2020年高考模擬熱點(diǎn)交匯試題匯編之函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 人教版（通用）

1、(命題者的首選資料)1（西安地區(qū)八校聯(lián)考）設(shè)函數(shù). （）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （）若對(duì)任意的不等式| f（x）|a恒成立，求a的取值范圍.解：（）（1分）令得的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a）令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（，a）和（3a，+）（4分）當(dāng)x=a時(shí)，極小值=當(dāng)x=3a時(shí)，極小值=b. （6分） （）由|a，得ax2+4ax3a2a.（7分）0a2a.上是減函數(shù). （9分）于是，對(duì)任意，不等式恒成立，等價(jià)于又（12分）2.(華南師大附中)設(shè) f (x) = px2 ln x，且 f (e) = qe2（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(I)求 p 與 q 的關(guān)系；(II)若 f (x) 在其定義域

2、內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求 p 的取值范圍；(III)設(shè) g(x) = ，若在 1,e 上至少存在一點(diǎn)x0，使得 f (x0) g(x0) 成立, 求實(shí)數(shù) p 的取值范圍.解：(I) 由題意得 f (e) = pe2ln e = qe2 1分 (pq) (e + ) = 0 2分而 e + 0p = q 3分(II)由 (I) 知 f (x) = px2ln x f(x) = p + = 4分令 h(x) = px 22x + p，要使 f (x) 在其定義域 (0,+) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需 h(x) 在 (0,+) 內(nèi)滿足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 當(dāng) p = 0時(shí)， h(x) =

3、2x， x 0， h(x) 0， f(x) = 0時(shí)，h(x) = px 22x + p，其圖象為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為 x = (0,+)，h(x)min = p只需 p1，即 p1 時(shí) h(x)0，f(x)0f (x) 在 (0,+) 內(nèi)為單調(diào)遞增，故 p1適合題意. 7分 當(dāng) p 0時(shí)，h(x) = px 22x + p，其圖象為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為 x = (0,+)只需 h(0)0，即 p0時(shí) h(x)0在 (0,+) 恒成立.故 p 0 = 1，且 x = 1 時(shí)等號(hào)成立，故 ()max = 1p1 7分由 f(x)0 p (1 + )0 p p()min，x 0而 0

4、且 x 0 時(shí)， 0，故 p0 8分綜上可得，p1或 p0 9分(III)g(x) = 在 1,e 上是減函數(shù)x = e 時(shí)，g(x)min = 2，x = 1 時(shí)，g(x)max = 2e即g(x) 2,2e 10分 p0 時(shí)，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 遞減 f (x)max = f (1) = 0 2，不合題意。 11分 0 p 1 時(shí)，由x 1,e x0f (x) = p (x)2ln xx2ln x右邊為 f (x) 當(dāng) p = 1 時(shí)的表達(dá)式，故在 1,e 遞增 f (x)x2ln xe2ln e = e2 2，不合題意。 12分 p1 時(shí)，由 (II) 知 f (x

5、) 在 1,e 連續(xù)遞增，f (1) = 0 g(x)min = 2，x 1,e f (x)max = f (e) = p (e)2ln e 2 p 13分綜上，p 的取值范圍是 (,+) 14分3(山西省太原市)如果在某個(gè)區(qū)間I內(nèi)滿足：對(duì)任意的，則稱在I上為下凸函數(shù)；已知函數(shù) （）證明：當(dāng)時(shí)，在上為下凸函數(shù)； （）若為的導(dǎo)函數(shù)，且時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解（）任取則2分3分又4分又5分即.6分上的下凸函數(shù). （），8分10分恒成立.12分4(山西省太原市)設(shè)，函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）. （）判斷的單調(diào)性； （）若上恒成立，求a的取值范圍.解（）由已知2分令當(dāng)在R上為減函數(shù).當(dāng)在R上為減函數(shù).4

