江蘇省2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題3 導(dǎo)數(shù)(Ⅰ)（通用）

1、江蘇省2020屆高考數(shù)學(xué)（蘇教版）二輪復(fù)習(xí)專題3 導(dǎo)_數(shù)()導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的重要工具，同時(shí)也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，一直受到命題者的青睞.2020年考了2小題，并在17題中進(jìn)行了考查(運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)的最值)；2020年考了2小題，都是考查三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，顯然重復(fù)；2020年第8題和壓軸題都考查了導(dǎo)數(shù)；2020年12題和19題；2020年14題和18題.可以看出江蘇高考每年都會(huì)出現(xiàn)兩題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義或者導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究極值、單調(diào)性等.預(yù)測(cè)在2020年的高考題中：(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義；(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或者極值、最值.1(2020江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中

2、，點(diǎn)P在曲線C：yx310x3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)解析：y3x2102x2，又點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，故x2.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,15)答案：(2,15)2(2020江蘇高考)函數(shù)yx2(x0)的圖象在點(diǎn)(ak，a)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak1，k為正整數(shù)，a116，則a1a3a5_.解析：在點(diǎn)(ak，a)處的切線方程為ya2ak(xak)，當(dāng)y0時(shí)，解得x，所以ak1.則a1a3a5164121.答案：213若函數(shù)f(x)ex2xa在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：當(dāng)直線y2xa和yex相切時(shí)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)切點(diǎn)是(ln 2

3、,2)，直線方程是y2x22ln 2，將直線y2x22ln 2向上平移，這時(shí)兩曲線必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)答案：(22ln 2，)4(2020江蘇高考)將邊長(zhǎng)為1 m的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S，則S的最小值是_解析：設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x，則S(0x1)法一：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值S(x)，S(x).令S(x)0，又0x1，所以x.當(dāng)x時(shí)，S(x)0，函數(shù)單調(diào)遞增；故當(dāng)x時(shí)，S取最小值為.法二：利用函數(shù)的方法求最小值令3xt，t(2,3)，則S.故當(dāng)，x時(shí)，S取最小值為.答案：5(2020江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P是函數(shù)f(x)ex(x

4、0)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在P處的切線l交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線交y軸于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是_解析：設(shè)P(x0，ex0)，則l：ye x0e x0 (xx0)，所以M(0，(1x0)e x0)過(guò)點(diǎn)P作l的垂線其方程為ye x0ex0 (xx0)，N(0，e x0x0ex0)，所以t(1x0)e x0e x0x0ex0e x0x0(ex0e x0)t(ex0ex0)(1x0)，所以t在(0,1)上單調(diào)增，在(1，)上單調(diào)減，所以當(dāng)x01時(shí)，t取最大值tmax.答案：(2020揚(yáng)州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)exax，g(x)ex ln x(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)

5、若曲線yf(x)在x1處的切線也是拋物線y24(x1)的切線，求a的值；(2)若對(duì)于任意xR，f(x)0恒成立，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)當(dāng)a1時(shí)，是否存在x0(0，)，使曲線C：yg(x)f(x)在點(diǎn)xx0處的切線斜率與f(x)在R上的最小值相等？若存在，求符合條件的x0的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)f(x)exa，f(1)ea，所以在x1處的切線為y(ea)(ea)(x1)，即y(ea)x.與y24(x1)聯(lián)立，消去y得(ea)2x24x40，由0知，a1e或a1e.(2)f(x)exa，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，f(x)在R上單調(diào)遞增，且當(dāng)x時(shí)，ex0，ax，所以f(x)，故f(x

6、)0不恒成立，所以a0不合題意；當(dāng)a0時(shí)，f(x)ex0對(duì)xR恒成立，所以a0符合題意；當(dāng)a0時(shí)，令f(x)exa0，得xln(a)，當(dāng)x(，ln(a)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(，ln(a)上單調(diào)遞減，在(ln(a)，)上單調(diào)遞增，所以f(x)minf(ln(a)aa ln(a)0，所以ae.又a0，所以ln x10.令(x)ln x1，則(x)，當(dāng)0x1時(shí)，(x)1時(shí)，(x)0.所以(x)ln x1在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增所以(x)(1)0，故方程ex0有惟一解為1.所以存在符合條件的x0，且僅有一個(gè)x01.第一問(wèn)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二問(wèn)還可采用分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)求最

