偏微分方程期末復(fù)習(xí)筆記

1、偏微分方程期末考試復(fù)習(xí)一、波動方程（雙曲型方程）（一）初值問題（柯西問題）1、一維情形（1）解法（傳播波法）：由疊加原理，原初值問題的解可表示為下述初值問題的解之和，（I） （）其中，問題（I）的解由達(dá)朗貝爾公式給出：由齊次化原理，問題（）的解為：其中，是下述初值問題的解：，利用達(dá)朗貝爾公式得從而問題（）的解為：綜上所述，原初值問題的解為：（2）依賴區(qū)間、決定區(qū)域、影響區(qū)域、特征線：依賴區(qū)間：點(diǎn)(x , t)的依賴區(qū)間為：x-at , x+at;決定區(qū)域：區(qū)間的決定區(qū)域?yàn)椋?x,t)|影響區(qū)域：區(qū)間的影響區(qū)域?yàn)椋?x,t)|特征線：（3）解的驗(yàn)證：見課本P10, P142、三維情形（1）解法（

2、球面平均法）：由疊加原理，原初值問題的解可表示為下述初值問題的解之和，（I） （）其中，問題（I）的解由泊松公式給出：由齊次化原理，問題（）的解為：其中，是下述初值問題的解：，利用泊松公式得從而問題（）的解為：綜上所述，原初值問題的解為：（2）依賴區(qū)間、決定區(qū)域、影響區(qū)域、特征錐、惠更斯原理（無后效現(xiàn)象）：依賴區(qū)域（球面）：點(diǎn)的依賴區(qū)域?yàn)椋粵Q定區(qū)域（錐體）：球面決定區(qū)域?yàn)椋?；影響區(qū)域（錐面）：點(diǎn)的影響區(qū)域?yàn)椋?特征錐：惠更斯原理（無后效現(xiàn)象）見課本P35（3）解的驗(yàn)證：見課本P29, P323、二維情形（1）解法（降維法）：由疊加原理，原初值問題的解可表示為下述初值問題的解之和，（I） （）

3、其中，問題（I）的解由二維泊松公式給出：由齊次化原理，問題（）的解為：其中，是下述初值問題的解：，利用泊松公式得從而問題（）的解為：綜上所述，原初值問題的解為：（2）依賴區(qū)間、決定區(qū)域、影響區(qū)域、特征錐、后效現(xiàn)象：依賴區(qū)域（圓餅）：點(diǎn)的依賴區(qū)域?yàn)椋粵Q定區(qū)域（錐體）：圓餅決定區(qū)域?yàn)椋?；影響區(qū)域（錐體）：點(diǎn)的影響區(qū)域?yàn)椋?特征錐：后效現(xiàn)象見課本P35、36（3）解的驗(yàn)證：課本沒有，有興趣的童鞋自己動手豐衣足食。（二）初邊值問題（1）解法（分離變量法）：由疊加原理，原初值問題的解可表示為下述初值問題的解之和，（I） （）用分離變量法（過程請腦內(nèi)補(bǔ)完）得到（I）的解為：其中用齊次化原理得到（）的解：

4、從而原初邊值問題的解為：注：非齊次邊界條件的情形見課本P21、22（2）解的驗(yàn)證、相容性條件（見課本P19）相容性條件：函數(shù)，并且二、熱傳導(dǎo)方程（拋物型方程）（一）初邊值問題（注：由于老師講課以及課后習(xí)題中都沒有非齊次方程的初邊值問題，估計不會考；但是邊界條件有可能給第一、第二、第三類邊界條件，這里的解法僅一第一類齊次邊界條件為例）（1）解法（分離變量法）：用分離變量法（過程請腦內(nèi)補(bǔ)完）得到原方程的解為：其中注：非齊次邊界條件的情形見課本P21、22（2）解的驗(yàn)證、相容性條件（見課本P51、52）（二）柯西問題（1）傅里葉變換（必考的重點(diǎn)）一維情形：傅里葉變換：傅里葉逆變換：高維情形：設(shè)，傅里

5、葉變換：傅里葉逆變換：傅里葉變換的性質(zhì)：性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 性質(zhì)4 性質(zhì)5 （2）解法：由疊加原理，原初值問題的解可表示為下述初值問題的解之和，（I） （）其中問題（I）的解由泊松公式給出：用齊次化原理得到問題（）的解：從而原柯西問題的解為：（3）解的驗(yàn)證（見課本P58、59）（三）極值原理、定解問題解的唯一性與穩(wěn)定性（見課本P6065）極值原理 熱傳導(dǎo)方程（）的解u(x,t)在拋物邊界上取得極大、極小值。三、調(diào)和方程（橢圓型方程）（一）拉普拉斯算子、梯度與散度1、幾個常用的關(guān)系式：； ，為單位向量； 2、拉普拉斯算子在不同坐標(biāo)系下的形式：直角坐標(biāo)系：球面坐標(biāo)系：柱面坐標(biāo)系：極坐標(biāo)系：（二

6、）變分原理（見課本P71、72）（算是難點(diǎn)，但期末考估計不會涉及，此處從略）（三）格林公式及其應(yīng)用1、格林公式：2、格林第一公式：3、格林第二公式：4、調(diào)和函數(shù)的基本積分公式：若，則若，則5、若在以曲面為邊界的區(qū)域內(nèi)調(diào)和，在上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則.由此得到諾依曼邊界條件有解的必要條件是函數(shù)滿足6、球面平均值公式（條件略）： 7、球體平均值公式（條件略）： 8、極值原理、第一邊值問題的唯一性及穩(wěn)定性（略）（四）格林函數(shù)1、格林函數(shù)法：調(diào)和函數(shù)的第一邊值問題的解可以表示為：2、格林函數(shù)的性質(zhì)： 性質(zhì)1 格林函數(shù)除一點(diǎn)外處處調(diào)和，而當(dāng)時，趨于無窮大的階數(shù)與相同；性質(zhì) 2 ；性質(zhì) 3 性質(zhì) 4 性質(zhì) 5 3、靜電原像法：（1）球的泊松公式：或（2）圓的泊松公式：或（3）