2011高考數學北師大版一輪復習：1.4《二次函數與簡單的冪函數》

1、第四節(jié) 二次函數與簡單的冪函數,1二次函數的三種表示形式 (1)一般式：f(x) (2)頂點式：若二次函數的頂點坐標為(k，h)，則其解析式為f(x) (3)兩根式：若二次函數圖像與x軸的交點坐標為(x1,0)，(x2,0)，則其解析式為f(x) ,ax2bxc(a0),a(xk)2h(a0),a(xx1)(xx2)(a0),知識整合,2二次函數的圖像和性質,R,R,單調增,單調減,偶函數,非奇非偶函數,開口方向,3.冪函數的定義 形如yx(R)的函數稱為冪函數，其中x是 ，為 ,問題釋疑: 冪函數與指數函數有何不同？ 【提示】 本質區(qū)別在于自變量的位置不同，冪函數的自變量在底數位置，而指數函

2、數的自變量在指數位置,自變量,常數,1若f(x)既是冪函數又是二次函數，則f(x)是( ) Af(x)x21 Bf(x)5x2 Cf(x)x2 Df(x)x2 【解析】 形如f(x)xd的函數是冪函數，其中d是常數 【答案】 D,活學巧用,2設 ，則使函數yx的定義域為R且為奇函數的所有值為( ) A1,3 B1,1 C1,3 D1,1,3 【解析】 yx1的定義域為(，0)(0，)， 1不合題意排除B、C、D，故選A. 【答案】 A,3若函數f(x)(m1)x2(m21)x1是偶函數，則在區(qū)間(，0上，f(x)是( ) A增函數 B減函數 C常數函數 D可能是增函數，也可能是常數函數 【解析

3、】 f(x)為偶函數，m210，即m1. 當m1時，f(x)1為常數函數； 當m1時，f(x)2x21，在(，0上為增函數 【答案】 D,4拋物線y8x2(m1)xm7的頂點在x軸上，則m_. 【解析】 因 0， 48(m7)(m1)20. m9或25. 【答案】 9或25,5設函數yf(x)的圖像關于直線x1對稱，若當x1時，yx21，則當x1時，y_.,【解析】 首先作出當x1時，y=x2+1的圖像，如圖所示，則關于x=1與之對稱部分仍是拋物線，頂點為(2,1)，于是當x1時，y=(x-2)2+1，即y=x2-4x+5. 【答案】 x2-4x+5,冪函數的定義,例1 已知函數f(x)(m2

4、m1)x5m3，m為何值時，f(x)： (1)是冪函數； (2)是冪函數，且是(0，)上的增函數； (3)是正比例函數； 【思路點撥】 (1)(3)分別利用相應函數的定義確定m的值，(2)中利用冪函數的性質與冪指數之間關系，確定m.,感悟高考,【解析】 (1)f(x)是冪函數，故 m2m11，即m2m20， 解得m2或m1. (2)若是冪函數且又是(0，)上的增函數， 則5m30，即m ， m2(舍去)，故m1. (3)若f(x)是正比例函數，則5m31， 解得m ， 此時m2m10，故m .,二次函數的最值,例2:已知f(x)x2ax(a0)在區(qū)間0,1上的最小值為g(a)，求g(a)的最大

5、值,注: (1)含有參數的二次函數的最值問題，因其頂點相對于定義域區(qū)間的位置不同，其最值狀況也不同，所以要根據二者的相關位置進行分類討論 (2)本題是“定”二次函數，“動”區(qū)間，依照此法也可以討論“動”二次函數，“定”區(qū)間為二次函數問題,1函數f(x)x24x4在閉區(qū)間t，t1(tR)上的最小值記為g(t) (1)試寫出g(t)的函數表達式； (2)作g(t)的圖象并寫出g(t)的最小值 【解析】 (1)f(x)x24x4(x2)28. 當t2時，f(x)在t，t1上是增函數， g(t)f(t)t24t4； 當t2t1，即1t2時，g(t)f(2)8； 當t12，即t1時，f(x)在t，t1上

6、是減函數， g(t)f(t1)t22t7.,從而g(t)= (2)g(t)的圖象如圖所示 g(t)的最小值為-8.,二次函數的綜合問題,例3:已知函數f(x)ax2bx(a0)滿足條件f(x5)f(x3)，且方程f(x)x有等根 (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在實數m、n(mn)，使f(x)的定義域和值域分別是m，n和3m,3n？如果存在，求出m、n的值；若不存在，說明理由,f(x)在m，n上為增函數，f(m)3m，且f(n)3n，m，n是方程f(x)3x的兩個不等根， x2x3x，則x24x0，解得x0或4，mn m4，n0.,注: 本題由f(x5)f(x3)知道f(x)關于x1對稱，若f(ax)f(bx)，則f(x)關于x 對稱， 若f(xa)f(xb)，則f(a)為周期函數；其周期為ab.,2已知函數f(x)ax24xb(a0，a、bR)，設關于x的方程f(x)0的兩實根為x1、x2，方程f(x)x的兩實根為、. (1)若|1，求a、b的關系式； (2)若a、b均為負整數，且|1，求f(x)的解析式,精練解析,二次函數是高考的熱點問題，其考查形式多以選擇、填空形式出現(xiàn)，其難度為中檔題，在考查時易與不等式、集合、結合考查 1若函數y(x1)(xa)為偶函數，則a等于( ) A2 B1 C1 D2 【解析