7、值的方法，不過(guò)也要進(jìn)行討論；第三問(wèn)先求f(x)的最小值，然后再研究函數(shù)h(x)g(x)f(x)exln xexx在xx0處的切線斜率，最后利用函數(shù)與方程思想，把方程實(shí)根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題已知拋物線C1：yx22x和C2：yx2a.如果直線l同時(shí)是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱為公切線段(1)a取什么值時(shí)，C1和C2有且僅有一條公切線？寫(xiě)出此公切線的方程；(2)若C1和C2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分解：(1)函數(shù)yx22x的導(dǎo)數(shù)y2x2曲線C1在點(diǎn)P(x1，x2x1)的切線方程是y(x2x1)(2x12)(xx1)，即y(2x

8、12)xx.函數(shù)yx2a的導(dǎo)數(shù)y2x，曲線C2在點(diǎn)Q(x2，xa)的切線方程是y(xa)2x2(xx2)，即y2x2xxa.如果直線l是過(guò)P和Q的公切線，則式和式都是l的方程所以消去x2得方程2x2x11a0.當(dāng)判別式442(1a)0，即a時(shí)，解得x1，x2，此時(shí)點(diǎn)P與Q重合即當(dāng)a時(shí)C1和C2有且僅有一條公切線，由得公切線方程為yx.(2)證明：由(1)可知，當(dāng)a2，若曲線C：yx3x(1x2)，求關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式d(k)解：(1)y2x21(1x2)的端點(diǎn)為A(1,1)，B(2,7)，y4x，由y1得到切點(diǎn)為，當(dāng)k1時(shí)，與曲線C相切的直線只有一條結(jié)合題意可得，兩條平行直線中一條與曲線C：y

9、2x21(1x2)相切，另一條直線過(guò)曲線的端點(diǎn)B(2，7)平行的兩條直線分別為：xy90和xy0.由兩條平行線間的距離公式可得，d(1).(2)曲線C：yx3x(1x2)的端點(diǎn)A(1,0)，B(2,6)，y3x211,11下面分兩種情況：當(dāng)k11時(shí)，兩條直線都不是曲線的切線，且分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(2,6)，此時(shí)兩條直線方程分別為l：yk(x1)，m：y6k(x2)，所以d(k)；當(dāng)2k2且1a2得到1a2，且a 從而推出l，m當(dāng)中有一條與曲線C相切，有一條經(jīng)過(guò)一點(diǎn)，且是經(jīng)過(guò)A(1,0)的直線，和以B(2,6)為切點(diǎn)的直線，方程分別為l：yk(x1)，m：y(3a21)(xa)a3akx

10、(1k)，所以d(k).綜上得d(k)本題是一個(gè)即時(shí)定義問(wèn)題，背景新穎，在解決第二問(wèn)時(shí)要注意將k看成一個(gè)常數(shù)，對(duì)k進(jìn)行討論，探究出兩條直線與曲線C的關(guān)系是都相切還是都是經(jīng)過(guò)點(diǎn)還是一個(gè)相切一個(gè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且了解經(jīng)過(guò)哪個(gè)點(diǎn)這些都可以利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具解決設(shè)函數(shù)f(x)ax(a，bZ)，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y3.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線yf(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x1和直線yx所圍三角形的面積為定值，并求出此定值解：(1)f(x)a，于是解得或因?yàn)閍，bZ，故f(x)x.(2)證明：在曲線上任取一點(diǎn)，由f(x0)1知，過(guò)此點(diǎn)的切線方程為y(xx0)令x1，得

11、y，切線與直線x1的交點(diǎn)為；令yx，得y2x01，切線與直線yx的交點(diǎn)為(2x01,2x01)直線x1與直線yx的交點(diǎn)為(1,1)從而所圍三角形的面積為|2x011|2.所以所圍三角形的面積為定值2.(2020泰州中學(xué)期中)已知函數(shù)f(x)ax3bx23x(a，bR)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為y20.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若對(duì)于區(qū)間2,2上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2都有|f(x1)f(x2)|c，求實(shí)數(shù)c的最小值；(3)若過(guò)點(diǎn)M(2，m)(m2)可作曲線yf(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)f(x)3ax22bx3.根據(jù)題意，得即解得所以f(x)x33x.(2