6、分當(dāng)時(shí)，由得由得上為增函數(shù)；上為減函數(shù).6分 （）當(dāng)上為減函數(shù).10分當(dāng)在1，2上不恒成立，a的取值范圍是12分5.(2020屆江蘇九大名校第二次聯(lián)考)已知函數(shù)，的最小值恰好是方程的三個(gè)根，其中（1）求證：；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)若，求函數(shù)的解析式.解：（1）三個(gè)函數(shù)的最小值依次為，2分由，得 ，故方程的兩根是，故，5分，即 7分（2）依題意是方程的根，故有，且，得由10分 ；得，由（1）知，故， ， 14分6.(陜西省寶雞中學(xué)) 已知函數(shù).求函數(shù)的定義域和極值;若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.函數(shù)的圖象是否為中心對(duì)稱圖形?若是請(qǐng)指出對(duì)稱中心,并證明;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:

7、函數(shù)的定義域?yàn)?,2)(4,),由得:或,所以(,0)0(0,2)(4,6)6(6,)+0-0+極大值極小值由知或所以或由知函數(shù)的圖象若是中心對(duì)稱圖形,則中心一定在兩極值點(diǎn)的中心(3, ),下面證明:設(shè)是函數(shù)的圖象上的任意一點(diǎn),則是它關(guān)于(3, )的對(duì)稱點(diǎn),而,即也在函數(shù)的圖象上.所以函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形,其中心是(3, )7(山東省滋博市)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且 （）求a的取值范圍； （）求證：.解證：（I）易得1分的兩個(gè)極值點(diǎn)的兩個(gè)實(shí)根，又a03分7分（）設(shè)則由上單調(diào)遞增10分12分8.(寧夏銀川一中)f(x)=4x+ax2x3在1,1上是增函數(shù) （1）求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A； （

8、2）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=2x+x3兩非零實(shí)根為x1,x2,試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m使不等式m2+tm+1|x1x2|對(duì)于任意aA及t1,1恒成立，若存在求出m取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由。解（14分）（1）f(x)=4+2ax2x2，由題意f(x)0在1,1上恒成立 （2分）A=1,1 (5分)（2）方程f(x)=2x+x3可化為x(x2ax2)=0 x1x20, x1,x2是x2ax2=0兩根 （7分）=a2+80,x1+x2=a,x1x2=2 |x1x2|= 1a1 |x1x2|最大值是 （10分） m2+tm+13在t1,1上恒成立 令g(t)=mt+t22 m2或m2 (14分)故存在

9、m值，其取值范圍為(,22,+)9(山東省濟(jì)寧市)已知函數(shù) （）若，求的極大值； （）若在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求滿足此條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：（）定義域?yàn)?2分令 由由 4分即上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減時(shí)，F(xiàn)(x)取得極大值 6分 （）的定義域?yàn)?0+) 由G (x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減知：在(0+)內(nèi)恒成立 8分令，則 由當(dāng)時(shí)為增函數(shù)當(dāng)時(shí) 為減函數(shù) 10分當(dāng)x = e時(shí)，H(x)取最大值故只需恒成立，又當(dāng)時(shí)，只有一點(diǎn)x = e使得不影響其單調(diào)性 12分10.(湖北棗陽(yáng)一中)已知函數(shù) （I）求f(x)在0，1上的極值； （II）若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （III）若關(guān)于x的方程在0，1

10、上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解：（I），令（舍去）單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減. 上的極大值 （II）由得設(shè)，依題意知上恒成立， 上單增，要使不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng) （III）由令，當(dāng)上遞增；上遞減而，恰有兩個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于 12分11（江西省師大附中）已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，向量，滿足：y2f /(1)ln(x1)0.（1）求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式；（2）若x0，證明：f(x)；（3）若不等式x2f(x2)m22bm3時(shí)，x1，1及b1，1都恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)y2f /(1)ln(x1)0，y2f /(1)ln(x1)由于A、B、C三點(diǎn)共線即y2f /(1)ln

11、(x1)12分yf(x)ln(x1)12f /(1)f /(x)，得f /(1)，故f(x)ln(x1)4分（2）令g(x)f(x)，由g/(x) x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函數(shù)6分故g(x)g(0)0 即f(x)8分（3）原不等式等價(jià)于x2f(x2)m22bm3令h(x)x2f(x2)x2ln(1x2)，由h/(x)x10分 當(dāng)x1，1時(shí)，h(x)max0，m22bm30令Q(b)m22bm3，則得m3或m312分12.(天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué))已知函數(shù)（）判斷的奇偶性；（）在上求函數(shù)的極值；（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)都有解：（） 。3分()當(dāng)時(shí)， 5分令有，

