河北省衡水中學(xué)2015-2016學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷 理(含解析)

1、2015-2016學(xué)年河北省衡水中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在下列四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）1若角與角終邊相同，則一定有（）A+=180B+=0C=k360，kZD+=k360，kZ2已知集合M=x|1，N=x|y=lg（1x），則下列關(guān)系中正確的是（）A（RM）N=BMN=RCMND（RM）N=R3設(shè)是第二象限角，且cos=，則是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角4下列四個(gè)函數(shù)中，既是（0，）上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)的是（）Ay=tanxBy=|sinx|Cy=cosxDy=|cosx|5已知ta

2、n=，且tan（+）=1，則tan的值為（）A7B7CD6將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，得到的函數(shù)解析式為（）Ay=sin（2x+）+1By=sin（2x）+1Cy=sin（2x+）+1Dy=sin（2x）+17函數(shù)y=Asin（x+）（0，|，xR）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式（）Ay=4sin（x）By=4sin（x）Cy=4sin（x+）Dy=4sin（x+）8在ABC中，已知lgsinAlgcosBlgsinC=lg2，則三角形一定是（）A等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D鈍角三角形9已知函數(shù)f（x）=loga（x+b）的大致圖象如圖，其中a，b為常

3、數(shù)，則函數(shù)g（x）=ax+b的大致圖象是（）ABCD10若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）對(duì)于D上任意n個(gè)值x1，x2，xn總滿足 f（），則稱f（x）為D的凸函數(shù)，現(xiàn)已知f（x）=sinx在（0，）上是凸函數(shù)，則三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為（）AB3CD311已知O為ABC內(nèi)任意的一點(diǎn)，若對(duì)任意kR有|k|，則ABC一定是（）A直角三角形B鈍角三角形C銳角三角形D不能確定12ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a：b：c=：4：3，設(shè)=cosA， =sinA，又ABC的面積為S，則=（）A SB SCSD S二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

4、13設(shè)是奇函數(shù)，則a+b的取值范圍是14函數(shù)y=3sin（x+10）+5sin（x+70）的最大值為15已知奇函f（x）數(shù)滿足f（x+1）=f（x），當(dāng)x（0，1）時(shí)，f（x）=2x，則f（log210）等于16給出下列命題：存在實(shí)數(shù)x，使得sinx+cosx=；函數(shù)y=2sin（2x+）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱；若函數(shù)f（x）=ksinx+cosx的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱，則k=1；在平行四邊形ABCD中，若|+|=|+|，則四邊形ABCD的形狀一定是矩形則其中正確的序號(hào)是（將正確的判斷的序號(hào)都填上）三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17已知

5、cos（）=，sin（+）=，且（0，），（，），求sin（+）的值18設(shè)冪函數(shù)f（x）=（a1）xk（aR，kQ）的圖象過(guò)點(diǎn)（1）求k，a的值；（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+2b+1b在上的最大值為3，求實(shí)數(shù)b的值19銳角三角形ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)向量，且（1）求角B的大小；（2）若b=1，求a+c的取值范圍20已知函數(shù)f（x）=22cos2（+x）cos2x（1）求函數(shù)f（x）在x時(shí)的增區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸；（3）若方程f（x）k=0在x，上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍21如圖，ABC中，sin=，AB=2，點(diǎn)D在線段AC上，且AD=2DC，B

6、D=（）求：BC的長(zhǎng)；（）求DBC的面積22已知=（sinx，cosx），=（cosx，cosx）其中0，若函數(shù)f（x）=的圖象上相鄰兩對(duì)稱軸間得距離為2（1）求方程f（x）=0在區(qū)間內(nèi)的解；（2）若=+，求sinx；（3）在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且滿足（2ac）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的值域2015-2016學(xué)年河北省衡水中學(xué)高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在下列四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）1若角與角終邊相同，則一定有（）A+=180B+=0C=k360，kZD+=k360，kZ

7、【考點(diǎn)】終邊相同的角【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；三角函數(shù)的求值【分析】根據(jù)終邊相同的角的表示方法，直接判斷即可【解答】解：角與角終邊相同，則=+k360，kZ，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查終邊相同的角的表示方法，定義題2已知集合M=x|1，N=x|y=lg（1x），則下列關(guān)系中正確的是（）A（RM）N=BMN=RCMND（RM）N=R【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算【專題】集合【分析】求出M中不等式的解集確定出M，求出N中x的范圍確定出N，即可做出判斷【解答】解：M中的不等式，當(dāng)x0時(shí)，解得：x1；當(dāng)x0時(shí)，解得：x1，即x0，M=（，0）=0，可得（2）+=k，kz，再結(jié)合|，=，