12、)令f(x)0，即3x230，得x1.x2(2，1)1(1,1)1(1,2)2f(x)00f(x)2極大值極小值2因?yàn)閒(1)2，f(1)2，所以當(dāng)x2,2時(shí)，f(x)max2，f(x)min2.則對(duì)于區(qū)間2,2上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min|4，所以c4，即c的最小值為4.(3)因?yàn)辄c(diǎn)M(2，m)(m2)不在曲線yf(x)上，所以可設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)因?yàn)閒(x0)3x3，所以切線的斜率為3x3.則3x3，即2x6x6m0.因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M(2，m)(m2)可作曲線yf(x)的三條切線，所以方程2x6x6m0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解所以函數(shù)g(

13、x)2x36x26m有三個(gè)不同的零點(diǎn)則g(x)6x212x.令g(x)0，則x0或x2.x(，0)0(0,2)2(2，)g(x)00g(x)極大值極小值則即解得6mn1；(3)對(duì)于函數(shù)h(x)和g(x)定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，b，使得不等式h(x)kxb和g(x)kxb都成立，則稱直線ykxb是函數(shù)h(x)與g(x)的“分界線”設(shè)函數(shù)h(x)x2，g(x)ex1f(x)，試問(wèn)函數(shù)h(x)與g(x)是否存在“分界線”？若存在，求出常數(shù)k，b的值；若不存在，說(shuō)明理由解：(1)f(x)x1ln x(x0)，f(x)1.當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，f(x)遞增f(x)的最小值為f(1)0

14、.(2)證明：由(1)知當(dāng)x0時(shí)，恒有f(x)0，即x1ln x.故ex1x，從而有exx1，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號(hào)分別令x1，可得e1112，e1，e1，e1，相乘可得e12n1，即e1n1.(3)令F(x)h(x)g(x)x2eln x(x0)，則F(x)x，當(dāng)x(0，)時(shí)，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)遞增所以當(dāng)x時(shí)，F(xiàn)(x)取得最小值0.則h(x)與g(x)的圖象在x處有公共點(diǎn).設(shè)函數(shù)h(x)與g(x)存在“分界線”，方程為yk(x)，應(yīng)有h(x)kxk在xR時(shí)恒成立，即x22kxe2k0在xR時(shí)恒成立，必須4k24(2ke)4(k)20，得k.下證g(x)x在x0時(shí)恒成立，記G(x)eln xx

15、，則G(x)，當(dāng)x(0，)時(shí)，G(x)0，G(x)遞增；當(dāng)x(，)時(shí)G(x)0時(shí)恒成立綜上可知，函數(shù)h(x)與g(x)存在“分界線”，其中k，b.(1)利用公式求導(dǎo)時(shí)，一定要注意公式的適用范圍和符號(hào)(2)可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，由于函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點(diǎn)P(x0，f(x0)處切線的斜率，因此，曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線方程可如下求得：求出函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xx0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處切線的斜率在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為yy0f(x0)(xx0)1(2020南通調(diào)研)設(shè)P是函數(shù)y(x1)圖象上異于原

16、點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且該圖象在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為，則的取值范圍是_解析：依題意得，yxx，yxx(x0)，當(dāng)x0時(shí)，yxx2 ，即該圖象在點(diǎn)P處的切線的斜率不小于，即tan .又0，)，因此，即的取值范圍是.答案：2若方程ln x2xa0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：作出yln x和y2xa的圖象，分析方程ln x2xa0，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根問(wèn)題，即是研究yln x和y2xa的圖象交點(diǎn)問(wèn)題，如圖可知，y2xa與yln x相切時(shí)，a1ln 2，只要a1ln 2，圖象都有兩個(gè)不等的交點(diǎn)，即a(，1ln 2)答案：(，1ln 2)3若函數(shù)f(x)ln x在區(qū)間(m，m2)上單調(diào)遞減，則實(shí)

