李氏穩(wěn)定性總結(jié)課件

1、第七章線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,1,PPT學(xué)習(xí)交流,1.高為炳編著：運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性基礎(chǔ)，高等教育出版社,1987年5月黃琳：穩(wěn)定性理論，北京大學(xué)出版社,1992年7月3.秦元?jiǎng)?、王慕秋、王?lián)：運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論與應(yīng)用,科學(xué)出版社,1980年4.王柔懷、伍卓群編：常微分方程講義,人民教育出版社,1978年5月5.黃琳：穩(wěn)定性與魯棒性的理論基礎(chǔ),科學(xué)出版社，2003年2月,參考書(shū),2,PPT學(xué)習(xí)交流,LaSalle,J.P.,StabilitybyLyapunovdirectmethod,NewYork:AcademicPress,1961.Hahn,W.,Stabilityofmotion,NewYork,

2、Springer-Verlag,1967.Desoer,C.A.andVidyasagar,M.,Feedbacksystems:Input-outputproperties,NewYork:AcademicPress,1975.,3,PPT學(xué)習(xí)交流,任何一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)總是在各種偶然和持續(xù)的干擾下運(yùn)動(dòng)或工作的。顯然，我們首先要考慮的問(wèn)題是，當(dāng)系統(tǒng)承受這種干擾之后，能否穩(wěn)妥地保持預(yù)定的運(yùn)動(dòng)軌跡或者工作狀態(tài)，這就是穩(wěn)定性。,此外，我們知道，描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，絕大部分都是近似的，這或者是由于量測(cè)誤差，或者是為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，而不得不忽略某些次要因素。近似的數(shù)學(xué)模型能否如實(shí)反映實(shí)際的運(yùn)動(dòng)，在某種意義上說(shuō)，

3、也是穩(wěn)定性問(wèn)題。,4,PPT學(xué)習(xí)交流,預(yù)備知識(shí):微分方程解的存在性及唯一性條件、解對(duì)初值的連續(xù)依賴性。1.微分方程解的表示?？紤]微分方程：,其解x(t)是自變量t的函數(shù)，而t0,x0變動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的解也隨著變動(dòng)，故它應(yīng)該是自變量t與初值t0、x0的函數(shù),可記為x(t,t0,x0)例如,5,PPT學(xué)習(xí)交流,問(wèn)題：當(dāng)初值變動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的解如何變動(dòng)？在應(yīng)用上的意義是：初值通常是用實(shí)驗(yàn)方法求得的，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)不可能絕對(duì)準(zhǔn)確，若微小的誤差會(huì)引起對(duì)應(yīng)解的巨大變動(dòng)，那么所求的初值問(wèn)題解的實(shí)用價(jià)值就很小。,2.Lipschitz條件：,6,PPT學(xué)習(xí)交流,若存在一個(gè)常數(shù)L，使得對(duì)任何都有,則稱f在上滿足Lipsc

4、hitz條件。這個(gè)定義可以推廣到W為任意有限n維空間的情形。,注：滿足Lipschitz條件可保證微分方程解的存在性和唯一性。,3.解的存在性、唯一性及對(duì)初值的連續(xù)依賴性,7,PPT學(xué)習(xí)交流,定理1（存在性及唯一性定理）：對(duì)于微分方程,若f(x,t)在WI域內(nèi)連續(xù)且滿足Lipschitz條件，則對(duì)任意的初始條件x(x0,t0)WI，總存在常數(shù)a0，使得有唯一解x=x(t,t0,x0)在t0a,t0+a上存在、對(duì)t連續(xù)，且滿足初始條件x(t0)=x0。穩(wěn)定性所要研究的是解的漸近性質(zhì)，即當(dāng)解x(t)在t時(shí)的性狀。故總假定在t0,)上解是存在的。,8,PPT學(xué)習(xí)交流,定理2（解對(duì)初值的連續(xù)依賴性）：

