重慶市西南大學(xué)附中2020屆高三數(shù)學(xué)第十次月考試題 理（含解析）（通用）

1、重慶市西南大學(xué)附中2020屆高三數(shù)學(xué)第十次月考試題 理（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)集合，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，故選D.2.已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】試題分析：由雙曲線方程可知漸近線為，由漸近線夾角為，可知漸近線傾斜角為，所以考點(diǎn)：雙曲線方程及性質(zhì)3.在平行四邊形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)， 與的交點(diǎn)為，設(shè)，則向量 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】,故選C.4.甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：）分別服從

2、正態(tài)分布，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）A. 甲類水果的平均質(zhì)量B. 甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C. 甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D. 乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)【答案】D【解析】由圖象可知甲圖象關(guān)于直線x=0.4對(duì)稱，乙圖象關(guān)于直線x=0.8對(duì)稱，1=0.4,2=0.8，故A正確，C正確，甲圖象比乙圖象更“高瘦”，甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；乙圖象的最大值為1.99,即，21.99，故D錯(cuò)誤。本題選擇D選項(xiàng).5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為A. B. C. D. 【答案】B【解析

3、】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，所以，所以，又，所以公差，所以，所以，顯然數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為故選B6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】觀察可知，這個(gè)幾何體由兩部分構(gòu)成,：一個(gè)半圓柱體，底面圓的半徑為1，高為2；一個(gè)半球體，半徑為1，按公式計(jì)算可得體積。【詳解】設(shè)半圓柱體體積，半球體體積為，由題得幾何體體積為，故選A。【點(diǎn)睛】本題通過三視圖考察空間識(shí)圖的能力，屬于基礎(chǔ)題。7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果s = 132，則判斷框中可以填（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】第一次循環(huán)第二

4、次循環(huán) 結(jié)束循環(huán)，輸出，所以判斷框中應(yīng)填選B.8.已知，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】將第一個(gè)等式兩邊同時(shí)除以，然后比較a，b大小，對(duì)第二個(gè)等式進(jìn)行整理，比較出c，b的大小，可得三者大小關(guān)系。詳解】由題得，可得，則；因?yàn)椋瑒t，可得，因此，所以有，故選C?！军c(diǎn)睛】本題考查比較實(shí)數(shù)大小，此類題的整體思路是做差或者做商，再根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)進(jìn)行化簡判斷大小。9.甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是農(nóng)民，一人是知識(shí)分子已知：丙的年齡比知識(shí)分子大；甲的年齡和農(nóng)民不同；農(nóng)民的年齡比乙小根據(jù)以上情況，下列判斷正確的是（ ）A. 甲是工人，乙是知識(shí)分子，丙是農(nóng)民

5、B. 甲是知識(shí)分子，乙是農(nóng)民，丙是工人C. 甲是知識(shí)分子，乙是工人，丙是農(nóng)民D. 甲是農(nóng)民，乙是知識(shí)分子，丙是工人【答案】C【解析】“甲的年齡和農(nóng)民不同”和“農(nóng)民的年齡比乙小”可以推得丙是農(nóng)民，所以丙的年齡比乙??；再由“丙的年齡比知識(shí)分子大”，可知甲是知識(shí)分子，故乙是工人，故選C.10.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，將終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先建立角和旋轉(zhuǎn)之后得所到的角之間的聯(lián)系，再根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式進(jìn)行計(jì)算可得?！驹斀狻吭O(shè)旋轉(zhuǎn)之后的角為，由題得，又因?yàn)?，所以得，故選B?！军c(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)

6、和三角函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題。11.在ABC中，點(diǎn)D為邊AB上一點(diǎn)，若，則ABC的面積是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先用余弦定理求出CD，進(jìn)而求AB，BC，再根據(jù)三角形面積公式即得?！驹斀狻坑深}在中，代入可得，舍掉負(fù)根有.于是根據(jù)三角形面積公式有：.故選A.點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，屬于中檔題.12.當(dāng)直線和曲線E：交于三點(diǎn)時(shí)，曲線E在點(diǎn)A，點(diǎn)C處的切線總是平行的，則過點(diǎn)可作曲線E的切線的條數(shù)為（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】直線過定點(diǎn)由題意可知：定點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，解得，所以曲線，f（x）= ，設(shè)切點(diǎn)M（x0，y0），則M縱坐標(biāo)y

