湖南省醴陵市2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次聯(lián)考試題 理（通用）

1、湖南省醴陵市2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次聯(lián)考試題 理考試時(shí)量：120分鐘；總分：150分注意事項(xiàng)：1請(qǐng)?jiān)诖痤}前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，每小題僅有一個(gè)答案是正確的）1. 已知全集， 集合， ， 則（） A. B. C. D.2. 已知 （ 為虛數(shù)單位) ，則復(fù)數(shù) 的虛部為（ ） A.B.1C.D.23下列命題中正確的是（ ）A若pq為真命題，則pq為真命題B“a0，b0”是“”的充要條件C命題“x23x+2=0，則x=1或x=2”的逆否命題為“若x1或x2，則x23 x + 2 0”D命題p：，使得x2+

2、 x1 0，則p：，使得x2 + x 1 04. 已知F1 ， F2是雙曲線E： 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，且sinMF2F1= ，則E的離心率為（ ） A.B.C.D.25. 設(shè)等差數(shù)列的前 項(xiàng)和為，且， ，則滿足 的最大自然數(shù) 為（ ） A.12B.13C.22D.23XYAXyBXyCXyD6. 函數(shù)（其中 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）圖象的大致形狀是（ ） XYAXyBXyCXyDXYAXyBXyCXyD7. 已知拋物線的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ，且 過點(diǎn)， 在拋物線上，若點(diǎn) ，則的最小值為（ ） A.2B.3C.4D.58. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是（ ） A. B.

3、 C. D. 9. 某班上午有五節(jié)課，分別安排語文，數(shù)學(xué)，英語，物理，化學(xué)各一節(jié)課要求語文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同排課方法的種數(shù)是（ ） A.16B.24C.8D.1210. 函數(shù) （ ）的圖象恒過定點(diǎn) ，若點(diǎn) 在直線 上，其中 ，則 的最小值為（ ） A. B. C. D. 11. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為 ，且滿足 ， ， ，記 ，數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 ，若對(duì) ， 恒成立，則k 的取值范圍為（ ） A.B.C.D.12. 已知四面體 AB CD 的外接球球心O恰好在棱AD上，且 ， ，則這個(gè)四面體的體積為（ ） A. B.C. D.二、填空題（本大題共4個(gè)小題

4、，每小題5分，共20分）13. 若 滿足不等式 , 則 的最大值為_. 14. 已知向量與的夾角為 ， ， ，則 _. 15. 已知函數(shù)，若存在常數(shù)，對(duì)，唯一的，使得，則稱常數(shù)是函數(shù)在上的“幾何平均數(shù)”.已知函數(shù)，則在上的“幾何平均數(shù)”是 16. 已知函數(shù)，函數(shù) 有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為_ 三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答題需要寫出必要的解答過程）17. （本小題滿分12分）設(shè) 的內(nèi)角 的對(duì)邊分別為a,b,c 且 . （1）求角 B 的大小; （2）若 ， , 求邊 a和 c 的值. 18. （本小題滿分12分）某數(shù)學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式，在甲、乙

5、兩個(gè)平行班級(jí)進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)，為了比較教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”分?jǐn)?shù)50,59)60,69)70,79)80,89)90,100甲班頻數(shù)56441乙班頻數(shù)13655（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表，并判斷“成績優(yōu)良與教學(xué)方式是否有關(guān)”?甲班乙班總計(jì)成績優(yōu)良成績不優(yōu)良總計(jì)（2）甲乙兩班成績未達(dá)優(yōu)良的同學(xué)共15位，老師現(xiàn)從中任意抽取3人進(jìn)行談話，以便了解學(xué)習(xí)情況在這3人中，記乙班成績不優(yōu)良的人數(shù)為 ，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望附： 臨界值表如下： 0.010 19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐 中，底

6、面 為平行四邊形， ， ，DQPCBA且 .（1）證明： ； （2）若 為 的中點(diǎn)，且 ，求二面角 的大小. 20 . （本小題滿分12分）已知橢圓 : () , 過點(diǎn)，離心率為 .（）求橢圓 的方程；（） ， 是過點(diǎn) 且互相垂直的兩條直線，其中 交圓 于 ， 兩點(diǎn)， 交橢圓 于另一個(gè)點(diǎn) ，求面積取得最大值時(shí)直線 的方程. 21. （本小題滿分12分）已知函數(shù)，曲線在x = 1處的切線方程為。（1）求a 和b的值；（2）求函數(shù)在上的最大值；（3）證明：當(dāng)x 0時(shí)，.22. （本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直

7、線 的極坐標(biāo)方程為 ，其中 .（）求 的極坐標(biāo)方程；（）若 與 交于不同兩點(diǎn)A和B ，且 ，求 的最大值. 2020屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、單選題(每小題5分，共60分)題號(hào)123456789101112答案CDDACBBCABAD11.【答案】A 【解答】由 ，得 ，兩式作差得 又 ， ，可求得a3=4,所以數(shù)列 是等比數(shù)列，且 ，代入 ，所以 而 恒成立，所以 ，故選A【分析】,得到兩式子一減得到,進(jìn)而求出的通項(xiàng)，將其通項(xiàng)代入,裂項(xiàng)得到，求其前n項(xiàng)和可以采用裂項(xiàng)相消法，最后便可以計(jì)算出k的范圍。12.【答案】D 【解答】 ，AC = 2，AB 2 + BC 2 = AC 2