5、在定理1的條件下，若f(x,t)在域內(nèi)連續(xù)且滿足Lipschitz條件，則微分方程的解x(t,t0,x0)作為t,t0,x0的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的,即,0,0,使得當(dāng)x(t0)(t0)時(shí),有,x(t,t0,x(t0)(t,t0,(t0),atb,at0b,以上定理說(shuō)明：若在初始時(shí)刻x(t0)和(t0)十分接近，則在定義域a,b內(nèi)的解x(t)和(t)也會(huì)十分接近。,9,PPT學(xué)習(xí)交流,7-1李雅普諾夫穩(wěn)定性,李雅普諾夫穩(wěn)定性的概念是微分方程解對(duì)初值的連續(xù)依賴性這一概念在無(wú)窮時(shí)間區(qū)間上的推廣和發(fā)展。因此下面討論時(shí)均假定所研究方程的解在無(wú)窮區(qū)間t0,)滿足存在和唯一性條件。,一、平衡狀態(tài)的穩(wěn)

6、定性,1.平衡狀態(tài),考慮系統(tǒng)：,若隨著時(shí)間t的變化，狀態(tài)x=xe保持不變（即恒為常數(shù)），則稱這個(gè)狀態(tài)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。由于平衡狀態(tài)也是系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)，故它是上述微分方程,10,PPT學(xué)習(xí)交流,的一個(gè)解，即的解。,2.簡(jiǎn)化的平衡狀態(tài),在初始時(shí)刻t0時(shí),干擾引起的狀態(tài)向量x0與平衡狀態(tài)xe之差,稱為初始擾動(dòng)向量。由x0所決定的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是,11,PPT學(xué)習(xí)交流,滿足,(7-1),因此，在下面考慮一般的時(shí)變、非線性、多變量系統(tǒng)時(shí)，我們總假定它的微分方程,其中x為n維向量，F(xiàn)(x,t)為n維的函數(shù)向量。這時(shí)方程（7-1）有解x=0(滿足x(t0)=0)，稱為（7-1）的顯然解或零解。,在以下討論平衡狀態(tài)

7、的穩(wěn)定性時(shí)，只需要討論零解這個(gè)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性就可以了。,12,PPT學(xué)習(xí)交流,設(shè)有一個(gè)初始擾動(dòng)，使系統(tǒng)的狀態(tài)偏離了平衡狀態(tài)x=0。若初始擾動(dòng)為x(t0)=x0，顯然在這個(gè)初始擾動(dòng)作用下，方程（7-1）所決定的運(yùn)動(dòng)是下列初值問(wèn)題,的解。將這個(gè)解表示為,3.李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義,13,PPT學(xué)習(xí)交流,可見(jiàn)，即使初始值微小地偏離了平衡狀態(tài)，且在任意有限的時(shí)間內(nèi)其解有界，但最終將發(fā)散。,14,PPT學(xué)習(xí)交流,事實(shí)上無(wú)論初始擾動(dòng)多么大，最終將收斂到平衡狀態(tài)。,以上兩個(gè)例子是熟悉的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定和不穩(wěn)定的例子。從第一個(gè)例子還可以看到，盡管在任意有限的時(shí)間內(nèi)解是有界的，但若討論時(shí)間趨于無(wú)窮(或在工程上，

8、當(dāng)時(shí)間“很長(zhǎng)”）時(shí)系統(tǒng)的行為，則這種發(fā)散的特性就是完全不能接受的了。,Lyapunov穩(wěn)定性就是要研究微分方程的解在tt0，+）上的有界性。,15,PPT學(xué)習(xí)交流,根據(jù)微分方程解對(duì)初值的連續(xù)依賴性質(zhì)，可知只要x0充分小，對(duì)于t0,T之間的任一時(shí)刻，x(t,t0,x0)偏離x=0（平衡狀態(tài)）也可以任意小?，F(xiàn)在要研究這一性質(zhì)是否對(duì)t0,+)均成立。,定義7-1對(duì)于任意的0，都存在(t0,)0，使得當(dāng)x(t0)(t0,)時(shí)有,x(t,t0,x0)tt0,成立。則稱系統(tǒng)關(guān)于平衡狀態(tài)（或原點(diǎn)）x=0是（李雅普諾夫意義下）穩(wěn)定的。,定義7-2若定義7-1中的=()，即與t0無(wú)關(guān)(關(guān)于t0一致)，則稱所定義

