歷年全國高考數(shù)學試卷附詳細解析

1、2015年高考數(shù)學試卷一、選擇題（每小題5分，共40分）1（5分）（2015原題）復數(shù)i（2i）=（）a1+2ib12ic1+2id12i2（5分）（2015原題）若x，y滿足，則z=x+2y的最大值為（）a0b1cd23（5分）（2015原題）執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結果為（）a（2，2）b（4，0）c（4，4）d（0，8）4（5分）（2015原題）設，是兩個不同的平面，m是直線且m，“m“是“”的（）a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件5（5分）（2015原題）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）a2+b4+c2+2d56（5分）（20

2、15原題）設an是等差數(shù)列，下列結論中正確的是（）a若a1+a20，則a2+a30b若a1+a30，則a1+a20c若0a1a2，則a2d若a10，則（a2a1）（a2a3）07（5分）（2015原題）如圖，函數(shù)f（x）的圖象為折線acb，則不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）ax|1x0bx|1x1cx|1x1dx|1x28（5分）（2015原題）汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（）a消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米b以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多c甲車以80千米/小時的

3、速度行駛1小時，消耗10升汽油d某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油二、填空題（每小題5分，共30分）9（5分）（2015原題）在（2+x）5的展開式中，x3的系數(shù)為（用數(shù)字作答）10（5分）（2015原題）已知雙曲線y2=1（a0）的一條漸近線為x+y=0，則a=11（5分）（2015原題）在極坐標系中，點（2，）到直線（cos+sin）=6的距離為12（5分）（2015原題）在abc中，a=4，b=5，c=6，則=13（5分）（2015原題）在abc中，點m，n滿足=2，=，若=x+y，則x=，y=14（5分）（2015原題）設函數(shù)f（x）=，若a=1

4、，則f（x）的最小值為；若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是三、解答題（共6小題，共80分）15（13分）（2015原題）已知函數(shù)f（x）=sincossin（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在區(qū)間，0上的最小值16（13分）（2015原題）a，b兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：a組：10，11，12，13，14，15，16b組；12，13，15，16，17，14，a假設所有病人的康復時間相互獨立，從a，b兩組隨機各選1人，a組選出的人記為甲，b組選出的人記為乙（）求甲的康復時間不少于14天的概率；（）如果a=25，求甲的康復時間比乙的康復時

5、間長的概率；（）當a為何值時，a，b兩組病人康復時間的方差相等？（結論不要求證明）17（14分）（2015原題）如圖，在四棱錐aefcb中，aef為等邊三角形，平面aef平面efcb，efbc，bc=4，ef=2a，ebc=fcb=60，o為ef的中點（）求證：aobe（）求二面角faeb的余弦值；（）若be平面aoc，求a的值18（13分）（2015原題）已知函數(shù)f（x）=ln，（）求曲線y=f（x）在點（0，f（0）處的切線方程；（）求證，當x（0，1）時，f（x）；（）設實數(shù)k使得f（x）對x（0，1）恒成立，求k的最大值19（14分）（2015原題）已知橢圓c：+=1（ab0）的離心率

6、為，點p（0，1）和點a（m，n）（m0）都在橢圓c上，直線pa交x軸于點m（）求橢圓c的方程，并求點m的坐標（用m，n表示）；（）設o為原點，點b與點a關于x軸對稱，直線pb交x軸于點n，問：y軸上是否存在點q，使得oqm=onq？若存在，求點q的坐標，若不存在，說明理由20（13分）（2015原題）已知數(shù)列an滿足：a1n*，a136，且an+1=（n=1，2，），記集合m=an|nn*（）若a1=6，寫出集合m的所有元素；（）如集合m存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：m的所有元素都是3的倍數(shù)；（）求集合m的元素個數(shù)的最大值2015年原題市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（每小題5分，共40分）

7、1（5分）（2015原題）復數(shù)i（2i）=（）a1+2ib12ic1+2id12i【分析】利用復數(shù)的運算法則解答【解答】解：原式=2ii2=2i（1）=1+2i；故選：a【點評】本題考查了復數(shù)的運算；關鍵是熟記運算法則注意i2=12（5分）（2015原題）若x，y滿足，則z=x+2y的最大值為（）a0b1cd2【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，再將目標函數(shù)z=x+2y對應的直線進行平移，即可求出z取得最大值【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，當l經(jīng)過點b時，目標函數(shù)z達到最大值z最大值=0+21=2故選：d【點評】本題給出二元一次不等式組，求目標函數(shù)z=x+2y的最大值，著重考查了二