8、y=4sin（x+），故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（x+）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，屬于基礎(chǔ)題8在ABC中，已知lgsinAlgcosBlgsinC=lg2，則三角形一定是（）A等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D鈍角三角形【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷【專題】計(jì)算題【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得sinA=2cosBsinC，利用三角形的內(nèi)角和A=（B+C）及誘導(dǎo)公式及和差角公式可得B，C的關(guān)系，從而可判斷三角形的形狀【解答】解：由lgsinAlgcosBlgsinC=lg2可得sinA=2cosBsinC即sin（B+C）

9、=2sinCcosB展開(kāi)可得，sinBcosC+sinCcosB=2sinCcosBsinBcosCsinCcosB=0sin（BC）=0B=CABC為等腰三角形故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、和差角公式的綜合應(yīng)用，屬于中檔試題9已知函數(shù)f（x）=loga（x+b）的大致圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則函數(shù)g（x）=ax+b的大致圖象是（）ABCD【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【專題】壓軸題【分析】由函數(shù)f（x）=loga（x+b）的圖象可求出a和b的范圍，再進(jìn)一步判斷g（x）=ax+b的圖象即可【解答】解：由函數(shù)f（x）=loga（x+b）的圖象為減函數(shù)可知0a

10、1，f（x）=loga（x+b）的圖象由f（x）=logax向左平移可知0b1，故函數(shù)g（x）=ax+b的大致圖象是B故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查指對(duì)函數(shù)的圖象問(wèn)題，是基本題10若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）對(duì)于D上任意n個(gè)值x1，x2，xn總滿足 f（），則稱f（x）為D的凸函數(shù)，現(xiàn)已知f（x）=sinx在（0，）上是凸函數(shù)，則三角形ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為（）AB3CD3【考點(diǎn)】函數(shù)的值【專題】轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；三角函數(shù)的求值；不等式的解法及應(yīng)用【分析】由凸函數(shù)的性質(zhì)可得：sinA+sinB+sinC3，即可得出【解答】解：由凸函數(shù)的性質(zhì)可得：sinA+sinB

11、+sinC3=，當(dāng)且僅當(dāng)A=B=C=時(shí)取等號(hào)sinA+sinB+sinC的最大值為故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了凸函數(shù)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題11已知O為ABC內(nèi)任意的一點(diǎn)，若對(duì)任意kR有|k|，則ABC一定是（）A直角三角形B鈍角三角形C銳角三角形D不能確定【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，在邊BC上任取一點(diǎn)E，連接AE，根據(jù)已知不等式左邊絕對(duì)值里的幾何意義可得k=，再利用向量的減法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，根據(jù)垂線段最短可得AC與EC垂直，進(jìn)而確定出三角形為直角三角形【解答】解：從幾何圖形考慮：|k|的幾何意義表示

12、：在BC上任取一點(diǎn)E，可得k=，|k|=|=|，又點(diǎn)E不論在任何位置都有不等式成立，由垂線段最短可得ACEC，即C=90，則ABC一定是直角三角形故選A【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有：平面向量的減法的三角形法則的應(yīng)用，及平面幾何中兩點(diǎn)之間垂線段最短的應(yīng)用，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，要注意數(shù)學(xué)圖形的應(yīng)用可以簡(jiǎn)化基本運(yùn)算12ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a：b：c=：4：3，設(shè)=cosA， =sinA，又ABC的面積為S，則=（）A SB SCSD S【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；解三角形【分析】由題意，利用比例的性質(zhì)及余弦定理可求co

13、sA=，結(jié)合A的范圍可求A的值，利用三角形面積公式可求三角形面積，由已知可求向量，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得解【解答】解：由題意可設(shè)：a=x，b=4x，c=3x，x0，則由余弦定理可得：cosA=，結(jié)合A（0，），可得A=從而解得ABC的面積為S=|sinA=|，可得： =cosA=， =sinA=，可得： =|cosA=|=|=S，故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了比例的性質(zhì)，余弦定理，三角形面積公式，平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13設(shè)是奇函數(shù)，則a+b的取值范圍是【考點(diǎn)】奇函數(shù)【專題】