7、0=，又f（x0）=，切線的方程為：又直線過定點(diǎn)，得-2=0，即解得：故可做兩條切線故選：C點(diǎn)睛：求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為：若曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分13.若與互為共軛復(fù)數(shù)，則_【答案】 【解析】，又與互為共軛復(fù)數(shù)，則，故答案為.14.已知x，y滿足約束條件，則的取值范圍為_【答案】【解析】【分析】先畫出可行域，求的范圍，再求的取值范圍?！驹斀狻坑深}得，可行域?yàn)閳D中陰影部分所示，則，作直線，結(jié)合圖像可知

8、，所以有?！军c(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)和數(shù)形結(jié)合的思想。15.在直線，圍成的區(qū)域內(nèi)撒一粒豆子，則落入，圍成的區(qū)域內(nèi)的概率為_【答案】【解析】 由題意，直線所圍成的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)長為，高為的矩形，所以其的面積為， 又由，解得， 所以由所圍成的區(qū)域的面積為，所以概率為.16.在三棱錐ABCD中，平面ABC平面BCD，是邊長為2的正三角形，若，三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O上，則球O的表面積為_【答案】【解析】【分析】用投影結(jié)合勾股定理來計(jì)算外接球的半徑，再應(yīng)用球的表面積公式即可.【詳解】球心在平面的投影為，在平面的投影為，于是有是的外心，是的外心.設(shè)中點(diǎn)，連結(jié)，于是四邊形是矩形.連結(jié).有.在中根據(jù)正弦

9、定理，得到.在中，因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，故.所以球的表面積為【點(diǎn)睛】本題考查四面體的外接球表面積問題，這種題一般都是先計(jì)算外接球半徑進(jìn)而求解。需有一定的空間想象能力。三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且滿足(1)求角C；(2)設(shè)為邊的中點(diǎn)，的面積為，求邊的最小值【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】(1) 先用正弦定理將已知等式兩邊都化為正，余弦角的關(guān)系，再根據(jù)對(duì)其進(jìn)行化簡，計(jì)算可得角C。(2)由三角形的面積可得，用余弦定理將邊CD表示出來，再根據(jù)可求出CD最

10、小值?！驹斀狻?1) 由正弦定理：，又，由題，所以.因?yàn)?，所?即,即,因?yàn)?，所以，則.(2) 由，即，所以.由,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等所以邊的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理，運(yùn)用基本不等式是求解最小值的關(guān)鍵。18.已知四棱錐中，底面為菱形，平面平面，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，上的一點(diǎn)，且，(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】(1)作輔助線FG，點(diǎn)G在PC邊上，且，由題中條件可得為平行四邊形，再由線線平行證得線面平行。(2)用建系的方法求線面正弦值?！驹斀狻?1) 證明：取邊上點(diǎn)，使得，連接.因?yàn)?所以，且.又，所以，且.所以，且，所以四邊

11、形為平行四邊形,則.又平面，平面，所以平面.(2) 解：取中點(diǎn),由，所以又平面平面，交線為，且,所以平面.以為原點(diǎn)建系，以，為軸，軸，軸.所以，所以，.設(shè)平面法向量為，則，可取,設(shè)與平面所成角為，則【點(diǎn)睛】本題考查線面的位置關(guān)系，立體幾何中的向量方法，屬于常考題型。19.現(xiàn)代研究表明，體脂率（體脂百分?jǐn)?shù)）是衡量人體體重與健康程度的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)為分析體脂率對(duì)人體總膽固醇的影響，從女性志愿者中隨機(jī)抽取12名志愿者測定其體脂率值及總膽固醇指標(biāo)值（單位：mmol/L），得到的數(shù)據(jù)如表所示：(1)利用表中的數(shù)據(jù)，是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明.（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模

12、型擬合）(2)求出與的線性回歸方程，并預(yù)測總膽固醇指標(biāo)值為9.5時(shí)，對(duì)應(yīng)的體脂率值為多少？（上述數(shù)據(jù)均要精確到0.1）(3)醫(yī)學(xué)研究表明，人體總膽固醇指標(biāo)值服從正態(tài)分布，若人體總膽固醇指標(biāo)值在區(qū)間之外，說明人體總膽固醇異常，該志愿者需作進(jìn)一步醫(yī)學(xué)觀察.現(xiàn)用樣本的作為的估計(jì)值，用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，從這12名女志愿者中隨機(jī)抽4人，記需作進(jìn)一步醫(yī)學(xué)觀察的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望附：參考公式：相關(guān)系數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】由相關(guān)系數(shù)公式直接計(jì)算可得；(2)先后求出，和，可得線性回歸方程，將y=9.5代入回歸方程，可得x的值。(3)先由