8、元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎題3（5分）（2015原題）執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結果為（）a（2，2）b（4，0）c（4，4）d（0，8）【分析】模擬程序框圖的運行過程，即可得出程序運行后輸出的結果【解答】解：模擬程序框圖的運行過程，如下；x=1，y=1，k=0時，s=xy=0，t=x+y=2；x=s=0，y=t=2，k=1時，s=xy=2，t=x+y=2；x=s=2，y=t=2，k=2時，s=xy=4，t=x+y=0；x=s=4，y=t=0，k=3時，循環(huán)終止，輸出（x，y）是（4，0）故選：b【點評】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運

9、行過程，是基礎題目4（5分）（2015原題）設，是兩個不同的平面，m是直線且m，“m“是“”的（）a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件【分析】m并得不到，根據(jù)面面平行的判定定理，只有內(nèi)的兩相交直線都平行于，而，并且m，顯然能得到m，這樣即可找出正確選項【解答】解：m，m得不到，因為，可能相交，只要m和，的交線平行即可得到m；，m，m和沒有公共點，m，即能得到m；“m”是“”的必要不充分條件故選b【點評】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念5（5分）（2015原題）某三棱錐的

10、三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）a2+b4+c2+2d5【分析】根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：oa面abc，ac=ab，e為bc中點，ea=2，ea=eb=1，oa=1，：bc面aeo，ac=，oe=判斷幾何體的各個面的特點，計算邊長，求解面積【解答】解：根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：oa面abc，ac=ab，e為bc中點，ea=2，ec=eb=1，oa=1，可得aebc，bcoa，運用直線平面的垂直得出：bc面aeo，ac=，oe=sabc=22=2，soac=soab=1=sbco=2=故該三棱錐的表面積是2，故選：c【點評】本題考查了空間幾何體的三視圖的運用，空間想象能力，計算能力，關鍵

11、是恢復直觀圖，得出幾何體的性質(zhì)6（5分）（2015原題）設an是等差數(shù)列，下列結論中正確的是（）a若a1+a20，則a2+a30b若a1+a30，則a1+a20c若0a1a2，則a2d若a10，則（a2a1）（a2a3）0【分析】對選項分別進行判斷，即可得出結論【解答】解：若a1+a20，則2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0時，結論成立，即a不正確；若a1+a30，則a1+a2=2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0時，結論成立，即b不正確；an是等差數(shù)列，0a1a2，2a2=a1+a32，a2，即c正確；若a10，則（a2a1）（a2a3）=d20，即d不正確故選：c

12、【點評】本題考查等差數(shù)列的通項，考查學生的計算能力，比較基礎7（5分）（2015原題）如圖，函數(shù)f（x）的圖象為折線acb，則不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）ax|1x0bx|1x1cx|1x1dx|1x2【分析】在已知坐標系內(nèi)作出y=log2（x+1）的圖象，利用數(shù)形結合得到不等式的解集【解答】解：由已知f（x）的圖象，在此坐標系內(nèi)作出y=log2（x+1）的圖象，如圖滿足不等式f（x）log2（x+1）的x范圍是1x1；所以不等式f（x）log2（x+1）的解集是x|1x1；故選c【點評】本題考查了數(shù)形結合求不等式的解集；用到了圖象的平移8（5分）（2015原題）汽車的“燃油效

13、率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下燃油效率情況，下列敘述中正確的是（）a消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米b以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多c甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油d某城市機動車最高限速80千米/小時，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【分析】根據(jù)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，以及圖象，分別判斷各個選項即可【解答】解：對于選項a，從圖中可以看出當乙車的行駛速度大于40千米每小時時的燃油效率大于5千米每升，故乙車消耗1升汽油的行駛路程遠大于5千米，故a錯誤；對于選項b，以相同速度

14、行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最小，故b錯誤，對于選項c，甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，里程為80千米，燃油效率為10，故消耗8升汽油，故c錯誤，對于選項d，因為在速度低于80千米/小時，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故d正確【點評】本題考查了函數(shù)圖象的識別，關鍵掌握題意，屬于基礎題二、填空題（每小題5分，共30分）9（5分）（2015原題）在（2+x）5的展開式中，x3的系數(shù)為40（用數(shù)字作答）【分析】寫出二項式定理展開式的通項公式，利用x的指數(shù)為3，求出r，然后求解所求數(shù)值【解答】解：（2+x）5的展開式的通項公式為：tr+1=25rxr，所求x3的系數(shù)為：=40故答案為：4

15、0【點評】本題考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的求法，考查計算能力10（5分）（2015原題）已知雙曲線y2=1（a0）的一條漸近線為x+y=0，則a=【分析】運用雙曲線的漸近線方程為y=，結合條件可得=，即可得到a的值【解答】解：雙曲線y2=1的漸近線方程為y=，由題意可得=，解得a=故答案為：【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的漸近線方程的求法，屬于基礎題11（5分）（2015原題）在極坐標系中，點（2，）到直線（cos+sin）=6的距離為1【分析】化為直角坐標，再利用點到直線的距離公式距離公式即可得出【解答】解：點p（2，）化為p直線（cos+sin）=6化為點p到直線