9、的穩(wěn)定為一致穩(wěn)定。,16,PPT學(xué)習(xí)交流,定義7-1（李雅普諾夫意義下穩(wěn)定）的圖示：,1.此處隨著、t0而變化；,2.x(t,t0,x0)tt0,對(duì)于任意的0，都存在(t0,)0，使得當(dāng)x(t0)(t0,)時(shí)有x(t,t0,x0)tt0成立,初值變化充分小時(shí)，解的變化(tt0)可任意小(不是無(wú)變化)；3.顯然，(t0,)。,17,PPT學(xué)習(xí)交流,(t0,),x0,x(t),定義7-1對(duì)于任意的0，都存在(t0,)0，使得當(dāng)x(t0)(t0,)時(shí)有,x(t,t0,x0)tt0,李雅普諾夫意義下穩(wěn)定,18,PPT學(xué)習(xí)交流,例：討論下列系統(tǒng)的穩(wěn)定性和一致穩(wěn)定性：,19,PPT學(xué)習(xí)交流,關(guān)于不穩(wěn)定的定

10、義：定義：若對(duì)任意給定的0，無(wú)論多么小，總可以找到滿足x(t0)的某一初值x0，使得從它出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌線x(t,t0,x0)在某一時(shí)刻t1t0，有x(t,t0,x0)=，則稱系統(tǒng)(7-1)的零解是不穩(wěn)定的。,20,PPT學(xué)習(xí)交流,定義7-3若(a)x=0是穩(wěn)定的。(b)存在(t0)0，使得對(duì)任意的0，存在T(,t0,x0)，當(dāng)x(t0)(t0)，tt0+T(,t0,x0)時(shí)，有x(t,t0,x0)。則稱x=0為漸近穩(wěn)定。,1.此處(t0)是固定的一個(gè)范圍(稱為吸引區(qū)，不是任意小的)；2.x(t,t0,x0)，tt0+T(,t0,x0),(a)x=0是穩(wěn)定的,x在tt0的行為已決定(b)是t充分大

11、時(shí)的性質(zhì)。,21,PPT學(xué)習(xí)交流,討論：定義7-3的第二部分(b)又稱為關(guān)于零解是吸引的。它反映的是解的漸近性質(zhì)?？梢詫?b)改成：,存在(t0)0，使得x(t0)(t0)蘊(yùn)涵,穩(wěn)定和吸引（即(a)和(b)）是相互獨(dú)立的概念，對(duì)于一般的系統(tǒng)，它們之間不存在蘊(yùn)涵關(guān)系。蘇聯(lián)人給出了一個(gè)著名的反例(參見(jiàn)黃琳“穩(wěn)定性理論”，1992，p.7），表明一個(gè)微分方程的解是吸引的但卻不是穩(wěn)定的。,22,PPT學(xué)習(xí)交流,定義7-4若x=0是一致穩(wěn)定的。存在00，使得對(duì)任意的0，存在T()，當(dāng)x(t0)0,tt0+T()時(shí)有x(t,t0,x0)。則稱x=0為一致漸近穩(wěn)定，即,正數(shù)(t0)稱為系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的吸引區(qū)。

12、若吸引區(qū)是整個(gè)空間，稱系統(tǒng)是關(guān)于原點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的。,這里，一致性在于：0不依賴于t0、且T僅依賴于，不依賴于t0、x0。,23,PPT學(xué)習(xí)交流,定義7-5若存在0，對(duì)任意的0，存在()0，使得當(dāng)x(t0)()，就有x(t,t0,x0)e(tt0)tt0成立。則稱x=0是按指數(shù)漸近穩(wěn)定的。,這里所定義的穩(wěn)定、一致穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、一致漸近穩(wěn)定和按指數(shù)漸近穩(wěn)定都是局部的概念，即定義中的條件只要在x=0的附近成立即可。但在工程技術(shù)上，特別是在控制系統(tǒng)中，所發(fā)生的初始偏差并非任意的小，而是有限的或是任意大的。幸好，就我們所討論的線性系統(tǒng)而言，全局和局部是一致的。,顯然，以上定義關(guān)于t0、x0是一致的。