13、公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，那么根據(jù)區(qū)間，可知志愿者中膽固醇異常者的人數(shù)為2人，則需要進(jìn)一步觀察，從12名志愿者中隨機(jī)抽4人，記需作進(jìn)一步醫(yī)學(xué)觀察的人數(shù)為，可能為0，1，2，先分別求出對(duì)應(yīng)概率，即可得的分布列進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望【詳解】(1) 相關(guān)系數(shù)所以線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合.(2) ，又，所以，所以回歸直線，當(dāng)時(shí)，(3) ，所以，則，所以在這12人中，有2人是膽固醇異常，需要進(jìn)一步作醫(yī)學(xué)觀察的. 所以變量,所以的分布列為X012P數(shù)學(xué)期望【點(diǎn)睛】本題考查相關(guān)系數(shù)和線性回歸方程，以及分布列數(shù)學(xué)期望等概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，是一道很好的綜合性題目。20.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，離心率為(1)求橢

14、圓C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的面積【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由左頂點(diǎn)M坐標(biāo)可得a=2，再由可得c，進(jìn)而求得橢圓方程。(2)設(shè)l的直線方程為，和橢圓方程聯(lián)立，可得，由于，可用t表示出兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo) 和，進(jìn)而得到的關(guān)于t的一元二次方程，得到取最大值時(shí)t的值，求出直線方程，而后計(jì)算出的面積?！驹斀狻?1) 由題意可得：，得，則.所以橢圓的方程: (2) 當(dāng)直線與軸重合，不妨取，此時(shí)當(dāng)直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為：,設(shè)，聯(lián)立得，顯然，.所以當(dāng)時(shí)，取最大值.此時(shí)直線方程為，不妨取，所以.又,所以的面積【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，運(yùn)用了設(shè)

15、而不求的思想，將向量和圓錐曲線結(jié)合起來，是典型考題。21.已知函數(shù)(1)當(dāng)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】(1)將a=1代入函數(shù)，再求導(dǎo)即可得單調(diào)區(qū)間；(2)法一：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)：當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，且x=1為的極值點(diǎn)，當(dāng) 所以，當(dāng)，所以此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，再分成三種情況， ，三種情況進(jìn)行討論，最后取并集即得a的范圍。法二：分離參變量，每一個(gè)a對(duì)應(yīng)兩個(gè)x，根據(jù)新構(gòu)造的函數(shù)單調(diào)性和值域，找到相應(yīng)滿足條件的a的范圍即可?！驹斀狻?1) 當(dāng)令，可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增

16、。所以函數(shù)減區(qū)間在區(qū)間，增區(qū)間(2) 法一：函數(shù)定義域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，令可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。且，當(dāng)；當(dāng) 所以所以有兩個(gè)零點(diǎn).，符合當(dāng)，只有一個(gè)零點(diǎn)2，所以舍設(shè)，由得或，若，則，所以在單調(diào)遞增，所以零點(diǎn)至多一個(gè).（舍）若，則，故時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。又，要想函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，必須有，其中.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以故只有一個(gè)零點(diǎn)，舍若，則，故時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。又極大值點(diǎn)，所以只有一個(gè)零點(diǎn)在（舍）綜上，的取值范圍為。法二： ，所以不是零點(diǎn).由，變形可得.令，則，即當(dāng)，；當(dāng)，.所以在遞增；在遞減.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?當(dāng)時(shí)

17、,當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故的取值范圍是故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】這是函數(shù)的零點(diǎn)問題，可用討論含參函數(shù)的單調(diào)性或者參變量分離的方法。22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為(1)求曲線與曲線兩交點(diǎn)所在直線的極坐標(biāo)方程；(2)若直線的極坐標(biāo)方程為，直線與軸的交點(diǎn)為，與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)先將和化為普通方程，可知是兩個(gè)圓，由圓心的距離判斷出兩者相交，進(jìn)而得相交直線的普通方程，再化成極坐標(biāo)方程即可；(2)先求出l的普通方程有，點(diǎn)，寫出直線l的參數(shù)方程，代入曲線：，設(shè)交點(diǎn)兩點(diǎn)的參數(shù)為，根據(jù)韋達(dá)定理可得和，進(jìn)而求得的值?！驹斀狻?1) 曲線的普通方程為：曲線的普通方程為：，即由兩圓心的距離，所以兩圓相交，所以兩方程相減可得交線為，即.所以直線的極坐標(biāo)方程為.(2) 直線的直角坐標(biāo)方程：，則與軸的交點(diǎn)為直線的參數(shù)方程為，帶入曲線得.設(shè)兩點(diǎn)的參數(shù)為，所以，所以，同號(hào).所以【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)，參數(shù)方程和普通方程的互化和用參數(shù)方