16、的距離d=1故答案為：1【點評】本題考查了極坐標化為直角坐標方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題12（5分）（2015原題）在abc中，a=4，b=5，c=6，則=1【分析】利用余弦定理求出cosc，cosa，即可得出結論【解答】解：abc中，a=4，b=5，c=6，cosc=，cosa=sinc=，sina=，=1故答案為：1【點評】本題考查余弦定理，考查學生的計算能力，比較基礎13（5分）（2015原題）在abc中，點m，n滿足=2，=，若=x+y，則x=，y=【分析】首先利用向量的三角形法則，將所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值【解答】解：由已

17、知得到=；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案為：【點評】本題考查了平面向量基本定理的運用，一個向量用一組基底表示，存在唯一的實數(shù)對（x，y）使，向量等式成立14（5分）（2015原題）設函數(shù)f（x）=，若a=1，則f（x）的最小值為1；若f（x）恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是a1或a2【分析】分別求出分段的函數(shù)的最小值，即可得到函數(shù)的最小值；分別設h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），分兩種情況討論，即可求出a的范圍【解答】解：當a=1時，f（x）=，當x1時，f（x）=2x1為增函數(shù)，f（x）1，當x1時，f（x）=4（x1）（x2）=4（x23x+2）=4（x）21

18、，當1x時，函數(shù)單調(diào)遞減，當x時，函數(shù)單調(diào)遞增，故當x=時，f（x）min=f（）=1，設h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a）若在x1時，h（x）=與x軸有一個交點，所以a0，并且當x=1時，h（1）=2a0，所以0a2，而函數(shù)g（x）=4（xa）（x2a）有一個交點，所以2a1，且a1，所以a1，若函數(shù)h（x）=2xa在x1時，與x軸沒有交點，則函數(shù)g（x）=4（xa）（x2a）有兩個交點，當a0時，h（x）與x軸無交點，g（x）無交點，所以不滿足題意（舍去），當h（1）=2a0時，即a2時，g（x）的兩個交點滿足x1=a，x2=2a，都是滿足題意的，綜上所述a的取值范圍是a1，

19、或a2【點評】本題考查了分段函數(shù)的問題，以及函數(shù)的零點問題，培養(yǎng)了學生的轉化能力和運算能力以及分類能力，屬于中檔題三、解答題（共6小題，共80分）15（13分）（2015原題）已知函數(shù)f（x）=sincossin（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在區(qū)間，0上的最小值【分析】（）運用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由正弦函數(shù)的周期，即可得到所求；（）由x的范圍，可得x+的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求得最小值【解答】解：（）f（x）=sincossin=sinx（1cosx）=sinxcos+cosxsin=sin（x+），則f（x）的最小正周期為2；（）由x0，可

20、得x+，即有1，則當x=時，sin（x+）取得最小值1，則有f（x）在區(qū)間，0上的最小值為1【點評】本題考查二倍角公式和兩角和的正弦公式，同時考查正弦函數(shù)的周期和值域，考查運算能力，屬于中檔題16（13分）（2015原題）a，b兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：a組：10，11，12，13，14，15，16b組；12，13，15，16，17，14，a假設所有病人的康復時間相互獨立，從a，b兩組隨機各選1人，a組選出的人記為甲，b組選出的人記為乙（）求甲的康復時間不少于14天的概率；（）如果a=25，求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率；（）當a為何值時，a，b

21、兩組病人康復時間的方差相等？（結論不要求證明）【分析】設事件ai為“甲是a組的第i個人”，事件bi為“乙是b組的第i個人”，由題意可知p（ai）=p（bi）=，i=1，2，7（）事件等價于“甲是a組的第5或第6或第7個人”，由概率公式可得；（）設事件“甲的康復時間比乙的康復時間長”c=a4b1a5b1a6b1a7b1a5b2a6b2a7b2a7b3a6b6a7b6，易得p（c）=10p（a4b1），易得答案；（）由方差的公式可得【解答】解：設事件ai為“甲是a組的第i個人”，事件bi為“乙是b組的第i個人”，由題意可知p（ai）=p（bi）=，i=1，2，7（）事件“甲的康復時間不少于14天”