13、,24,PPT學(xué)習(xí)交流,各種穩(wěn)定性之間的關(guān)系,25,PPT學(xué)習(xí)交流,例：討論下列系統(tǒng)是否穩(wěn)定、是否一致穩(wěn)定、是否漸近穩(wěn)定：,26,PPT學(xué)習(xí)交流,例：討論下列系統(tǒng)是否一致穩(wěn)定、是否漸近穩(wěn)定、是否一致漸近穩(wěn)定：,解：容易解出：,27,PPT學(xué)習(xí)交流,二、運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性,前一節(jié)討論了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一種特殊的運(yùn)動(dòng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，現(xiàn)在來(lái)討論系統(tǒng),(7-1),任一運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。我們已經(jīng)知道，每一個(gè)初始狀態(tài)x(t0)=x0確定唯一的解,一個(gè)系統(tǒng)隨著初始條件不同可以有很多不同的運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)在，設(shè)我們關(guān)心(7-1)的某一個(gè)運(yùn)動(dòng):,我們欲研究這個(gè)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。我們稱這個(gè)運(yùn)動(dòng)為給定運(yùn)動(dòng)，或未被擾運(yùn)動(dòng)。,28,PPT學(xué)

14、習(xí)交流,進(jìn)而，設(shè)于初始時(shí)刻t0，系統(tǒng)受到干擾，狀態(tài)由x0變成x0+y0從這一初始狀態(tài)出發(fā)的運(yùn)動(dòng)，即初值問(wèn)題,的解，稱為被擾運(yùn)動(dòng)。類比于平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性（李氏穩(wěn)定、一致穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定等等），我們也可以相應(yīng)地定義相對(duì)于給定運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性（李氏穩(wěn)定、一致穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定等等）。,29,PPT學(xué)習(xí)交流,定義對(duì)于任意的0，都存在(t0,)0，使得當(dāng)x(t0)f(t0)(t0,)時(shí)有,x(t,t0,x0)f(t,t0,x0)tt0,成立。則稱系統(tǒng)關(guān)于給定運(yùn)動(dòng)x=f(t,t0,x0)是（李雅普諾夫意義下）穩(wěn)定的。,但需要指出，關(guān)于給定運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性可以變換成關(guān)于零解的穩(wěn)定性問(wèn)題，故上述定義事實(shí)上是不必要的。,30

15、,PPT學(xué)習(xí)交流,為此，考慮變換y=xf，則擾動(dòng)方程定義為：,則顯然,這說(shuō)明，通過(guò)上述變換可以將給定運(yùn)動(dòng)（或稱為未被擾運(yùn)動(dòng)）的穩(wěn)定性問(wèn)題化為(7-3)的零解穩(wěn)定性問(wèn)題。也就是說(shuō)，今后討論運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性時(shí)，可先列出其擾動(dòng)方程，然后討論擾動(dòng)方程(7-3)零解的穩(wěn)定性就可以了，而沒(méi)有必要再給出運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的其它定義。,31,PPT學(xué)習(xí)交流,三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的特點(diǎn),（7-4）式比一般的方程（7-1）式的結(jié)構(gòu)要簡(jiǎn)單，因此它在穩(wěn)定性方面有更多的簡(jiǎn)單特性。,定理7-1對(duì)于方程(7-4)所表示的線性系統(tǒng)，若有一個(gè)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定，則其所有運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定。,因此，對(duì)線性系統(tǒng)而言，今后可籠統(tǒng)地說(shuō)“系統(tǒng)是穩(wěn)定的”，而一般的非線性系

16、統(tǒng)并不具備這一特性。,其對(duì)應(yīng)的齊次方程為：,32,PPT學(xué)習(xí)交流,證明：1)設(shè)(7-4)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)x1(t)是穩(wěn)定的，即對(duì)任給的0，使得對(duì)滿足(7-4)的任一運(yùn)動(dòng)x(t)，只要x(t0)x1(t0)(t0,)，就有x(t)x1(t)，tt0(A-1)成立。但,則上式（擾動(dòng)方程）等價(jià)于p38,33,PPT學(xué)習(xí)交流,現(xiàn)在，設(shè)y1(t)為(7-4)的另一個(gè)運(yùn)動(dòng)，y(t)為(7-4)的任一運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)y(t0)y1(t0)(t0,)，必有y(t0)y1(t0)，tt0成立。這里，只要選擇得與(A-1)式相同就可以了。事實(shí)上，與前面的分析一樣，考慮,34,PPT學(xué)習(xí)交流,比較式（A-2)p36和（A-3)

