第02講函數(shù)的單調(diào)性與最值（七大題型五年真題）

第02講函數(shù)的單調(diào)性與最值復(fù)習(xí)目標(biāo)1.借助函數(shù)圖像，會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值；2.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用；3.會(huì)求函數(shù)的值域（最值）.考情分析（五年真題（2025年2021年）考點(diǎn)分布）考題示例考點(diǎn)分析考情分析2024年全國(guó)Ⅱ卷利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)不等式恒成立高考對(duì)單調(diào)性的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．高考在本節(jié)內(nèi)容上無(wú)論試題怎樣變化，我們只要把握好導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具這一點(diǎn)，將函數(shù)的單調(diào)性本質(zhì)問(wèn)題利用圖像直觀明了地展示出來(lái)，其余的就是具體問(wèn)題的轉(zhuǎn)化了。2024年全國(guó)Ⅰ卷根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)2023年全國(guó)Ⅰ卷根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍2023年北京卷判斷函數(shù)的單調(diào)性2023年北京卷分段函數(shù)的單調(diào)性和最值2022年北京卷分段函數(shù)的最值2021年北京卷充分條件和必要條件的判斷、函數(shù)的單調(diào)性與最值必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．(3)函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足條件(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值2.單調(diào)性的常見(jiàn)運(yùn)算單調(diào)性的運(yùn)算①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導(dǎo)數(shù)）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性必考題型精講精練題型一：?jiǎn)握{(diào)性的定義及判斷命題點(diǎn)1：函數(shù)單調(diào)性的判斷【答案】B故選：B.⑵（2324高三上·遼寧錦州·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞增的是（）【答案】C故選：C.【解題方法總結(jié)】判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：⑴定義法⑵單調(diào)性的運(yùn)算：增+增=增，減+減=減，增—減=增，減—增=減；⑶圖像法；⑷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性；⑸導(dǎo)數(shù)法?！敬鸢浮緾故選：C.C．在定義域上為增函數(shù) D．奇函數(shù)【答案】ABD故C錯(cuò)誤．故選：ABD【答案】A故選：A命題點(diǎn)2：利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)最小值為，最大值為.【解題方法總結(jié)】利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟：證明如下：題型二：分段函數(shù)的單調(diào)性【答案】D故選：D.【解題方法總結(jié)】【答案】C故選：C.【答案】D故選：D.【答案】D故選：D．畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖所示，題型三：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性【答案】B故選：B.【答案】A故選：A【解題方法總結(jié)】增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減．【答案】B故選:B．【答案】B故選：B.【答案】A故選：A.單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減題型四：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍【答案】B故選：B．【解題方法總結(jié)】利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值（范圍）時(shí)，根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿(mǎn)足的方程（組）或不等式（組）或先得到其圖像的升降，在結(jié)合圖像求解.對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值?！敬鸢浮緿故選：D.【答案】C故選：C.【答案】A故選：A.【答案】C故選：CA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B故選：B.【答案】A故選：A.題型五：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【答案】C故選：C【解題方法總結(jié)】利用單調(diào)性解不等式時(shí)，由條件脫去“”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域?！敬鸢浮緿故選：D.故選：C【答案】C故選：C.【答案】A故選：A.題型六：比較函數(shù)值的大小【答案】C故選：C.【解題方法總結(jié)】比較函數(shù)值的大小時(shí)，先轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決?！敬鸢浮緿故選：D【答案】D故選：D題型七：求函數(shù)值域（最值）的方法⑴二次函數(shù)的值域【解題方法總結(jié)】和一元二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)求值域問(wèn)題可以利用配方法或利用二次函數(shù)的單調(diào)性?！敬鸢浮?，【答案】3故答案為：3.⑵換元法；【答案】故答案為：【解題方法總結(jié)】換元法求值域（最值）：引入一個(gè)新的量來(lái)代替原來(lái)的量，實(shí)行“變量代換”，注意新元的范圍；【答案】1故答案為：1．⑶利用函數(shù)的單調(diào)性；【答案】D故選：D.【解題方法總結(jié)】單調(diào)性法求最值：利用函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)所給定義域來(lái)確定函數(shù)的值域。⑷判別式法【答案】/0.25故所求最大值為.故答案為：.【解題方法總結(jié)】對(duì)于一些分式函數(shù)，可變形為關(guān)于的一元二次方程的形式，利用判別式法求的范圍，從而得到函數(shù)的值域或最值。【答案】；3【答案】最大值為，最小值為⑸基本不等式（或?qū)春瘮?shù)）【答案】A故選：A.【解題方法總結(jié)】對(duì)于一些分式函數(shù)，最終可化為利用基本不等式（或?qū)春瘮?shù)）求最值的形式。【難度】0.85【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)雜（根式型、分式型等）函數(shù)的值域、基本不等式求和的最小值⑹復(fù)合函數(shù)求值域【答案】A故選：A.【解題方法總結(jié)】【答案】C故選：C【答案】D故選：D.⑺分離常數(shù)法【答案】B故選：B.【解題方法總結(jié)】分子、分母同次的分式形式采用配湊分子的方法，把函數(shù)分離成一個(gè)常數(shù)和一個(gè)分式和的形式?！敬鸢浮緼故選：A.⑻導(dǎo)數(shù)法A． B． C．9 D．16【答案】A故選：A.【答案】故答案為：.綜合練習(xí)：1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域.2.（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域.真題呈現(xiàn)（2025年2021年真題）【答案】B故選：B.【答案】D故選：DA． B． C． D．1【答案】C故選：C.【答案】C故選：C.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】②③

故答案為：②③.【答案】0（答案不唯一）；1故答案為：0（答