17、數(shù)m的范圍是_解析：由f(x)ln x，得f(x)，由f(x)0得0x3，所以f(x)的減區(qū)間是(0,3由(m，m2)(0,3得0m1.答案：0,14f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10，則a_，b_.解析：f(x)3x22axb，由已知，得即解得或經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a3，b3時(shí)，x1不是極值點(diǎn)；當(dāng)a4，b11時(shí)，符合題意答案：4115設(shè)曲線yxn1(nN*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yn，令bn2yn，則b1b2b2 010的值為_(kāi)解析：先求出函數(shù)在(1,1)處的切線方程y1(n1)(x1)，令x0，求出ynn，下面利用指數(shù)式的運(yùn)算法則以及等差數(shù)列求和即可答案：2 0111

18、 0056已知函數(shù)yf(x)在定義域上可導(dǎo)，其圖象如圖，記yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)，則不等式xf(x)0的解集是_解析：利用函數(shù)f(x)的圖象信息得出f(x)0的解集是，f(x)0的解集是1,3)，從而由xf(x)0，得或從而0x1或x.答案：0,17曲邊梯形由曲線yex，y0，x1，x5所圍成，過(guò)曲線yex，x1,5上一點(diǎn)P作切線，使得此切線從曲邊梯形上切出一個(gè)面積最大的普通梯形，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是_解析：如圖設(shè)P(x0，y0)，得切線AB方程yex0ex0(xx0)，從而A(1，e x0 (2x0)，B(5，ex0(6x0)，所以梯形的面積S2e x0(82x0)4ex0(4x0)，對(duì)S

19、求導(dǎo)得S4ex0(3x0)，易知S(x0)在(1,3)上遞增，(3,5)上遞減，所以S(x0)取最大時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(3，e3)答案：(3，e3)8已知函數(shù)f(x)x24x3ln x在t，t1上不是單調(diào)函數(shù)，則t的取值范圍是_解析：由題意知f(x)x4，由f(x)0得函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為1,3，則只要這兩個(gè)極值點(diǎn)有一個(gè)在區(qū)間(t，t1)內(nèi)，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上就不是單調(diào)函數(shù)，由t1t1或者t3t1，得0t1或者2t3.答案：(0,1)(2,3)9給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f(x)在D上也可導(dǎo)，則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f(x)(f(x).

20、若f(x)0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)以下四個(gè)函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是_(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)f(x)sin xcos x；f(x)ln x2x；f(x)x32x1；f(x)xex.解析：對(duì)于，f(x)(sin xcos x)，x時(shí)，f(x)0恒成立；對(duì)于，f(x)，在x時(shí)，f(x)0恒成立；對(duì)于，f(x)6x，在x時(shí)，f(x)0恒成立，所以f(x)xex不是凸函數(shù)答案：10設(shè)曲線yxn1(nN*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，令anlg xn，則a1a2a99的值為_(kāi)解析：函數(shù)在(1,1)處切線方程為y1(n1)(x1)，令y0得到xn，所以a1a2a9

21、9lg 2.答案：211已知函數(shù)f(x)bx(a，bR)(1)若f(x)在R上存在最大值與最小值，且其最大值與最小值的和為2 680，試求a和b的值；(2)若f(x)為奇函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)b，使得f(x)在為增函數(shù)，為減函數(shù)？若存在，求出b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果當(dāng)x0時(shí)，都有f(x)0恒成立，試求b的取值范圍解：(1)f(x)在xR上存在最大值和最小值，b0(否則f(x)值域?yàn)镽)yf(x)sin xycos x2ya|sin(x)|13y24aya210，又4a2120，由題意有yminymaxa2 680，a2 010.(2)若f(x)為奇函數(shù)，xR，f(0)0a0，f(x)bx，f(x)b，若bR，使f(x)在上遞增，在上遞減，則f0，b0.這時(shí)f(x)，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)遞增，當(dāng)x時(shí)f(x)0，f(x)遞減f(x)，4(12b)2b(14b)4(13b)，若0，則b，則f(x)0，對(duì)x0恒成立，這時(shí)f(x)在0，)上遞減，f(x)f(0)0.若b0，則當(dāng)x0時(shí)，bx0，)，f(x)bx不可能恒小于等于0.若b0，則f(x)不合題意若0b0，f()b10，這時(shí)f(x)遞增，f(x)f(0)0，不合題意綜上b的取值范圍為.12(2020無(wú)錫一中)已知函數(shù)f(x)x3ax2a2x2，aR.(1)若