17、，它們顯然有相同的形式，故上述結(jié)論成立。,證完。,35,PPT學(xué)習(xí)交流,結(jié)論,從上面的分析可以看出，討論線性系統(tǒng),在任意輸入u作用下任一實(shí)際運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，等價(jià)于討論其所對(duì)應(yīng)的齊次方程,關(guān)于零解的穩(wěn)定性且,(B.1)具有什么性質(zhì)的穩(wěn)定性等價(jià)于(B.2)具有同一種性質(zhì)的穩(wěn)定性。,36,PPT學(xué)習(xí)交流,例：討論如下系統(tǒng)的穩(wěn)定性：,根據(jù)上面的分析，只需要討論所對(duì)應(yīng)的齊次方程的零解穩(wěn)定性即可。齊次方程漸近穩(wěn)定，故原系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。此外，注意到在這個(gè)例子中，系統(tǒng)的響應(yīng)是無(wú)界的。這是由于輸入信號(hào)是無(wú)界的。這和系統(tǒng)的穩(wěn)定性不是同一個(gè)概念。,未被擾運(yùn)動(dòng),被擾運(yùn)動(dòng),37,PPT學(xué)習(xí)交流,四、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù),由

18、于線性動(dòng)態(tài)方程的穩(wěn)定性等價(jià)于其對(duì)應(yīng)的齊次方程的零解的穩(wěn)定性，故這里只討論齊次方程,對(duì)于（7-5）零解的穩(wěn)定性問(wèn)題。由于A(t)不是常量矩陣，因此一般不能用特征值來(lái)討論系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，而應(yīng)該用與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)關(guān)系密切的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t,t0)。,例7-2齊次方程如下,38,PPT學(xué)習(xí)交流,A的特征值為1，1。,當(dāng)t時(shí)，只要x2(0)0，就有x(t)趨于無(wú)窮，故零解不穩(wěn)定。因此，簡(jiǎn)單地由特征值來(lái)判斷將導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。,39,PPT學(xué)習(xí)交流,定理7-2設(shè)A(t)是連續(xù)（或分段連續(xù)）的函數(shù)矩陣，則有以下充分必要條件成立：,（7-5)漸近穩(wěn)定,（7-5）穩(wěn)定存在某常數(shù)N(t0)，使得對(duì)于任意的t0和tt0有(

19、t,t0)N(t0)（7-6）,（7-5）一致穩(wěn)定1)中的N(t0)與t0無(wú)關(guān)。,（7-5）一致漸近穩(wěn)定存在N、C0，使得對(duì)于任意的t0和tt0有,40,PPT學(xué)習(xí)交流,李氏穩(wěn)定等價(jià)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣范數(shù)的有界性；一致穩(wěn)定等價(jià)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣范數(shù)的一致有界性；漸近穩(wěn)定等價(jià)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣范數(shù)趨向于零；一致漸近穩(wěn)定等價(jià)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣按指數(shù)規(guī)律穩(wěn)定。,結(jié)論：對(duì)線性系統(tǒng),41,PPT學(xué)習(xí)交流,討論：1）定理7-2所給出的線性系統(tǒng)的重要性質(zhì)，完全是由,2）線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有全局性質(zhì)。定義：系統(tǒng)的零解稱為是全局（一致）漸近穩(wěn)定的，若其零解是（一致）漸近穩(wěn)定的且無(wú)論初始擾動(dòng)多大，均有,42,PPT學(xué)習(xí)交流,定理

20、7-2之(3)、(4)清楚地表明，對(duì)于線性系統(tǒng)=A(t)x而言，若其零解是（一致)漸近穩(wěn)定的，那么由狀態(tài)空間任一點(diǎn)為起點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌線都要收斂到原點(diǎn)，即原點(diǎn)的漸定穩(wěn)定的吸引區(qū)遍及整個(gè)狀態(tài)空間，這就是上面定義所述的全局（一致）漸近穩(wěn)定或大范圍（一致）漸近穩(wěn)定的概念。,定義對(duì)任意的x(0),均有x(t)有界,則稱=A(t)x的零解是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。,是全局漸近穩(wěn)定的。,43,PPT學(xué)習(xí)交流,3)對(duì)于線性系統(tǒng)而言，零解的吸引性蘊(yùn)涵其穩(wěn)定性，而一般的非線性系統(tǒng)則不具備這一性質(zhì)（此性質(zhì)將進(jìn)一步討論）。,4）再回到方程,已經(jīng)證明，其擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性等價(jià)于對(duì)應(yīng)的齊次方程零解的穩(wěn)定性。根據(jù)定理7-2，如下推論為顯然：,推論1：若(7-4)穩(wěn)定，則它的所有解或