22、等價于“甲是a組的第5或第6或第7個人”甲的康復時間不少于14天的概率p（a5a6a7）=p（a5）+p（a6）+p（a7）=；（）設事件c為“甲的康復時間比乙的康復時間長”，則c=a4b1a5b1a6b1a7b1a5b2a6b2a7b2a7b3a6b6a7b6，p（c）=p（a4b1）+p（a5b1）+p（a6b1）p+（a7b1）+p（a5b2）+p（a6b2）+p（a7b2）+p（a7b3）+p（a6b6）+p（a7b6）=10p（a4b1）=10p（a4）p（b1）=（）當a為11或18時，a，b兩組病人康復時間的方差相等【點評】本題考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，

23、屬基礎題17（14分）（2015原題）如圖，在四棱錐aefcb中，aef為等邊三角形，平面aef平面efcb，efbc，bc=4，ef=2a，ebc=fcb=60，o為ef的中點（）求證：aobe（）求二面角faeb的余弦值；（）若be平面aoc，求a的值【分析】（）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明aobe（）建立空間坐標系，利用向量法即可求二面角faeb的余弦值；（）利用線面垂直的性質(zhì)，結合向量法即可求a的值【解答】證明：（）aef為等邊三角形，o為ef的中點，aoef，平面aef平面efcb，ao平面aef，ao平面efcbaobe（）取bc的中點g，連接og，efcb是等腰梯形，ogef，

24、由（）知ao平面efcb，og平面efcb，oaog，建立如圖的空間坐標系，則oe=a，bg=2，gh=a，（a2），bh=2a，eh=bhtan60=，則e（a，0，0），a（0，0，a），b（2，0），=（a，0，a），=（a2，0），設平面aeb的法向量為=（x，y，z），則，即，令z=1，則x=，y=1，即=（，1，1），平面aef的法向量為，則cos=即二面角faeb的余弦值為；（）若be平面aoc，則beoc，即=0，=（a2，0），=（2，0），=2（a2）3（a2）2=0，解得a=【點評】本題主要考查空間直線和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐標系利用向量法是解決空間角的常

25、用方法18（13分）（2015原題）已知函數(shù)f（x）=ln，（）求曲線y=f（x）在點（0，f（0）處的切線方程；（）求證，當x（0，1）時，f（x）；（）設實數(shù)k使得f（x）對x（0，1）恒成立，求k的最大值【分析】（1）利用函數(shù)的導數(shù)求在曲線上某點處的切線方程（2）構造新函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明命題成立（3）對k進行討論，利用新函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)k的取值范圍【解答】解答：（1）因為f（x）=ln（1+x）ln（1x）所以又因為f（0）=0，所以曲線y=f（x）在點（0，f（0）處的切線方程為y=2x（2）證明：令g（x）=f（x）2（x+），則g（x）=f（x）2（1+x2）=，因為g（x

26、）0（0x1），所以g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增所以g（x）g（0）=0，x（0，1），即當x（0，1）時，f（x）2（x+）（3）由（2）知，當k2時，f（x）對x（0，1）恒成立當k2時，令h（x）=f（x），則h（x）=f（x）k（1+x2）=，所以當時，h（x）0，因此h（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減當時，h（x）h（0）=0，即f（x）所以當k2時，f（x）并非對x（0，1）恒成立綜上所知，k的最大值為2【點評】本題主要考查切線方程的求法及新函數(shù)的單調(diào)性的求解證明在高考中屬常考題型，難度適中19（14分）（2015原題）已知橢圓c：+=1（ab0）的離心率為，點p（0，1）和點

27、a（m，n）（m0）都在橢圓c上，直線pa交x軸于點m（）求橢圓c的方程，并求點m的坐標（用m，n表示）；（）設o為原點，點b與點a關于x軸對稱，直線pb交x軸于點n，問：y軸上是否存在點q，使得oqm=onq？若存在，求點q的坐標，若不存在，說明理由【分析】（i）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得出求解即可（ii）求解得出m（，0），n（，0），運用圖形得出tanoqm=tanonq，=，求解即可得出即yq2=xmxn，+n2，根據(jù)m，m的關系整體求解【解答】解：（）由題意得出解得：a=，b=1，c=1+y2=1，p（0，1）和點a（m，n），1n1pa的方程為：y1=x，y=0時，xm=m（，0）（ii）點b與點a關于x軸對稱，點a（m，n）（m0）點b（m，n）（m0）直線pb交x軸于點n，n（，0），存在點q，使得oqm=onq，q（0，yq），tanoqm=tanonq，=，即yq2=xmxn，+n2=1yq2=2，yq=，故y軸上存在點q，使得oqm=onq，q（0，）或q（0，）【點評】本題考查了直線圓錐曲線的方程，位置關系，數(shù)形結合的思想的運用，運用代數(shù)的方法求解幾何問題，難度較大，屬于難題20（13分）（2015原題）已知數(shù)列an滿足：