14、計(jì)算題【分析】由題意和奇函數(shù)的定義f（x）=f（x）求出a的值，再由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零求出函數(shù)的定義域，則所給的區(qū)間應(yīng)是定義域的子集，求出b的范圍進(jìn)而求出a+b的范圍【解答】解：定義在區(qū)間（b，b）內(nèi)的函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)，任x（b，b），f（x）=f（x），即=，=，則有，即1a2x2=14x2，解得a=2，又a2，a=2；則函數(shù)f（x）=，要使函數(shù)有意義，則0，即（1+2x）（12x）0解得：x，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋海?，），（b，b）（，），0b2a+b，即所求的范圍是；故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了奇函數(shù)的定義以及求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，利用子集關(guān)系求出b的范圍，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和對(duì)

15、定義的運(yùn)用能力14函數(shù)y=3sin（x+10）+5sin（x+70）的最大值為7【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值【分析】分別把（x+10）與（x+70）化為（x+4030）與（x+40+30），展開(kāi)兩角和與差的三角函數(shù)，整理后利用輔助角公式化積，則答案可求【解答】解：y=3sin（x+10）+5sin（x+70）=3sin（x+4030）+5sin（x+40+30）=3+5= sin（x+40）cos（x+40）+ sin（x+40）+cos（x+40）=4sin（x+40）+cos（x+40）=7sin（x+40）+cos（x+40）=7sin7故答

16、案為：7【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查了兩角和與差的三角函數(shù)，訓(xùn)練了輔助角公式的應(yīng)用，是中檔題15已知奇函f（x）數(shù)滿足f（x+1）=f（x），當(dāng)x（0，1）時(shí)，f（x）=2x，則f（log210）等于【考點(diǎn)】函數(shù)的值【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】利用奇偶性與條件得出f（x）的周期，根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期計(jì)算【解答】解：f（x+1）=f（x），f（x+2）=f（x+1）=f（x），函數(shù)f（x）是以2為周期的奇函數(shù)，3log2104，14+log2100，04log2101f（log210）=f（4+log210）=f（4log210）=2=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查

17、了函數(shù)奇偶性與周期性的應(yīng)用，找到函數(shù)周期是解題關(guān)鍵16給出下列命題：存在實(shí)數(shù)x，使得sinx+cosx=；函數(shù)y=2sin（2x+）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱；若函數(shù)f（x）=ksinx+cosx的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱，則k=1；在平行四邊形ABCD中，若|+|=|+|，則四邊形ABCD的形狀一定是矩形則其中正確的序號(hào)是（將正確的判斷的序號(hào)都填上）【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】探究型；簡(jiǎn)易邏輯；推理和證明【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷，根據(jù)向量模的幾何意義，可判斷【解答】解：sinx+cosx=sin（x+）， ，故為假命題；當(dāng)x=時(shí)，2x+=，此時(shí)函數(shù)取最大值，故函數(shù)y=2

18、sin（2x+）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，故為假命題；若函數(shù)f（x）=ksinx+cosx的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱，則，解得：k=1，故為真命題；在平行四邊形ABCD中，若|+|=|+|，即平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等，則四邊形ABCD的形狀一定是矩形，故為真命題；故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是和差角（輔助角）公式，三角函數(shù)的對(duì)稱性，向量的模，向量加法的三角形法則，難度中檔三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17已知cos（）=，sin（+）=，且（0，），（，），求sin（+）的值【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)【專題】計(jì)算題；整體思

19、想；數(shù)學(xué)模型法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】由、的范圍求出的范圍，結(jié)合已知求出sin（）和cos（+）的值，則sin（+）的值可求【解答】解：（，），又cos（）=，又（0，），sin（+）=，則sin（+）=sin=sin（）cos（）+cos（）sin（）=【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差正弦、余弦，關(guān)鍵是“拆角、配角”思想方法的運(yùn)用，是中檔題18設(shè)冪函數(shù)f（x）=（a1）xk（aR，kQ）的圖象過(guò)點(diǎn)（1）求k，a的值；（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+2b+1b在上的最大值為3，求實(shí)數(shù)b的值【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用【專題】分類討論；換元法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】（