12、 當(dāng)x變化時(shí)的變化情況如下表:由表可知：（+0增極大值減當(dāng)時(shí)取極大值. 7分()當(dāng)時(shí) 8分 考慮到：時(shí)，不等式等價(jià)于（1） 所以只要用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（1）對(duì)一切都成立即可9分（i）當(dāng)時(shí)，設(shè)， 10分故，即所以，當(dāng)時(shí)，不等式（1）都成立 11分（ii）假設(shè)時(shí)，不等式（1）都成立，即 當(dāng)時(shí)設(shè) 有 12分 故為增函數(shù)， 所以，即， 13分這說(shuō)明當(dāng)時(shí)不等式（1）也都成立，根據(jù)(i)(ii)可知不等式（1）對(duì)一切都成立，故原不等式對(duì)一切都成立. 14分13.(山東省濟(jì)南市)已知函數(shù)與的圖象都過(guò)點(diǎn)P(2，0)，且在點(diǎn)P處有公共切線(1)求f(x)和g(x)的表達(dá)式及在點(diǎn)P處的公切線方程；(2)設(shè)，其

13、中，求F(x)的單調(diào)區(qū)間解：(1)過(guò)點(diǎn)a=-8, 2分切線的斜率3分 的圖像過(guò)點(diǎn)4b+2c=0, ,解得：b=8,c=-164分 5分切線方程為即16x-y-32=06分(2) 8分 當(dāng)m0時(shí)，m1 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) F(x)的單調(diào)減區(qū)間是 F(x)的單調(diào)增區(qū)間是(1，)11分 即me2n3.解：（I）（2分）上是減函數(shù).（4分）（II）即h(x)的最小值大于k.（6分）則上單調(diào)遞增，又存在唯一實(shí)根a，且滿足當(dāng)故正整數(shù)k的最大值是3 9分（）由（）知 11分令，則ln(1+12)+ln(1+23)+ln1+n(n+1)（1+12）（1+23）1+n（n+1）e2n3 14分16.(陜西師大附中202

14、0年高三第八次)（）已知函數(shù),求證:函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；（）已知函數(shù),若在上至少存在一點(diǎn), 使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.1. 解：(), 而, 當(dāng)時(shí), , 因此在2,)上為減函數(shù). ()記, 則, 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), 故在時(shí)取極大值,同時(shí)也為最大值 依題意, 要在(0,)上存在一點(diǎn), 使成立.即使只需，即， 因此, 所求實(shí)數(shù)的取值范圍為. 17.(河南省開(kāi)封市)（本小題滿分12分） 已知f(x)=ln(x+2)x2+bx+c （）若函數(shù)f(x)在點(diǎn)（1，y）處的切線與直線3x+7y+2=0垂直，且f(1)=0，求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，3上的最小值； （）若f(x)在區(qū)間0，m上單調(diào)，求b的取值范圍

15、.解：（I） 直線3x+7y+2=0 斜率為令f(1)= 得b=4 又f(1)=ln114+c=0 c=5x0(0,)（,3）3y+0yln2+5極大8+ln5因?yàn)?+ln55+ln2 x=0時(shí) f(x)在0，3上最小值f(x)=5+ln2. （II）令0得b2x，在0，m上恒成立而 y=2x在0，m上單調(diào)遞增，最大值為2m b2m 令0 得b2x，而 y=2x在0，m單增，最小為y=b故b2m 或b時(shí)f(x)在0，m上單調(diào).18. (東北三校)已知函數(shù)f(x)=axx (a1) (1) 求函數(shù)f(x)的最小值, 并求最小值小于0時(shí)a的取值范圍.(2)令S(n)=Cn1f (1)Cn2f (2

16、) Cnn1f (n1),證明: S(n)(2n2)f ()解：(1) 由f (x)=axlna1 f (x)0 即: axlna1, ax , 又a1, xlogalna同理: f (x) 0, 有xlogalna 所以f (x)在(, logalna)上遞減, 在(logalna, )上遞增, 所以f(x)max=f(logalna) = , 若f(x)max0, 即 0, 則ln(lna)1, lna a 的取值范圍是 1a (2) S(n)=Cn1(alna1)Cn2(a2lna1) Cnn1(an1lna1), = (Cn1aCn2a2Cnn1an1)lna(Cn1Cn2Cnn1)

