離為，根據(jù)三角形面積的計算方法即可求解．【詳解】解：∵點落在邊上的點處，折痕所在的直線為，∵點落在邊上的點處，折痕所在的直線為，∴點是角平分線的交點，如圖所示，連接，

∴點到三邊的距離都相等，設(shè)點到三邊的距離為，故答案為：．【點睛】本題主要考查三角形的折疊，角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握角平分線的交點到角兩邊的距離相等，幾何圖形面積的計算方法等知識是解題的關(guān)鍵．1．（2425八年級上·浙江寧波·階段練習）如圖，某人有一塊三角形的土地，已知其面積為6m2，通過測量可知周長為12m，I為ABC的三條角平分線交點，求點I到每條邊的距離？【答案】1m【分析】先連接角平分線交點與各個定點，然后過交點作各個邊的高，根據(jù)三角形的面積和周長來求交點到各個邊的距離．∴ID=IE=IF∴ID=IE=IF=1m即點I到每條邊的距離為1m．【點睛】本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形的面積聯(lián)系三角形的周長求得高．2．（2425八年級上·浙江杭州·階段練習）太和中學(xué)校園內(nèi)有一塊直角三角形(RtABC)空地，如圖所示，園藝師傅以角平分線AD為界，在其兩側(cè)分別種上了不同的花草，在ABD區(qū)域內(nèi)種植了月季花，在△ACD區(qū)域內(nèi)種植了牡丹花，并量得兩直角邊AB＝10m，AC＝6m，分別求月季花與牡丹花兩種花草的種植面積．【答案】，【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，理解角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）求證：點到三邊、、所在直線的距離相等；【答案】（1）證明見解析；（2）∠DAC=50°．即點到三邊、、所在直線的距離相等，【點睛】本題考查了角平分線的定義及性質(zhì)，以及外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等．①判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（3）①與相平行，【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和、角平分線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)的問題，主要用等量代換的思想，屬中檔題.1．（2425八年級上·浙江麗水·期中）下列命題中，真命題的個數(shù)為（

）①三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角；②角平分線所在的直線是這個角的對稱軸；③兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等；④三角形三個內(nèi)角平分線的交點，到三角形三邊的距離相等．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了命題與定理．根據(jù)三角形外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)等進行判斷即可．【詳解】解：①三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角，是真命題；②角平分線所在的直線是這個角的對稱軸，是真命題；③兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，故原命題是假命題；④三角形三個內(nèi)角平分線的交點，到三角形三邊的距離相等，是真命題；真命題有3個，故選：C．2．（2425八年級上·浙江金華·期中）校園的一角如圖所示，其中線段，，表示圍墻，圍墻內(nèi)是學(xué)生的一個活動區(qū)域，小明想在圖中的活動區(qū)域內(nèi)找到一點P，使得點P到三面圍墻的距離都相等，那么這個點P的位置是（）A．線段、的交點C．線段、垂直平分線的交點D．線段、垂直平分線的交點【答案】B【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)定理．角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，由此即可判斷．【詳解】解：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等，故選：B．3．（2425八年級上·浙江杭州·期中）如圖，，，是三條相互交叉的公路，現(xiàn)要在三條公路圍成的三角形區(qū)域內(nèi)修建一座加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應(yīng)修建在（

）【答案】A【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵加油站在三條公路圍成的平地上且到三條公路的距離相等，故選：A【答案】C【分析】此題主要考查角平分線的判定，平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握角平分線的判定定理：到角兩邊距離相等的點在這角的平分線上．故選：C．A．三條中線的交點 B．三條角平分線的交點C．三條高的交點 D．三條邊的垂直平分線的交點【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的判定定理等知識點，掌握平行線上的兩點距離相等成為解題的關(guān)鍵．∴點O為三條角平分線的交點．故選B．6．（2425八年級上·浙江紹興·期中）命題“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上”是（選填“真命題”或“假命題”）．【答案】真命題【分