20、1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行求解即可求k，a的值；（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+2b+1b在上的最大值為3，利用換元法轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求實(shí)數(shù)b的值【解答】解：（1）設(shè)冪函數(shù)f（x）=（a1）xk（aR，kQ）的圖象過(guò)點(diǎn)則a1=1，即a=2，此時(shí)f（x）=xk，即=2，即=2，解得k=4；（2）a=2，k=4，f（x）=x4，則h（x）=f（x）+2b+1b=x4+2bx2+1b=（x2b）2+1b+b2，設(shè)t=x2，則0t4，則函數(shù)等價(jià)為g（t）=（tb）2+1b+b2，若b0，則函數(shù)g（t）在上單調(diào)遞減，最大值為g（0）=1b=3，即b=2，滿足條件若0b4，

21、此時(shí)當(dāng)t=b時(shí)，最大值為g（b）=1b+b2=3，即b2b2=0，解得b=2或b=1（舍）若b4，則函數(shù)g（t）在上單調(diào)遞增，最大值為g（4）=3b15=3，即3b=18，b=6，滿足條件綜上b=2或b=2或b=6【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)的應(yīng)用以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵注意要進(jìn)行分類討論19銳角三角形ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)向量，且（1）求角B的大小；（2）若b=1，求a+c的取值范圍【考點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；正弦定理【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想【分析】（1）首先運(yùn)用向量的平行的

22、充要條件得出邊a、b、c的一個(gè)等，通過(guò)變形為分式再結(jié)合余弦定理可得cosB=，結(jié)合B（0，）得B=；（2）根據(jù)正弦定理將a+c變形為關(guān)于角A的一個(gè)三角函數(shù)式，再結(jié)合已知條件得出A的取值范圍，在此基礎(chǔ)上求關(guān)于A的函數(shù)的值域，即為a+c的取值范圍【解答】解：（1）（ca）c（ba）（a+b）=0 a2+c2b2=ac 即 三角形ABC中由余弦定理，得cosB=，結(jié)合B（0，）得B=（2）B=A+C=由題意三角形是銳角三角形，得再由正弦定理： 且b=1a+c=2【點(diǎn)評(píng)】本題綜合了向量共線與正、余弦定理知識(shí)，解決角的取值和邊的取值范圍等問(wèn)題，考查了函數(shù)應(yīng)用與等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題20已知函數(shù)f（x

23、）=22cos2（+x）cos2x（1）求函數(shù)f（x）在x時(shí)的增區(qū)間；（2）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸；（3）若方程f（x）k=0在x，上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離【分析】（1）由條件化簡(jiǎn)得到f（x）=1+2sin（2x），求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，得出結(jié)論（2）根據(jù)對(duì)稱軸的定義即可求出（3）由題意可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=k在x，上有交點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求出f（x）的值域，可得k的范圍【解答】解：（1）f（x）=22cos2（+x）cos2x=1+2sin（2x），由2x，kZ，

24、得x，kZ，可得函數(shù)f（x）在x時(shí)的增區(qū)間為，（2）由2x=k+，kZ，得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為x=+，kZ，（3）x，2x，即21+2sin（2x）3，要使方程f（x）k=0在x，上有解，只有k【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性、單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題21如圖，ABC中，sin=，AB=2，點(diǎn)D在線段AC上，且AD=2DC，BD=（）求：BC的長(zhǎng)；（）求DBC的面積【考點(diǎn)】解三角形【專題】計(jì)算題【分析】（）由sin的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求出cosABC的值，設(shè)BC=a，AC=3b，由AD=2DC得到AD=2b，DC=b，在三角形ABC中，利用余弦定理得到關(guān)于a與b的關(guān)系式，記作，在三角形ABD和三角形DBC中，利用余弦定理分別表示出cosADB和cosBDC，由于兩角互補(bǔ)，得到cosADB等于cosBDC，兩個(gè)關(guān)系式互為相反數(shù)，得到a與b的另一個(gè)關(guān)系式，記作，聯(lián)立即可求出a與b的值，即可得到BC的值；（）由角ABC的范圍和cosABC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinABC的值，由AB和BC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積，由AD=2DC，且三角形ABD和三角形BDC的高相等，得到三角形BDC的