17、= Cn1(aan1)Cn2(a2an2)Cnn1(an1a)lna(2n2) = 不等式成立.19.(襄樊市)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，求證：x(1)解：函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?1，+)2分由 得：，x0f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，+)4分(2)證明：由(1)得x(1，0)時(shí)，當(dāng)x(0，+)時(shí)，且x1時(shí)，f (x)f (0)，0，x8分 令，則10分1x0時(shí)，x0時(shí)，且x1時(shí)，g (x)g (0)，即012分，x1時(shí)，x13分20（安徽省合肥市高三年級(jí)第一次模擬考試）已知 （1）求f(x)的值域； （2）若f(x)a23對(duì)于任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1

18、）f(x)=1,令f(x)=0，得x=1，fmax(x)=a1.3分 值域是（，a1 6分 （2）f(x)a23恒成立fmax(x)0，a2或a1時(shí)，m 1，由得x 1時(shí)，在（1，2），（2，+）上單增；在（m，1）單減.14分25（浙江省溫州市）已知函數(shù)f(x)=-x3+x2+b|x-1|+c ()若函數(shù)f(x)是R上減函數(shù)，試確定實(shí)數(shù)b的取值范圍； ()設(shè)f (x)在x=2時(shí)取極值，過(guò)點(diǎn)(0,2)作與f (x)相切的直線，問(wèn)是否至少存在兩條與f (x)相切的直線，若存在，試求出c的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由。26.解：()當(dāng)x1時(shí)，f(x)=-x3+x2+b(x-1)+c，f(x)=-3

19、x2+x+b0恒成立，則b3x2-x恒成立，由于3x2-x=3(x-)2-(x1)，因此當(dāng)x=1時(shí)，3x2-x有最小值2, b， 又f(x)在x=1處連續(xù) b的取值范圍是b2()f(x)在x=2時(shí)取極值，而當(dāng)x1時(shí)，f(x)=-3x2+x+bf(x)=-x3+x2+10|x-1|+c=若存在直線過(guò)點(diǎn)(0,2)與f(x)相切，設(shè)切點(diǎn)為(x，y)由于f(x)在R上連續(xù)，但在x=1處不可導(dǎo)，易知在x=1處切線不存在當(dāng)x1時(shí)，f(x)=-3x2+x+10，則-3x+x+10=，即(-3x+x+10)x=-x+x+10(x-1)+c-2，得-2x+x+12=c(*)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-2x3+x2+12

20、，g(x)=-6x2+x=-6(x-)2+，(x1)g(x)1時(shí)單調(diào)遞減，因此g(x)g(1)=，c，此時(shí)方程(*)有唯一解當(dāng)x1時(shí)，f (x)=-3x2+x-10，則-3x+x-10=，即(-3x+x+10)x=-x+x+10(x-1)+c-2，得-2x+x+12=c(*)構(gòu)造函數(shù)h(x)=-2x3+x2-8，h(x)=-6x2+x=-6(x-)2+,(x1)若x0，則h(x)0，此時(shí)h(x)單調(diào)遞減若x(，1)，則h(x)0，此時(shí)h(x)單調(diào)遞減經(jīng)計(jì)算h(0)=-8，h(1)=-，h()=-8+當(dāng)x-若c(-,-8)，方程(*)有一解； 若c=-8，方程(*)有兩解； 若c(-8，)，方程(*)有三解； 若c=-，方程(*)有兩解；若c(-,+)，方程(*)有一解；c-,方程(*)至少有一解；綜上所述，當(dāng)-c0a 0a 0a 0a 0時(shí)，若3x2，則4 af（x）16 a當(dāng)a 0時(shí)，若3x2，則16 af（x）4 a從而即11分存在實(shí)數(shù)，滿足題目要求.12分27.（重慶市南開(kāi)中學(xué)）已知函數(shù) （I）求f(x)在0，1上的極值； （II）若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； （III）若關(guān)于x的方程在0，1上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.18（12分）解：（I），令（舍去）單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減