8、 ， ABBC ， ABC外接圓的直徑為AC, 圓心O為AC的中點(diǎn)球心O恰好在側(cè)棱DA上, ，又外接球球心O恰好在棱AD上，所以O(shè)為AD中點(diǎn)，所以/BC.即 ， ，四面體的體積為 .故答案為：D.【分析】 由數(shù)據(jù)得到ABBC,則直角ABC外接圓的直徑為AC,圓心O為AC的中點(diǎn),得到DC 面A B C ,再由體積公式求體積.二、填空題(每小題5分，共20分）13.【答案】 14.【答案】6 15.【答案】 16.【答案】 16.【解答】由題得 有三個(gè)零點(diǎn)，所以 有三個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)h(x)的圖像就是坐標(biāo)系中的粗線部分，y=a(x-2)表示過定點(diǎn)（2,0）的直線，所以直線和粗線有三個(gè)交點(diǎn).所以 由

9、題得, .所以, 所以a的取值范圍為 .【分析】本題的突破口是研研究結(jié)構(gòu)特征，從而將g(x)=0的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為,于是可以通過作圖加以研究解決。三、解答題（本大題共6小題，共70分)17.【解答】（1）解:bsinA= acosB,由正弦定理可得 .2分即得 0.4分 ,.5分 .6分.（2）解:sinC =2sinA,由正弦定理得c=2a,.8分由余弦定理 , ,解得 .10分 .12分 【分析】（1）利用正弦定理邊化角，得B角的正切，求得B.（2）利用正弦定理角化邊，再用余弦定理解得a和c.18.【解答】（1）解：根據(jù)題意得22列聯(lián)表如下：甲班乙班總計(jì)成績優(yōu)良91625成績不優(yōu)良11415

10、總計(jì)202040 .2分根據(jù)22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得 的觀測(cè)值為 ，.4分 在犯錯(cuò)概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”.6分（2） 由題可知 的可能取值為0,1,2,3.7分 ； ； ； 的分布列為：X0123P .10分所以 .12分 【分析】 （1）將列聯(lián)表填寫完整，結(jié)合K2的計(jì)算公式，計(jì)算結(jié)果，即可得出答案。（2）分別計(jì)算出X=0，1，2，3的概率，列出分布列，計(jì)算期望，即可得出答案。19. 【解答】（1）證明： ， ， ， .1分又 底面 ， .2分 ， 平面 .3分 平面 ，.4分平面 平面 .5分（2）解：由（1）知，DA,DB,DP兩兩垂直 ，分別以 ， ， 為

11、 軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系 ，如圖所示，設(shè)AD=1得AB=2, ，令 ，則 ， ， ， ， ，.6分 . ， .7分故 ， .8分設(shè)平面 的法向量為 ，則 ，令 ，得，即 .9分易知平面 的一個(gè)法向量為 ，.10分則 .11分二面角 的大小為 . .12分【分析】（1）根據(jù)勾股定理得出BCBD，結(jié)合PDBC可得BC平面PBD，利用平面與平面垂直的判定得出平面PBD平面PBC； （2）建立坐標(biāo)系，求出平面QBD和平面BCD的法向量，用空間向量求平面間的夾角，得出二面角的大?。ㄗⅲ河捎诿}出現(xiàn)失誤，此題第2問存在問題，應(yīng)該沒有固定結(jié)果，為使評(píng)價(jià)近似合理，建議閱卷作如下標(biāo)準(zhǔn)記分：學(xué)生采用“設(shè)

12、AD=1”方法所得出參考答案中結(jié)果的記滿分，學(xué)生采用設(shè)其他具體數(shù)據(jù)算出余弦值或角度的記滿分，如果學(xué)生考慮周密認(rèn)為只能設(shè)AD為字母參數(shù)而算不出結(jié)果也得滿分。命題組給大家?guī)砺闊┻€敬請(qǐng)諒解）20. 【解答】解：（1）由題意得 .2分解得 .4分 所以橢圓方程為 .5分方法二：由得.1分.2分由橢圓經(jīng)過點(diǎn)P（0，2）得.3分所以.4分所以橢圓方程為 .5分（2）由題知直線 的斜率存在，不妨設(shè)為 ，則 ： . .6分若 時(shí)，直線 的方程為 ， 的方程為 ，易求得 ， ，此時(shí) . .7分若 時(shí)，則直線 ： .圓心 到直線 的距離為 .直線 被圓 截得的弦長為 . .8分.由 ，得 ，故 . .9分所以

13、. .10分當(dāng) 時(shí)上式等號(hào)成立. .11分因?yàn)?，所以 面積取得最大值時(shí)直線 的方程應(yīng)該是 .12分 【分析】（1）結(jié)合橢圓的基本性質(zhì)列方程，即可得出答案。（2）分k=0和k不為0兩種情況討論，結(jié)合直線l1的方程和圓方程，用k表示|AB|的長，結(jié)合直線l2和橢圓方程，利用所截的弦長為,表示線段PD，結(jié)合三角形面積計(jì)算公式，即可得出答案。21 【解答】解：（1），.1分由題設(shè)得，.2分解得， .3分（2） 法1：由（1）知，.4分因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增，.5分 所以.6分法2：由（1）知，.4分在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，.5分 所以， .6分 （3） 因?yàn)?，又由?）知，過點(diǎn)，且在處的切線方程為，故可猜測(cè)：當(dāng)時(shí)，的圖象恒在切線的上方.7分 下證：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，由（2）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） 故.10分 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 所以當(dāng)時(shí)即，所以，即成立（當(dāng)時(shí)